14.1.2. Модальное управление средствами обратной связи

Поставим задачу сконструировать алгоритм формирования сигнала управления динамическим объектом (14.5), который функционально был бы связан не с векторомсостояниямодальной модели, а с вектором состояния динамического объекта. Иными словами, не с помощьюотрицательной прямой связи по вектору , а с помощьюотрицательной обратной связи по вектору сматрицей обратной связи , в результате чего сигнал управления принимает представление

(14.25)

Если управление (14.25) подставить в векторно-матричное описание (14.5), то получим модельное представление динамической системы, образованной исходным ДС и обратной связью с матрицей , имеющее вид

, ,, (14.26)

где .

От матрицы требуется, чтобы выполнялосьвекторное подобие в форме (14.21), и чтобы алгебраические спектры собственных значений матрицы состояния системы (14.26) и матрицысостояния модальной модели (14.6) совпадали так, что.

Для построения алгоритма вычисления матрицы воспользуемся результатами предыдущего параграфа. Введем «рабочую гипотезу» о том, что управление в форме (14.25) обеспечивает выполнение векторного подобия тогда становится справедливой альтернативная записькоторая позволяет записать соотношение (14.7) в форме

. (14.27)

Введем обозначение

. (14.28)

Проверим, решает ли сформулированные задачи сигнал управления (14.25), реализуемый в виде обратной связи с матрицей вида (14.28).

Для этого запишем (14.28) в разрешенной относительно матрицы форме

(14.29)

Подставим матрицу вида (14.29) в правую часть матричного уравнения Сильвестра (14.12), тогда получим

. (15.30)

Матричное уравнение (15.30) с введенным ранее обозначением приводит кматричному условию подобия матриц и

. (14.31)

В силу того, что алгебраические спектры собственных значений подобных матриц совпадают, т.е. выполняется равенство , то следует констатировать, чтомодальное управление, реализуемое средствами отрицательной обратной связи с матрицей ,вычисляемой в форме (14.2), решает одну из задач наделения матрицы состояния проектируемой системы алгебраическим спектром , совпадающим со спектромматрицысостояния модальной модели.

Теперь покажем, что модальное управление в форме (14.27),(14.28) доставляет задаче векторное подобие (14.21).

Утверждение 14.2 (У14.2). Матричное подобие в форме (14.31) порождает векторное подобие в форме (14.21), в котором вектор является вектором состояния автономной системы с матрицей состояния, а вектор– вектором состояния автономной системы с матрицей состояния.

Доказательство. Воспользуемся свойством матричной функции от матрицысохранять матричное подобие вида (14.31).Тогда оказывается справедливой запись

. (14.32)

Если в качестве матричной функции от матрицыиспользуется матричная экспонента, параметризованная временем так, что, то (14.32) примет вид

. (14.33)

Умножим матричное соотношение (14.33) на вектор справа, тогда получим векторно-матричное соотношение

. (14.34)

Но в (15.34) нетрудно обнаружить две цепочки векторно-матричных равенств, одна из которых в левой части (14.34) принимает вид

, (14.35)

в свою очередь цепочка векторно-матричных равенств в правой части (14.34) имеет представление

(14.36)

Следовательно, доказано, что модальное управление в форме отрицательной обратной связи по вектору состояния исходного технического объекта с матрицей , формируемой в силу (14.28), доставляет образованной системе при условии согласования начальных состояний в формевекторное подобие ее текущего состояния состоянию модальной модели в формедля.■

Таким образом, создана алгоритмическая основа для синтеза модального управления, реализуемого в виде отрицательной обратной связи по состоянию исходного непрерывного объекта (14.5). Необходимо напомнить, что, как это отмечалось ранее, модальное управление использует только часть ресурса управления, оставшаяся составляющая этого ресурса расходуется на организацию вынужденного движения в системе с тем, чтобы выход системывоспроизводил экзогенное задающее воздействие с ошибкойдопустимой нормы. В соответствии с высказанными соображениями приводимый ниже алгоритм формирует управлениев форме