14. Постановка задач синтеза закона управления динамическим объектом на основе концепции подобия

На современном этапе развития теории управления заняла свою содержательную и инструментальную нишу концепция подобия. При решении задач управления под концепцией подобия понимают обеспечение подобия векторных процессов, в основном по состоянию, проектируемой системы процессам в некоторой модельной системе, обладающей желаемыми динамическими свойствами в переходном и установившемся режимах. В непараметризованной временем форме концепция векторного подобия сводится к выполнению соотношения

, (14.1)

где в общем случае размерности векторов ив зависимости отпостановки задачи управления могут не совпадать, поэтому матрица преобразования подобия в общем случае может бытьособой.

В параметризованном временем виде равенство (14.1) достигается в асимптотике так, что

, (14.2)

при этом

. (14.3)

В (14.2) – вектор состояния некоторогомодельного (эталонного) динамического процесса, – вектор состояниясинтезируемой динамической системы, ,,–– матрица в общем случае особого преобразования подобия;принимает смыслнепрерывного времени внепрерывных по времени процессах и смысл дискретного времени , выраженного в числе интервалов дискретности длительноститак, чтовдискретных по времени процессах, – вектор невязки выполнения векторно-матричного подобия.

Тогда, если динамический процесс (объект) оказывается управляемым, то часть ресурса управления должна быть потрачена на обеспечение подобия в форме (14.2) с требуемым темпом и качеством сходимости к подобию в форме (14.1.).

В такой постановке в настоящее время решаются задачи модального управления, задачи слежения за конечномерным задающим воздействием (КЗВ), использующие концепцию обобщенного изодрома (внутренней модели КЗВ), а также задачи динамического наблюдения с целью асимптотического восстановления вектора состояния динамического объекта (объекта управления).

14.1. Модальное управление

В первоначальной постановке в 70-е годы прошлого века задача модального управления формулировалась как задача синтеза закона управления, обеспечивающего матрице состояния системы, образованной объединением исходного динамического объекта и формирователя сигнала управления (регулятора), желаемую структуру собственных значений (мод) .

Алгоритмически задача обеспечения требуемой структуры собственных значений матрицы состояния проектируемой системы, доставляющей последней желаемое качество переходных и установившихся процессов решалась путем приведения модельного представления объекта управления (ОУ) к базису Фробениуса. Сложности синтеза модального управления таким способом заметно возрастают при управлении объектами типа «многомерный вход – многомерный выход» (МВМВ-типа). Для преодоления этих трудностей разработчиками использовались достаточно громоздкие конструкции матриц приведения ОУ МВМВ-типа к представлению в базисе Фробениуса. Однако с ростом размерности ОУ заметно ухудшается обусловленность матриц приведения подобия, что влечет за собой проблемы вычислительной устойчивости.

Поиск методов синтеза модального управления, инвариантных относительно базисных представлений, привел к модификации первичной постановки задачи модального управления. В результате модификации задача получила формулировку обеспечения векторного и матричного подобия процессов в синтезируемой системе процессам в некоторой эталонной системе, именуемой модальной моделью. В такой постановке алгоритмическое обеспечение процедуры синтеза модального управления опирается на решение неоднородного матричного уравнения Сильвестра.