Алгоритм 11.1(а11.1)

1. Построить векторно-матричное описание непрерывной системы (11.1) – матрицы (F,G,C);

2. Построить векторно-матричное описание источника экзогенного конечномерного воздействия (11.16) – матрицы (Е,P_g);

3. Решить аналитически или численно матричное уравнение Сильвестра (11.28) относительно матрицы подобия

4. С помощью соотношений (11.41) – (11.45) решить задачу анализа реакции непрерывной системы на конечномерное экзогенное воздействие.

Остановимся теперь на ситуации, когда ИКЭВ формирует типовые экзогенные воздействия, ограничившись случаями ступенчатого и гармонического экзогенного воздействия. Первое типовое воздействие используется для оценки динамических свойств исследуемой ДС по кривой переходного процесса, второе – по амплитудным частотным характеристикам.

Случай 11.1(Сл11.1) ступенчатого экзогенного воздействия характеризуется матрицами имодельного представления ИКЭВ (11.16) в силу (11.19), имеющими вид

. (11.47)

Подстановка матриц вида(11.47) в уравнение Сильвестра (11.28) дает

, что позволяет для матрицы записать

(11.48)

Матрицы вида (11.47) ивида (11.48) дают для матричной экспоненты, записанной в форме (11.37) представление

(11.49)

Подстановка матричной экспоненты вида (11.49) и выделение из полного движения вынужденной составляющей по вектору состояния и выхода исследуемой системы дает

(11.50)

(11.51)

В выражениях (11.50) и (11.51) матрицы

и (11.52)

представляют собой соответственно матричные переходные функции по состоянию и выходу. Если возникает необходимость скаляризации задачи, состоящей в исследовании динамических свойств го сепаратного канала ДС, связывающегой выходсм входом, то в этом случае впереходной матрице по выходу (или просто впереходной матрице) выделить й элемент

, (11.53)

где соответственноя строка матрицы выходаий столбец матрицы входа

Как будет показано в разделе 13 книги, глобальная скаляризация векторных процессов в системах типа «многомерный вход – многомерный выход» (МВМВ) строится с помощью мажорант и минорант, являющихся для максимальным и минимальным сингулярными числами переходной матрицы

Случай 11.2 (Сл11.2) гармонического экзогенного воздействия характеризуется матрицами имодельного представления ИКЭВ (11.16) в силу (10.26), имеющими вид

,(11.54)

Прежде, чем формировать аналитическое представление реакции динамической системы на гармоническое воздействие следует заметить, что частотные методы применяются для исследования установившихся составляющих движения системы, которые для векторов состояния и выхода имеют соответственно вид (11.43) и (11.44), в которых требуется вычислить матрицу из решения матричного уравнения Сильвестра(11.28) и матричную экспоненту.

Для решения уравнения Сильвестра (11.28) с матричными компонентами вида (11.54) запишем его в столбцовой форме

(11.55)

Выделим в (11.55) по два соседних столбца с индексами в составе каждой из правых матриц. Тогда с учетом структуры (11.54) матрицидля смежных столбцовматрицыполучим два уравнения Сильвестра

(11.56)

Решение системы (11.56) относительно фрагмента матрицы , составленного из двух смежных столбцов принимает вид

. (11.57)

Матрица , как решение матричного уравнения Сильвестра (12.28) в итоге принимает вид

(11.58)

Отметим, что результат (11.58) получен для разночастотного случая гармонических экзогенных воздействий на входы динамической системы МВМВ- типа, если же режим воздействия одночастотный так, что , в этом случае матрицапринимает вид

(11.59)

Матричная экспонента для источникаразночастотного гармонического воздействия в силу (10.28) записывается в форме

, (11.60)

для источника одночастотного гармонического воздействия принимает вид (11.60), в котором следует положить .

В итоге для векторов состояния , выходаи ошибкидляразночастотного и одночастотного гармонического воздействия соответственно можно записать

(11.61)

Завершая рассмотрение проблемы конструирования аналитического представления реакции динамической непрерывной системы (11.1) в общем случае МВМВ – типа следует заметить, что в силу (11.46) матрицы ,ивыполняют функциипередаточных матриц (функций) для случая вещественного гармонического экзогенного воздействия.

Как будет показано в разделе 13 книги, глобальная скаляризация векторных процессов в системах МВМВ-типа строится с помощью мажорант и минорант, являющихся для максимальным и минимальным сингулярными числами передаточных матрици.