Теория множеств

отождествляют с целым числом a, а класс эквивалентности пары (a; b) записывают в виде a=b; при этом, как легко видеть, (a=b) b = a.

3. Множество вещественных чисел. Сложнее строится множе-

ство вещественных чисел. Сначала дадим одно определение. Подмножество A линейно упорядоченного множества рациональных чи-

сел Q называется открытым нижним интервалом Q, если в нем нет наибольшего элемента и если для всякого элемента a 2 A любой элемент b 2 Q, такой что b a, тоже принадлежит A. Для любого l 2 Q обозначим через ( 1; l) множество всех a 2 Q, таких что a < l. Оче- видно, ( 1; l) открытый нижний интервал Q, отличный от Q и от ?. При этом само число l больше любого числа из ( 1; l] и не

больше любого числа из дополнения этого нижнего интервала. Однако, существуют такие открытые нижние интервалы, отлич-

ные от Q и ?, которые не отвечают никакому рациональному числу; в качестве примера достаточно взять подмножество Q, состоящее из

всех отрицательных чисел, 0 и тех положительных рациональных чисел, квадраты которых меньше 2. Поэтому естественно пополнить Q, добавив к нему элементы, соответствующие всем нетривиальным

нижним интервалам.

Итак, в множестве подмножеств P (Q) множества рациональных чисел Q выделим подмножество

R = f 2 P (Q) j открытый нижний интервал Q; 6= Q; ?g:

Множество R и называется множеством вещественных чисел. Отображение ' : Q ! R, сопоставляющее каждому рациональному числу a 2 Q интервал ( 1; a), является, очевидно, инъективным. Мы отождествляем вещественное число '(a) с рациональным числом a;

таким образом, множество рациональных чисел оказывается вложенным в R.

Введем на R отношение частичного порядка, считая, что , если нижний интервал содержится в нижнем интервале . Ясно, что этот порядок линеен. Действительно, если 6 , то есть если неверно, что , то найдется рациональное число b, принадлежащее , но не принадлежащее . Тогда для любого a 2 выполняется неравенство a < b, так как две другие возможности для пары элементов a, b линейно упорядоченного множества Q исключены: a не может равняться b, потому что один из этих элементов принадлежит, а другой не принадлежит, а если бы b < a, то элемент b принадлежал бы интервалу вместе с элементом a. Следовательно, любой элемент a 2 меньше элемента b из нижнего интервала и потому принадлежит . Итак, , то есть < .

Отметим, что для любого 2 R и для любого рационального числа a, принадлежащего нижнему интервалу Q, очевидно, будет '(a) = ( 1; a) ( , так что любое вещественное число больше, чем любое содержащееся в нижнем интервале рациональное число

41

a (которое, напомним, отождествлено с нижним интервалом '(a)). Столь же очевидно, что вещественное число не больше любого рационального числа, входящего в дополнение подмножества множества Q рациональных чисел.

Определим теперь действия сложения и умножения для вещественных чисел. Пусть ; ; 2 R, > 0; тогда ; ; Q открытые

нижние интервалы Q. Вместе с ними, очевидно, открытыми нижним интервалами, отличными от Q и ?, будут и множества

fa + b j a 2 ; b 2 g; fac j a 2 ; 0 < c 2 g;

их мы и примем за + , (при > 0). Легко убедиться, что относительно сложения R становится абелевой группой; в частности, для каждого числа 2 R есть противоположное число 2 R, причем если < 0, то > 0. Мы можем теперь определить умножение на любое, а не только положительное число 2 R:

0 = 0; = ( )( ); åñëè < 0:

Несложная, но громоздкая проверка показывает, что относительно введенных действий множество R является полем.

Самым привычным способом записи вещественных чисел является их запись в виде, вообще говоря, бесконечных десятичных дробей. Для простоты пусть неотрицательное вещественное число;

для всякого натурального n множество таких a 2 Z, что a=10n

ограничено сверху, и поэтому в нем существует наибольшее число an. Как легко видеть, для любого n 2 N0, n 1, выполняется со-

отношение 10an 1 an < 10an 1 + 10, поэтому натуральное число bn = an 10an 1 равно одному из чисел 0; 1; : : : ; 9. Ясно, что

a0 + b1=10 + b2=102 + + bn=10n = an=10n:

Сопоставим числу бесконечное выражение a0; b1b2:::, называемое десятичной записью числа ; оно вполне определяет , так как для

любого n рациональное число a0+b1=10+b2=102+ +bn=10n = an=10n является наибольшим из рациональных чисел со знаменателем 10n,

не превосходящих , а само это наименьшее вещественное число, удовлетворяющее неравенствам an=10n для всех натуральных n.

Отметим, что при нашем определении десятичной записи вещественных чисел не бывает конечных десятичных дробей; так, десятичные записи рациональных чисел 3, 3=4 имеют вид

2; 99999 : : : ; 0; 74999 : : : :

Таким образом, в отличие от традиционной записи десятичных дробей, мы запрещаем бесконечные повторения цифры 0, но разрешаем

бесконечные повторения цифры 9.

42

x 12. Счетные множества

1. Счетные множества. Множество M называется счетным, если оно равномощно множеству натуральных чисел N0. Всякие два счет- ных множества M, N равномощны, потому что M равномощно N0, N0 равномощно N, а равномощность транзитивное свойство.

Предложение 1. Всякое подмножество счетного множества конечно или счетно.

Доказательство. Очевидно, достаточно убедиться, что каждое бесконечное подмножество A множества натуральных чисел N0 счетно. Но относительно порядка, индуцированного на A порядком множе-

ñòâà N0, множество A вполне упорядочено. Всякий начальный отрезок [0; n)A, отличный от всего множества A, содержится в начальном

отрезке [0; n)N0 множества N0 и потому является конечным вполне упорядоченным множеством. Следовательно, вполне упорядоченное множество A изоморфно множеству натуральных чисел N0.

Заметим, что уже для счетных множеств принцип Дирихле нарушается.

Предложение 2. Если множество счетно, то существует его инъективное, но не сюръективное отображение в себя, и сюръективное, но не инъективное отображение на себя.

Доказательство. Достаточно доказать утверждение для множества натуральных чисел N0. Вполне упорядоченное подмножество N = N0 n f0g множества N0 бесконечно, поскольку в нем нет наибольшего

элемента; поэтому оно счетно, и существует биективное отображение ' : N0 ! N. Композиция ' с каноническим вложением N в N0

является инъективным, но не сюръективным отображением N0 â ñå-

бя, а отображение : N0 ! N0, определенное правилом (0) = 0,(x) = ' 1(x) для x 2 N, сюръективно, но не инъективно (так как

(0) = 0 = ('(0))).

2. Счетность декартова квадрата множества N0.

Теорема 1. Декартов квадрат N0 N0 множества натуральных чисел N0 счетное множество.

Доказательство. Пусть ' : N0 N0 ! N0 N0 N0 отображение, определенное формулой '((x; y)) = (maxfx; yg; x; y). Это отображе-

ние, очевидно, инъективно; обозначим через U его образ. Декартово произведение N0 N0 N0 вполне упорядочено относительно лексикографического порядка, поэтому и его подмножество U вполне упо-

рядочено. Покажем,что во всяком его непустом начальном отрезке [(0; 0; 0); (m; x; y))U , отличном от U, есть наибольший элемент. Действительно, если (m; x; y) 2 U, то m = maxfx; yg, и возможны лишь

следующие случаи:

x=0; y =m; 0<x<m; y =m; x=m; y =0; x=m; 0<y m:

43

Если отрезок [(0; 0; 0); (m; x; y))U непуст, то, очевидно, m > 0, и в

каждом из случаев в этом отрезке найдется наибольший элемент; точнее, этим наибольшим элементом будет

:

(здесь для любого a 2 N0, a > 0 через a 1 обозначен наибольший элемент непустого начального отрезка [0; a) множества N0).

Итак, U бесконечное вполне упорядоченное множество, все соб-

ственные начальные отрезки которого конечны; мы видели, что все такие множества изоморфны, а значит, равномощно N0. В частности, это означает, что существует биективное отображение множества

U на множество N0. Отображение ' : N0 N0 ! N0 инъективно, так как инъективны оба отображения '; , и оно сюръективно, так как '(N0 N0) = U, (U) = N0. Таким образом, декартов квадрат мно- жества N0 равномощен N0, а это и значит, что он является счетным множеством.

Построенное в предыдущем доказательстве биективное отображение ' сопоставляет каждой паре натуральных чисел (x; y) ее "но-

ìåð" '((x; y)) 2 N0, и эта нумерация превращает N0 N0 во вполне

упорядоченное множество. Следующая схема наглядно показывает, как устроена эта нумерация:

Точки первого квадранта плоскости с целочисленными координатами нумеруются по границам квадратов с вершиной в начале координат, причем сначала нумеруются слева направо все точки верхней стороны квадрата, кроме последней, а затем снизу вверх нумеруются все точки правой стороны квадрата.

3. Объединение счетных множеств. Мы говорим, что множество не более чем счетно, если оно конечно или счетно.

Теорема 2. Пусть M не более чем счетное множество множеств, и пусть для каждого множества A 2 M задано инъектив-

ное отображение 'A : A ! N0 (так что каждое множество A не более чем счетно). Тогда объединение U всех множеств A 2 M не

более чем счетно.

44

Доказательство. Поскольку M не более чем счетное множество, существует инъективное отображение множества M в множество

есть наименьший элемент n(a). Пусть S = S(a) 2 M(a) единственный элемент, такой что (S) = n(a). Положим (a) = ( (S); 'S(a)). Легко видеть, что отображение инъективно. Действительно, пусть a; b 2 U и (a) = (b) = ( (S); m). По определению из этих равенств следует, что a; b 2 S, 'S(a) = 'S(b) = m; поскольку отображение 'S инъективно, отсюда следует, что a = b. Итак, мы построили инъективное отображение множества U в счетное множество N0 N0; следовательно, множество U равномощно некоторому подмножеству счетного множества (а именно, множеству (U)). По предложению 1 это и означает, что множество U не более чем счетно.

Замечание. Обычно последняя теорема формулируется несколько свободнее: объединение не более чем счетного множества не более чем счетных множеств не более чем счетно. Казалось бы, это то же самое, так как и для множества M, и для каждого из мно-

жеств A 2 M существуют инъективные вложения в N0, è ýòî íå надо дополнительно требовать. Однако, хотя для каждого A 2 M

существует вложение 'A : A ! N0, выбрать такие вложения одновременно для бесконечного числа множеств A 2 M мы можем

только, если имеем в распоряжении аксиому выбора, о которой будем говорить ниже. В нашей же формулировке мы считаем, что эти вложения уже выбраны.

4. Примеры счетных множеств. Доказанные теоремы позволяют доказать счетность многих множеств.

1. Множество целых чисел Z счетно. Для каждого n 2 N0 îáî- значим через An подмножество Z, состоящее из всех целых чисел z n, а через M P (Z) обозначим множество всех таких подмно-

жеств Z:

M = fA Z j существует n 2 N0, для которого A = Ang:

Отображение n An является биективным отображением N0 на M, поэтому множество M счетно. Для каждого An 2 M отображение 'n : An ! N0, определенное формулой 'n(z) = z + n, инъективно. По теореме 2 объединение всех множеств An 2 M счетно; но это объединение совпадает с Z.

2. Множество рациональных чисел Q счетно. Для каждого натурального n 1 обозначим через Vn подмножество Q, состоящее из

45

всех рациональных чисел, представимых в виде a=n, a 2 Z, а через N P (Z) обозначим множество всех таких подмножеств Q:

N = fV Q j существует n 1, для которого V = Vng:

Отображение n Vn+1 является биективным отображением N0 íà равномощное ему множество N, поэтому множество N счетно. Пусть

произвольное биективное отображение множества Z на N0; äëÿ каждого Vn 2 N отображение n : Vn ! N0, определенное формулой n(q) = (nq), инъективно. По теореме 2 объединение всех множеств

Vn 2 M счетно; но это объединение совпадает с Q.

3. Декартово произведение конечного числа не более чем счетных множеств не более чем счетно. Пусть A, B не более чем счетные

множества; тогда существуют инъективные отображения ' : A!N0, : B ! N0. Отображение A B ! N0 N0, сопоставляющее паре (a; b) 2 A B ïàðó ('(a); (b)) 2 N0 N0, очевидно, инъективно, и потому оно осуществляет биективное отображение множества A B

на подмножество счетного множества N0 N0; поэтому множество A B не более чем счетно. Если теперь C еще одно не более чем

счетное множество, то декартово произведение A B C не более чем счетного множества A B и не более чем счетного множества C не более чем счетно. Повторяя это рассуждение несколько раз,

мы получим, что декартово произведение конечного числа не более

чем счетных множеств не более чем счетно. В частности, декартово произведение An конечного числа n экземпляров счетного множества

Aсчетно; например, счетны множества Nn0 , Zn, Qn.

Рассмотрим последнее множество немного подробнее. Пусть ,

какие-то биективные отображения счетных множеств Q, N0 N0 íà N0. Тогда отображение 2 : Q Q ! N0, определенное форму- ëîé 2(q1; q2) = ( (q1); (q2)), тоже биективно. Далее, отображение 3 : Q Q Q ! N0, определенное формулой 3(q1; q2; q3) =

( 2(q1; q2); (q3)), биективно. Продолжая построение, мы построим биективные отображения n : Qn ! N0.

4. Множество многочленов с рациональными коэффициентами сче-

тно. Для любого натурального числа n обозначим через Pn множе-

ство многочленов с рациональными коэффициентами, степень которых строго меньше n, а через K Q[x] обозначим множество всех

таких подмножеств Q[x]:

K = fP Q[x] j существует n 2 N0, для которого P = Png:

Отображение n Pn является биективным отображением N0 íà ðàâ- номощное ему множество K, поэтому множество K счетно. Отобра-

жение n : Pn ! Qn, сопоставляющее многочлену a0 + a1x + + an 1xn 1 элемент (a0; a1; : : : ; an 1) 2 Qn, биективно; комбинируя его с только что построенным биективным отображением n : Qn ! N0,

46

получим биективное отображение n n : Pn ! N0. По теореме 2 объ- единение Q[x] всех множеств Pn 2 K счетно.

5. Множество вещественных алгебраических чисел счетно. Вещественное число называется алгебраическим, если существует ненулевой многочлен f(x) = a0 + a1x + + anxn с рациональными ко- эффициентами, для которого является корнем. В частности, кор-

ни любой степени из рациональных чисел алгебраические числа. Известно, что множество Rf корней многочлена f(x) конечно; обозначим через f отображение из Rf â N0, сопоставляющее каждому корню 2 Rf количество корней из Rf , которые строго меньше, чем. Ясно, что отображения f инъективны.

Обозначим через L множество всех подмножеств R вида Rf :

K = fR R j существует f 2 Q[x]; f 6= 0, для которого R = Rf g:

Отображение f(x) Rf является биективным отображением счетного множества Q[x] n f0g на равномощное ему множество L, поэто-

му множество L счетно. Множество A вещественных алгебраических

чисел является объединением множеств Rf 2 L; по теореме 2 оно счетно.

x 13. Множества мощности континуума

1. Мощность континуума. Мы увидели выше, насколько разно-

образными могут быть счетные множества. Естественно возникает вопрос: а существуют ли вообще несчетные бесконечные множества? Утвердительный ответ на этот вопрос дает теорема Кантора (теорема 2 из x 7): мощность множества P (A) подмножеств счетного множе-

ства A строго больше мощности множества A, и поэтому множество P (A) несчетно.

До сих пор мы определяли лишь соотношение между мощностями множеств, но само понятие "мощность множества" не определили. Однако, уже сейчас мы можем ввести обозначения для мощностей некоторых множеств. Это по сути уже сделано для конечных множеств: мощность конечного множества это его порядок, то есть натуральное число. Мы будем говорить, что мощность множества равна @0, если это множество счетное, и равна @, если оно равно-

мощно множеству подмножеств множества натуральных чисел N0 (или, как следует из замечания в конце x 7, множеству подмножеств

любого счетного множества). В последнем случае мы будем говорить также, что мощность множества равна мощности континуума (происхождение этого термина будет объяснено ниже).

2. Множества мощности @. Мы покажем, что большинство мно-

жеств, встречающихся в математике, имеют мощность континуума. Сначала рассмотрим довольно зкзотическое множество E; его эле-

ментами являются все вещественные числа из отрезка (0; 1), в представлении которых бесконечной десятичной дробью после запятой

47

встречаются лишь две цифры 1 и 2 (таким образом, 12=99 = 0; 12121::: 2 E, а 3=25 = 0; 1199::: 2= E).

Теорема 1. Мощность множества E равна @.

Доказательство. Поскольку @ мощность множества подмножеств счетного множества, достаточно доказать, что множества P (N) и E равномощны (напомним, что через N мы обозначаем множество

N0 n f0g натуральных чисел, отличных от 0). Построим отображение : P (N) ! E. Каждому подмножеству A N поставим в соот-

ветствие вещественное число (A) 2 E, десятичная запись которого

имеет вид 0; a1a2a3 : : : , в которой i-ая цифра ai равна 1, если i 2= A, и i-ая цифра ai равна 2, если i 2 A. Построим теперь отображение: E !P (N). Пусть 2 E; вещественное число единственным об-

разом раскладывается в десятичную дробь 0; a1a2a3 : : : , все цифры которой ai по определению множества E равны 1 или 2. В качестве( ) возьмем множество всех тех номеров i 2 N, для которых i-ая

цифра ai равна 2. Ясно, что отображение является обратным к отображением, так что отображение обратимо, а потому биективно. Следовательно, множества P (N) и E равномощны.

Замечание. Множество E вариант так называемого канторова

множества; настоящее канторово множество состоит из вещественных чисел, принадлежащих отрезку (0; 1), разложение кото-

рых в троичную (а не десятичную) дробь содержит после запятой лишь цифры 0; 2. Множество E представляется очень маленьким

по сравнению с другими множествами мощности @, о которых будет говориться ниже: оно получается из отрезка [0; 1) выбрасыва-

нием счетного множества отрезков, сумма длин которых равна 1, так что его мера равна 0 (понятие меры обобщает понятие длины отрезка на более широкий класс множеств, и основным свойством меры является счетная аддитивность: мера объединения не более чем счетного числа попарно не пересекающихся измеримых множеств равна сумме мер множеств). Разобьем отрезок [0; 1) на

10 частей [0; 1=10), [1=10; 2=10), [2=10; 3=10),...,[9=10; 1) и выбросим 8

из них все, кроме второго и третьего; у нас остались только те числа из [0; 1), у которых первая цифра равна 1 или 2. С каждым

из двух оставшихся отрезков проделаем ту же операцию: разобьем их на 10 равных частей и оставим только вторые и третьи куски каждого из отрезков [1=10; 2=10), [2=10; 3=10). В оставшихся че-

тырех более мелких кусках содержатся лишь те числа, у которых первые две цифры после запятой равны 1 или 2. Продолжая этот

процесс, мы придем к множеству E. На первом шагу мы выбросили 8 отрезков общей длины 8 1=10, на втором 16 отрезков общей длины 16 1=100, на третьем 32 отрезка общей длины 32 1=1000...

Общая длина всех выброшенных отрезков равна

108 + 10016 + 100032 + = 108 =(1 102 ) = 1 :

48

Теорема 2. Мощность любого подмножества A множества вещественных чисел R, содержащего канторово множество E, равна @. В частности, вс¼ R и отрезок (0; 1) имеют мощность @.

Доказательство. Поскольку E A, мощность множества A не меньше мощности @ множества E. С другой стороны, по определению вещественных чисел существует инъективное вложение множества R в множество подмножеств счетного множества Q; поэтому мощность множества R, и тем более мощность множества A R, не больше мощности множества P (Q) подмножеств счетного множества Q, которая равна @. Согласно теореме Кантора-Бернштейна, мощность множества A равна @.

Теорема 3. Мощность декартова произведения двух множеств, каждое из которых имеет мощность континуума, равна @.

Доказательство. Пусть U, V непересекающиеся счетные множе-

ства (такие найдутся, например, N0 è N0 N0); если мощности мно- жеств A, B равны @, то существуют биективные отображения ' :

P (U)!A, : P (V)!B. Тогда отображение P (U) P (V)!A B, сопоставляющее паре (X; Y ) 2 P (U) P (V) пару ('(X); (Y )) 2 A B, биективно, и потому множества P (U) P (V), A B равномощны. Поэтому достаточно доказать, что множество P (U) P (V) имеет мощ-

ность континуума.

Построим отображения : P (U) P (V)!P (U [ V), 0 : P (U [ V)! P (U) P (V). Отображение паре (X; Y ), где X подмножество U, Y подмножество V, ставит в соответствие подмножество X [ Y множества U[V, а отображение 0 подмножеству Z множества U[V ставит в соответствие пару (Z \U; Z \V) 2 P (U) P (V). Ясно, что è 0 взаимно обратные, а потому биективные отображения. Следовательно, множество P (U) P (V) равномощно множеству P (U [ V) подмножеств счетного множества U[V, а значит, его мощность равна мощности континуума @.

Из теоремы 3 следует, что множество точек плоскости, которая представляет собой декартово произведение R R, имеет мощность

@. Применяя теорему 3 к декартову произведению плоскости R R и вещественной прямой R, получаем, что трехмерное пространство R3

тоже имеет мощность континуума. По индукции получаем, что для любого конечного n мощность n-мерного пространства Rn равна @.

В то же время для любого маленького " > 0 мощность отрезка (0; ") равна @, так как отображение x ! x" является биективным отображением отрезка (0; 1) на отрезок (0; "). Итак, в маленьком отрезке (0; ") содержится столько же точек, сколько в пространстве огром- ной размерности Rn. Из теоремы Кантора-Бернштейна следует, что любое подмножество Rn, содержащее сколь угодно малый отрезок (или маленький кусочек кривой), имеет мощность континуума.

49

Слово continuum означает по-латински "прилегающий один к другому"; мы увидели, что мощность множеств, состоящих из точек n-мерного пространства и содержащих куски, состоящие из точек,

непосредственно "прилегающих одна к другой без разрывов", равна @. Отсюда и происхождение названия мощности @: мощность конти-

нуума. Однако, мощность @ имеют и некоторые "всюду разрывные"

точечные множества, в которых любые две точки можно разделить границей, целиком состоящей из точек, не принадлежащих множеству; примерами таких множеств являются множество E из теоремы

1 и другие множества канторовского типа.

3. О шкале мощностей. Напомним, что мощности (порядки) ко-

нечных множества измеряются натуральными числами. Для описания мощностей бесконечных множеств натуральных чисел недостаточно: нам надо создать шкалу мощностей, расширив множество натуральных чисел. Мы это сделаем позже, а пока опишем небольшую часть этой шкалы, включив в нее известные нам мощности. Прежде, чем дать еще одно определение, сосчитаем мощность множества подмножеств конечного множества.

Лемма 1. Пусть M конечное множество мощности n (это озна- чает, что M состоит из n элементов). Тогда мощность множества P (M) подмножеств множества M (то есть число элементов P (M)) равна 2n.

Доказательство. Пусть M множество, состоящее из n элементов. Для каждого подмножества A множества M определим харак-

теристическое отображение A : M ! f0; 1g, положив A(m) = 1, åñëè m 2 A, è A(m) = 0, если m 2= A. Обратно, по отображению : M ! f0; 1g легко восстановить подмножество A, характе-

ристическим отображением которого оно является: элемент m 2 M принадлежит A тогда и только тогда, когда (m) = 1. Таким образом, число подмножеств множества M равно числу отображений: M !f0; 1g. Но это число легко сосчитать: на каждом из n элемен-

òîâ m1; m2; : : : ; mn множества M отображение может принимать два значения 0 и 1, так что каждый из двух вариантов значения(m1) может сочетаться с любым из двух вариантов для (m2) (всего, таким образом, есть 4 варианта значений отображения на элемен- òàõ m1; m2), каждый из этих четырех вариантов может сочетаться с

любым из двух вариантов для (m3) и т.д. Таким образом, имеется 2n различных отображений из M в множество f0; 1g, а значит, и 2n

различных подмножеств множества M.

Эта лемма делает естественным следующее определение. Пусть для мощности множества M уже есть символ A в шкале мощностей;

тогда мощность множества P (M) подмножеств множества M будет обозначаться через 2A. В частности, в этих терминах @ = 2@0 . Ìû

50