14.2. Принцип внутренней модели. Обобщенное изодромное управление

Впервые слово «изодромный» (изодром от «изо» – равный, «дромос» – бег) возникло применительно к регуляторам, обеспечивавшим постоянство частоты вращения. Термин «обобщенное изодромное управление» означает, что синтезируемый регулятор должен обеспечивать слежение за задающим воздействием общего (достаточно произвольного) вида.

Рассмотрим линейный непрерывный объект управления вида (14.5)

, ,.

Поставим задачу синтеза закона управления, обеспечивающего требуемое качество процессов слежения за внешним задающим воздействием . Сформулируем задачу слежения как задачу обеспечения подобия процессов по состоянию в ОУ в установившемся режиме процессам по состоянию в модели источника внешнего воздействия (ИВВ). Такая постановка задачи слежения приведет к необходимости использования уравнения Сильвестра. Задача получает неожиданно удачное решение, если внешнее задающее воздействиедопускает конечномерное представление. В этом случае может быть использован метод обобщенного изодромного управления, базирующийся на концепции внутренней модели.

В связи со сказанным выше поставим задачу синтеза закона управления, обеспечивающего слежение выхода объекта (14.5) за внешним конечномерным воздействием с ошибкой, максимально близкой к нулевой. Предположим, что задающее воздействиепредставимо выходом автономной системы, задаваемой в виде

, , (14.79)

где , , , , – наблюдаемая пара матриц.

Ошибка по выходу

, (14.80)

с течением времени должна стремиться к нулю

. (14.81)

Если задачу слежения сформулировать как задачу обеспечения подобия процессов по состоянию в ОУ в установившемся режиме процессам по состоянию ИВВ, то такая постановка задачи слежения приведет к уравнению Сильвестра. Так как размерности векторов состояния ОУ и ИВВ в общем случае различны, то в отличие от задачи модального управления уравнение Сильвестра в задаче слежения решается относительно матрицы особого преобразования .

Для сведения задачи слежения к задаче регулирования введем в рассмотрение вектор ошибки по состоянию

, (14.82)

где ,– матрица особого в общем случае линейного преобразования.

Построим модель динамики процессов относительно ошибок слежения и, для чего продифференцируем (14.82) так, что получим

. (14.83)

В результате подстановки в (14.83) и (14.80) векторно-матричных соотношений (14.5) и (14.79) с учетом (14.82) получим векторно-матричные уравнения относительно ошибок и

, (14.84)

. (14.85)

Векторно-матричные соотношения (14.84), (14.85) представляют собой модель динамики ошибки слежения, позволяющие сформулировать задачу слежения как задачу регулирования. Правая часть векторно-матричного уравнения (14.84) содержит как управление, так и «помеху» , которая в силу неуправляемости источника внешнего воздействия без применения специальных мер не позволяет в установившемся режиме обеспечить близкий к нулю вектор ошибки по состоянию, и как следствие, по выходу.

Изложим основные положения решения задачи слежения с помощью обобщенного изодрома, основанного на принципе внутренней модели, в виде системы утверждений.

Утверждение 14.3. (У14.3) Если матрица особого преобразования удовлетворяет матричным соотношениям

, , (14.86)

то законом управления

(14.87)

обеспечивается асимптотическая сходимость ошибки слежения по состоянию и выходук нулю с темпом, который определяется структурой мод матрицытак что

, ,. □(14.88)

Доказательство. Справедливость утверждения устанавливается непосредственной подстановкой (14.86) и (14.87) в (14.84) и (14.85). ■

Управление (14.86) при выполнении матричных соотношений (14.85) называется обобщенным изодромным управлением. В случае, когда свойства исходного ОУ таковы, что матрица не включает в свой алгебраический спектр собственных значений матрицыИВВ, то исходный объект модифицируется путем его расширения с целью введения недостающих мод. Т.е., в структуру ОУ «встраивается» полностью или частично динамическая модель ИВВ, поэтому такой способ обеспечения разрешимости матричных соотношений (14.85) именуется «принципом внутренней модели».

Таким образом, задача обеспечения нулевой установившейся ошибки

(14.89)

сводится к управлению структурой собственных значений матрицы состояния автономной системы (14.88). Структура собственных значенийопределяет темп и характер сходимости (14.89) ошибки слежения к нулю, при этом матрицаможет быть сконструирована методами модального управления.

Первое уравнение (14.86) является однородным уравнением Сильвестра (УС) относительно матрицы особого преобразования подобия . Ключевым моментом решения задачи слежения, содержащегося в утверждении 14.3, является существование нетривиального решения однородного УС. Для случая особого преобразования с матрицейсформулируем это условие в виде следующего утверждения.

Утверждение 14.4. (У14.4) Необходимым и достаточным условием существования нетривиального решения матричного УС (14.86) относительно матрицы особого преобразования является условие включения алгебраического спектра собственных значений матрицыв алгебраический спектр собственных значений матрицытак, что

(14.90)

или, что тоже самое

, (14.91)

т.е. характеристический многочлен матрицы является аннулирующим многочленом матрицы. □

Доказательство. Для доказательства утверждения предположим, что матрица диагонализируема, тогда существуетматрицатакая, чтои имеет место матричное уравнение подобия

, (14.92)

где

. (14.93)

Тогда подстановка (14.53) в УС (14.47) позволяет записать

, где . (14.94)

Запишем теперь (14.55) в столбцовой форме

, (1.95)

где –-й столбец матрицы,,–-й столбец матрицы, который имеет вид

,

что позволяет (14.95) представить в форме

; ;. (14.96)

Соотношение (14.57) имеет эквивалентное представление

; . (14.97)

Таким образом, для существования нетривиальной матрицы , а, следовательно, иТ, необходимо и достаточно, чтобы

; . (14.98)

Но так как для всех, то необходимо и достаточно, чтобы

; . ■

Для того, чтобы гарантировать выполнение условия (14.90), воспользуемся принципом внутренней модели, а именно расширим систему (14.5) с помощью буферной системы. В качестве буферной системы воспользуемся системой (14.79) с матрицей состояния . Тогда уравнения (14.5) в случае последовательного включения буферной системы с матрицей состоянияполучат представление

, (14.60)

причем ,, ,

где – матрица состояния буферной системы,– вектор состояния расширенной системы,– вектор состояния буферной системы, при этом матрицыивхода и выхода буферной системы должны удовлетворять следующему условию(т.е. должны быть такими, чтобы выполнялось условие полной управляемости пары).

Нетрудно видеть, что для системы (14.99) должны выполняться соотношения (14.82) – (14.85) с точностью до замены компонентов на, а именно

, ,,

, ,

,

в том числе

, (14.100)

, ,. (14.101)