Теория множеств

непусто; по аксиоме

выбора существует отображение : U ! M, такое что (a) 2 Ma äëÿ любого a 2 U. Таким образом, a 2 (a) 2 M для всех a 2 U. Снова

пользуясь аксиомой выбора, зафиксируем для всех A 2 M инъектив-

ные отображения 'A : A ! X и выберем инъективное отображение : M ! X (все они существуют, так как мощность каждого из мно-

жеств A, M не больше мощности множества X). Определим теперь

отображение : U ! X X, положив (a) = (' (a)(a); ( (a)). Отображение инъективно. Действительно, если a; b 2 U, (a) = (b),

то, сравнивая вторые компоненты элементов (a); (b), находим, что ( (a)) = ( (b)), откуда, пользуясь инъективностью , получаем, что (a) = (b), и потому a; b 2 (a). Сравнивая теперь первые компоненты, видим, что ' (a)(a) = ' (b)(b) = ' (a)(b); но отображение инъективно, и потому a = b. Итак, мощность множества A не больше мощности множества X X, равной мощности множества X.

Лемма 2. Пусть X множество, и пусть Y его бесконеч-

ное подмножество, мощность которого строго меньше мощности множества X и которое равномощно своему декартову квадрату.

Тогда мощность дополнения C = X nY = fx 2 X j x 6= Y g не меньше

мощности множества Y , и существует такое подмножество Y1 множества X, равномощное множеству Y , что множество Y \Y1 пусто.

Доказательство. Если мощность множества C меньше, чем мощность множества Y , то по лемме 1 мощность объединения X = Y [C была бы не больше мощности множества Y и потому строго меньше мощности множества X. Поэтому мощность множества C не меньше мощности множества Y , и, следовательно, существует инъективное отображение : Y ! C. Тогда множество Y1 = (Y ) = f (y) j y 2 Y g равномощно множеству Y и содержится в дополнении C множества Y , а потому Y1 \ Y = ?.

5. Максимальные элементы множества M. Пусть (M; ) максимальный элемент множества M.

Лемма 3. Мощность множества M не меньше мощности множества A.

Доказательство. Бесконечное множество M равномощно своему декартову квадрату; если мощность M строго меньше мощности A, то по лемме 2 существует подмножество N множества A, не пересекающееся с M и равномощное M. Пусть K = M [ N; тогда

K K = (M [ N) (M [ N) = (M M) [ X;

где X = (M N) [ (N M) [ (N N). Ясно, что множества M M и X не пересекаются. Поскольку множество M равномощно своему декартову квадрату, все декартовы произведения M N, N M,

61

N N равномощны множеству M; мощность их объединения X не меньше мощности каждого из них, равной мощности множества M, а по лемме 1 эта мощность и не больше мощности множества M. Таким образом, множество X равномощно множеству M, а значит, и множеству N; поэтому существует биективное отображение : N ! X. Определим отображение

: K = M [ N ! (M M) [ X = K K;

положив

Ясно, что отображение биективно, так что пара (K; ) принадлежит множеству M. Элементы (M; ), (K; ) множества M различны, так как M 6= K. Но M K, и ограничение на M совпадает с ; поэтому (M; ) < (K; ), а это противоречит максимальности элемента (M; ). Полученное противоречие доказывает лемму.

6. Завершение доказательства теоремы 4. Согласно лемме Цорна, существует максимальный элемент (M; ) множества M. Мощность M не больше мощности A, потому что M A, и она не меньше мощности A по лемме 3. Таким образом, множества M и A равномощны. Но биективное отображение множества M на его декартов квадрат; следовательно, множество M, а потому и имеющее ту же мощность множество A, равномощно своему декартову квадрату.

4. Объединение и декартово произведение бесконечных множеств.

Теорема 5. Пусть M множество множеств, и пусть B бесконечное множество. Если мощность множества M и мощности всех множеств A 2 M не больше мощности множества B, то

S

мощность объединения U = A2M A не больше мощности множества B. Если при этом мощность хотя бы одного из множеств

A 2 M равна мощности множества B, то и мощность объединения равна мощности множества B.

Доказательство. Утверждение о том, что мощность U не больше мощности B, отличается от утверждения леммы 1 только тем, что там от множества B требовалось, чтобы оно было равномощно своему

декартову квадрату; но теперь по теореме 4 мы знаем, что это условие

выполняется для любого бесконечного множества. Если же мощность B равна мощности какого-то из множеств A0 2 M, то, поскольку A0

U, мощность B не больше мощности U; тогда по теореме КантораБернштейна множества B, U равномощны.

Теорема 6. Пусть A1, A2, ... , An множества, хотя бы одно из которых бесконечно. Тогда мощность объединения A1 [A2 [ [An равна максимальной из мощностей множеств A1, A2, ... , An. Åñëè

62

к тому же все множества A1, A2, ... , An непусты, то мощность их декартова произведения A1 A2 An тоже равна макси- мальной из мощностей множеств A1, A2, ... , An.

Доказательство. Как мы видели (теорема 1), мощности двух любых множеств сравнимы между собой; поэтому в конечном наборе мно- жеств A1; A2; ; An есть множество As, мощность которого не меньше

мощности остальных множеств. Ясно, что As бесконечное множе- ство; по теореме 5 мощность объединения A1 [ A2 [ [ An равна мощности множества As.

Мы знаем (теорема 4), что мощность декартова квадрата As As

множества As равна мощности множества As. Индукцией легко до- казать, что и мощность декартовой степени Ans = As As ðàâ-

| {z }

As. Поскольку мощность

жеств Ai не больше мощности множества As, существуют инъектив- ные отображения 'i : Ai !As. Тогда отображение A1 An !Ans , ставящее в соответствие элементу (a1; : : : ; an) 2 A1 An ýëå-

ìåíò ('1(a1); : : : ; 'n(an)), инъективно, и потому мощность множества A1 An не больше мощности множества Ans , равной мощности множества As. С другой стороны, если все множества Ai непусты,

то в каждом из них, кроме множества As, выберем по элементу ei; тогда элементы (e1; : : : ; as; : : : ; en) 2 A1 : : : As An, где элемент as пробегает все множество As, образуют подмножество множества A1 An, равномощное As. Таким образом, мощность множества As не меньше мощности множества A1 An. Остается применить теорему Кантора-Бернштейна.

x 16. Ординальные числа

1. Ординальные числа. Напомним, что мы называем два частич- но упорядоченных множества A, B изоморфными, если существует биективное отображение ' : A ! B, такое что для любых элемен-

òîâ a1; a2 2 A неравенство a1 a2 выполняется тогда и только тогда, когда выполняется неравенство '(a1) '(a2). Нестрого говоря,

ординальными числами называются классы эквивалентности вполне упорядоченных множеств. Если бы имело смысл понятие "множество всех вполне упорядоченных множеств", то на этом множестве отношение изоморфизма было бы эквивалентностью, и мы могли бы определить фактормножество по этому отношению эквивалентности

èназвать его "множеством всех ординальных чисел". Однако, понятие "множество всех вполне упорядоченных множеств" столь же внутренне противоречиво, как и понятие "множество всех множеств"

èприводит к утверждениям типа парадокса Рассела. Поэтому при определении ординальных чисел приходится прибегать к тем или

63

иным ухищрениям. Один из способов определить ординальные числа состоит в том, что мы в каждом "классе эквивалентности" канонически выбираем по представителю. Мы опишем некоторые определенные вполне упорядоченные множества и покажем, что любое вполне упорядоченное множество изоморфно одному и только одному из них.

Ординальным числом назовем всякое вполне упорядоченное множество , каждый элемент a которого равен множеству элементов

x 2 , таких что x < a, то есть начальному отрезку [0; a) множества. Таким образом, первый элемент такого множества равен пустому множеству ?, второй равен множеству f?g, единственным эле-

ментом которого является пустое множество, третий является множеством, состоящим из двух предшествующих элементов ? и f?g

и т.д. Выпишем элементы, начинающие любое ординальное число, содержащее не менее пяти элементов:

?; f?g; f?; f?gg; f?; f?g; f?; f?ggg;

f?; f?g; f?; f?gg; f?; f?g; f?; f?gggg :::

Из определения ординальных чисел следует, что любой начальный отрезок 0 ординального числа тоже ординальное число, а если при этом 0 6= , òî 0 элемент . Отметим, что во вполне упорядоченных множествах, являющихся ординальными числами, отношение < совпадает с отношениями принадлежности и строгого

включения: если x, y элементы ординального числа и x < y, то x 2 [0; y) = y, x = [0; x) ( [0; y) = y.

Теорема 1. Для того, чтобы ординальное число было изоморф-

но как вполне упорядоченное множество начальному отрезку ординального числа , необходимо и достаточно, чтобы было началь-

ным отрезком . В частности, если и изоморфные вполне упорядоченные множества, то = .

Доказательство. Если начальный отрезок , то каноническое вложение в является изоморфизмом на начальный отрезок . Обратно, пусть ' изоморфизм (то есть строго монотонное отображение) ординального числа на начальный отрезок 0 ординально- го числа . Достаточно показать, что '(x) = x для любого элемента x 2 тогда = fc j c 2 g = f'(c) j c 2 g = 0. Åñëè áû ýòî было не так, то в множестве элементов x из вполне упорядоченного множества , для которых '(x) 6= x, был бы наименьший элемент, то

есть такой элемент a, что '(c) = c для любого c 2 [0; a) , но '(a) 6= a. Однако, пользуясь леммой 5 из x 8, мы получили бы, что, напротив,

'(a) = [0; '(a)) = '([0; a) ) = f'(c) j c 2 [0; a) g =

= fc j c 2 [0; a) g = [0; a) = a:

64

Поскольку для любых двух вполне упорядоченных множеств существует строго монотонное отображение (то есть изоморфизм) одного из них на начальный отрезок другого, из теоремы 1 сразу получаем

Следствие 1. Если , ординальные числа, то одно из них является начальным отрезком другого.

Теорема 2. Объединение любого множества ординальных чисел ординальное число.

Доказательство. Пусть M некоторое множество ординальных чи-

S

сел, и пусть = 2M . Следствие 1 показывает, что из любых двух ординальных чисел ; 2 M одно содержится в другом в качестве

начального отрезка, причем порядок на меньшем множестве индуцируется порядком на большем множестве. По предложению 3 из x 6

на множестве можно каноническим образом определить структуру

частично упорядоченного множества, индуцирующую уже имеющиеся структуры вполне упорядоченных множеств на подмножествах2 M; лемма 1 из x 8 показывает, что множество вполне упо-

рядочено и все множества 2 M являются его начальными отрезками. Покажем, что ординальное число. Действительно, пусть a 2 ; существует такой элемент 2 M, что a 2 . Поскольку ординальное число, a = [0; a) . Но начальный отрезок вполне упорядоченного множества , поэтому a = [0; a) = [0; a) .

2. Отношение порядка для ординальных чисел. Пусть и ординальные числа; будем считать, что , если начальный отрезок . Из теоремы 1 следует, что неравенство равносильно тому, что вполне упорядоченное множество изоморфно начальному отрезку . Если < , то наименьший элемент из , не принадлежащий начальному отрезку , равен по определению ординального числа ; поэтому неравенство < равносильно соотношению

2 .

Следствие 1 показывает, что для любых ординальных чисел , справедливо одно (и, очевидно, только одно) из утверждений: < ,= , > . Кроме того, очевидно, что это отношение между ординальными числами транзитивно и что для любого ординального числа . Это позволяет сказать, что любое множество

ординальных чисел является линейно упорядоченным множеством. Более того, оно вполне упорядочено, как показывает следующая теорема.

Теорема 3. Во всяком непустом множестве ординальных чисел есть наименьшее ординальное число.

Доказательство. Пусть A какое-то непустое множество ординальных чисел; пусть 2 A одно из них. Если не наименьшее ординальное число из A, то множество B всех элементов множества A, меньших , непусто. Но всякое ординальное число, меньшее, чем

65

, является элементом множества ; таким образом, B = \ A непустое подмножество вполне упорядоченного множества . Поэтому в множестве B есть наименьший элемент . Если 2 A, то или

, и тогда < , или < , и тогда 2 B, , потому что наименьший элемент множества B. Итак, наименьший элемент множества A.

Теорема 4. Для любого ординального числа существует ординальное число , строго большее, чем .

Доказательство. По предложению 2 из x 6 сумма вполне упорядо- ченного множества и одноэлементного вполне упорядоченного множества f g снова вполне упорядоченное множество, и очевидно, что ординальное число, потому что единственный новый элемент множества равен [0; ) . Поскольку 2 , выполняется неравенство < .

Отметим, что все ординальные числа не составляют множество; точнее говоря, не существует множества, такого, что любое ординальное число является элементом этого множества, и, наоборот, всякий элемент множества ординальное число: предположение о существовании такого множества немедленно приводит к противоречию типа парадокса Рассела.

3. Аксиома Френкеля. Ординальное число является вполне упо-

рядоченным множеством. Хотелось бы, чтобы ординальных чисел было достаточно много, так чтобы ими можно было занумеровать любое вполне упорядоченное множество. Но оказывается, имеющихся до сих пор аксиом теории множеств недостаточно, чтобы получить такой результат, и приходится постулировать еще одно свойство множеств.

Аксиома 9 (аксиома Френкеля). Пусть I множество, и пусть

R(i; Y ) некоторое свойство, которое может быть сформулиро-

вано в терминах ранее введенных понятий и такое, что для любых объектов i; Y свойство R(i; Y ) или выполняется, или не выполня-

ется. Пусть, далее, для любого элемента i 2 I существует един-

ственный объект Ai, такой что выполняется свойство R(i; Ai). Тогда существует множество N, такое что Y 2 N тогда и только

тогда, когда существует элемент i 2 M, для которого выполняется свойство R(i; Y ) (и тогда, очевидно, Y = Ai).

Иными словами, если каждому элементу i множества I сопостав-

лен какой-то вполне определенный объект Ai, то объекты Ai вместе

тоже составляют множество. Это множество часто записывается как fAigi2I èëè fAi j i2Ig.

Отметим, что если бы упоминаемые в аксиоме Френкеля объекты Ai были элементами какого-то уже имеющегося множества M, то

66

соответствие i Ai было бы отображением из I в M, и по аксиоме 5 существовало бы подмножество M, являющееся образом этого

отображения; элементами этого подмножества были бы как раз объ- åêòû Ai и только они, так что в этом случае не было бы надобности постулировать существование множества N. Аксиома же Френкеля

позволяет получать множества из объектов, которые ранее не входили ни в какое объемлющее их множество.

В математических рассуждениях мы часто пользуемся аксиомой Френкеля, не отдавая себе в этом отчета. Например, пусть для каждого i 2 I мы построили некоторое множество Ai; для того, чтобы

можно было говорить об их объединении, надо, чтобы эти объекты составляли множество, а это иногда трудно доказать без аксиомы 9.

Необходимость включения аксиомы Френкеля в систему аксиом теории множеств была замечена не сразу; можно показать, что она не следует из других аксиом. В нашем курсе нам до сих пор удавалось обходиться без аксиомы Френкеля.

4. Существование ординального числа, изоморфного вполне упорядоченному множеству.

Теорема 5. Для каждого вполне упорядоченного множества A существует, и притом единственное, ординальное число , изоморфное (как вполне упорядоченное множество) множеству A.

Доказательство. Единственность непосредственно следует из последнего утверждения теоремы 1. Вложим A в качестве начального

отрезка в некоторое строго большее вполне упорядоченное множество B (например, в сумму вполне упорядоченного множества A и

одноэлементного множества) и докажем, что не только A, но и любой начальный отрезок множества B, не совпадающий с B, изоморфен

некоторому ординальному числу.

Если это не так, то множество элементов b из вполне упорядочен-

ного множества B, для которых начальный отрезок [0; b)B не изомор- фен никакому ординальному числу, непусто, и в нем есть наименьший элемент c. Тогда для каждого x < c существует единственное

ординальное число x, изоморфное начальному отрезку [0; x)B, à îò- резок [0; c) не изоморфен никакому ординальному числу. По аксиоме Френкеля ординальные числа x с x < c составляют множество, и

Пусть строго большее (такое существует по теореме 4).

Если бы существовало строго монотонное отображение вполне упорядоченного множества на собственный начальный отрезок [0; d)

вполне упорядоченного множества [0; c) (d 2 B, d < c), то ординаль-

ные числа и d были бы изоморфны как вполне упорядоченные

множества, и по теореме 1 они были бы равны. Но это невозможно, так как d ( . Значит, такого отображения нет, и тогда по

67

теореме 1 из x 8 о сравнении вполне упорядоченных множеств суще-

ствует строго монотонное отображение, то есть изоморфизм вполне упорядоченного множества [0; c) на начальный отрезок ординаль-

ного числа , который тоже является ординальным числом, и потому отрезок [0; c) изоморфен ординальному числу вопреки предположению. Этим доказательство теоремы завершается.

5. Натуральные числа. Множество натуральных чисел N0 вполне упорядочено; единственное изоморфное ему ординальное число обыч- но обозначается через !. В отличие от ранее определенного множе-

ñòâà N0, в качестве которого мы взяли какое-то случайно выбранное бесконечное вполне упорядоченное множество, все начальные отрезки которого конечны, множество ! определено однозначно. Это и

есть тот канонический выбор множества натуральных чисел, о котором мы упоминали выше.

Начиная отсюда, будем считать, что в качестве N0 выбрано имен- но вполне упорядоченное множество !. Таким образом, натураль-

ные числа оказываются ординальными числами. Выпишем несколько первых натуральных чисел:

0 = [0; 0) = ?;

1 = [0; 1) = f0g = f?g;

2 = [0; 2) = f0; 1g = f?; f?gg;

3 = [0; 3) = f0; 1; 2g = f?; f?g; f?; f?ggg;

4 = [0; 4) = f0; 1; 2; 3g = f?; f?g; f?; f?gg; f?; f?g; f?; f?gggg :::

По своему построению, ! является наименьшим бесконечным ординальным числом: если n < !, то n 2 !, то есть n натуральное число. Обратно, если ординальное число является конечным вполне

упорядоченным множеством, то существует такое натуральное число n 2 N0 = !, что изоморфно начальному отрезку [0; n)! (см. теорему

1 из x 10), то есть ординальному числу n 2 !. Но изоморфные ординальные числа совпадают, поэтому = n 2 !. Итак, натуральные

числа это такие ординальные числа, которые являются конечными вполне упорядоченными множествами.

6. Сумма, произведение ординальных чисел. Супремум множества ординальных чисел. Пусть , ординальные числа;

это вполне упорядоченные множества, и поэтому определены их сумма + и произведение , которые тоже являются вполне упоря-

доченными множествами (см. x 6). Единственные ординальные чис-

ла, изоморфные этим вполне упорядоченным множествам, называются соответственно суммой и произведением ординальных чисел ,

. Для них сохраняются те же обозначения + , . Если = n,

= m натуральные числа, то вполне упорядоченные множества

+ , состоят соответственно из n + m, nm элементов, и по-

тому изоморфны ординальным числам m + n, mn. Таким образом,

68

определенные нами действия над ординальными числами являются распространением соответствующих действий над натуральными числами. Как нам хорошо известно, на множестве натуральных чи- сел действия сложения и умножения ассоциативны, коммутативны и обладают другими обычными свойствами; например:

m + n = '(m + n) = '(n + m) = n + m ;

m(n + l) = '(m(n + l)) = '(mn + ml) = mn + ml :

Однако, это уже, вообще говоря, не так для бесконечных ординальных чисел. Так, 1 + ! = !, но ! + 1 6= !; 2! = ! + ! 6= !, но ! 2 = !.

Отметим, что возникшие здесь ординальные числа счетны, так же,

как счетны

3!!! + ! 5 ! + 3 ; !10 + !7 + 15

и многие другие ординальные числа. Мы видим, что для каждой конечной мощности существует лишь одно ординальное число этой мощности, но уже множество счетных ординальных чисел весьма велико и трудно обозримо.

Теорема 6. Для любого ординального числа ординальное число+ 1 наименьшее ординальное число, строго большее, чем .

Доказательство. Пусть такое ординальное число, что < ;

тогда 2 è = [0; ) . Поэтому вполне упорядоченное множество [0; ] = [ f g, изоморфное вполне упорядоченному множеству+ 1, является начальным отрезком ординального числа . Но это означает, что + 1 .

Пусть A некоторое множество ординальных чисел; если оно

непусто, то в нем есть наименьшее ординальное число. В отличие от наименьшего, наибольшее ординальное число существует не во всяком множестве. Однако, для множества A ординальных чисел всегда

существует его точная верхняя граница sup A, то есть такое ординальное число , что для любого ординального числа из множества A, и что для любого ординального числа , такого что для всех 2 A. Действительно, по теореме 2 объединение всех множеств 2 A ординальное число; оно содержит все ординальные числа 2 A и содержится в любом ординальном числе, содержащем все 2 A.

7. Нумерация множеств. Если у нас есть конечное множество, состоящее из n элементов, то мы можем занумеровать его элементы натуральными числами 1; 2; : : : ; n. Точно так же элементы счетно-

го множества можно занумеровать всеми натуральными числами, и это широко используется в математике. Ординальные числа позволяют сделать это для произвольного множества: каждому элементу множества можно сопоставить ординальное число, так что разным элементам отвечают разные ординальные числа, причем множество использованных ординальных чисел представляет собой множество

69

Ord всех ординальных чисел, меньших некоторого ординального числа ; отметим, что ординальное число меньше ординального числа тогда и только тогда, когда 2 , так что ординальные числа, меньшие , действительно образуют множество, а именно, мно-

жество .

Покажем, как это можно сделать. Пусть M произвольное мно-

жество; по теореме Цермело на нем можно ввести отношение порядка так, чтобы множество стало вполне упорядоченным; для этого вполне упорядоченного множества есть единственное изоморфное ему ординальное число . Обозначим через ' изоморфизм вполне упорядочен-

ного множества на вполне упорядоченное множество M; если <ординальное число, то 2 = Ord , и мы положим x = '( ). Таким образом, каждый элемент x из множества M получил некоторый "номер" 2 Ord , и эта нумерация расставляет элементы множества M в некотором порядке. Отсюда происходит и термин "ординальные числа" (по-русски порядковые числа).

8. Предельные и непредельные ординальные числа. Прин-

цип трансфинитной индукции. Выше был сформулирован принцип индукции для натуральных чисел. Используя понятия, которые у нас теперь появились, мы можем сказать кратко, что он утверждает полную упорядоченность множества натуральных чисел. Но вполне упорядочено и любое множество ординальных чисел, поэтому естественно использовать этот факт для проведения индукции для множеств, выходящих за пределы множества натуральных чисел.

Теорема 7 (принцип трансфинитной индукции). Пусть

ординальное число, и пусть X подмножество множества Ord ординальных чисел, меньших . Если 0 2 X и если для любого орди-

нального числа < , 6= 0, из того, что все ординальные числа, меньшие , принадлежат множеству X, следует, что 2 X, то

X = Ord .

Доказательство. Если X 6= Ord , то множество Y = Ord nX, состоящее из всех элементов множества Ord , не принадлежащих X, непусто, и поэтому существует наименьшее ординальное число < , не принадлежащее X. Но это невозможно, так как или = 0, или для всех < ординальное число принадлежит X; в обоих случаях

2 X.

Принцип индукции лежит в основе метода трансфинитной индукции. Пусть мы хотим доказать некоторое утверждение P ( ), сфор-

мулированное для всех ординальных чисел . Предположим, что мы уже доказали P (0) и, кроме того, доказали, что если 0 ординаль- ное число и утверждение P ( ) справедливо для всех < 0, òî ñïðà- ведливо и утверждение P ( 0). Тогда утверждение P ( ) выполняется

для всех ординальных чисел . Действительно, если это не так, то

70