12.3. Реакция дискретных динамических систем на дискретные экзогенные стационарные в широком смысле стохастические воздействия

Рассмотрим дискретную систему (12.2), возбуждаемую стохастическим экзогенным дискретным воздействием стационарным в широком смысле так, что система (12.2) получает представление

. (12.71)

Как и в непрерывном случае, сначала рассмотрим реализацию в форме дискретного «белого шума», а затем – в форме дискретного «окрашенного шума». Проблему вычисления показателей реакции дискретной динамической системы вида (12.71) на перечисленные дискретные экзогенные стационарные в широком смысле стохастические воздействия будем решать, опираясь на результаты решения подобной задачи для непрерывного случая, которые изложим в конспективной форме.

Сформулируем основные результаты в виде следующего утверждения.

Утверждение 12.6(У12.6). Рассмотрим векторные дискретные процессы по состоянию и выходу, являющиеся решением линейного стохастического векторно-матричного уравнения (12.71) при , где– дискретная последовательность векторных стохастических величин, именуемая дискретным “белым шумом”, характеризующаяся нулевым средним значением

, (12.72)

некоррелированностью отсчетов итак, что выполняется соотношение

,

где – символ Кронекера, принимающий значение «1» прии значение «0» при, и следовательно матрицей дисперсий

; (12.73)

при – векторе начального состояния процесса (13.71) таком, что

, . (12.74)

Тогда математическое ожидание и матрица дисперсийвектора

(12.75)

удовлетворяет соотношениям

(12.76)

(12.77)

Доказательство. Сначала докажем справедливость (12.76), для чего к свободной составляющей движения системы (12.71) применим оператор вычисления математического ожидания. В результате получим , имеющего эквивалентное представление в форме (13.76), заметим при этом, что оказывается справедливым соотношение.

Для доказательства справедливости (12.77) сначала на основании (12.71)) составим выражения

,

. (12.78)

Сформируем теперь мультипликативную конструкцию , для которой при, на основании (12.71), (12.78) запишем

(12.79) Применим к выражению (12.79) оператор вычисления математического ожидания, тогда получим с учетом (12.73),(12.75) и условий , соотношение (12.77). ■

Примечание 12.6 (ПР12.6). Рассмотрим матричное рекуррентное уравнение (12.77) относительно матрицы в установившемся режиме для случая, когда матрицасистемы имеет все собственные значения в единичном круге. Для него оказываются справедливыми предельные соотношения

, при этом рекуррентное матричное уравнение (12.77) вырождается в алгебраическое матричное уравнение

, (12.80)

именуемое дискретным матричным уравнением Ляпунова.

Примечание 12.7(ПР12.7). Для вектора математического ожидания выхода дискретной системы (12.71) и матрицы дисперсийсправедливы соотношения

,. (12.81)

Примечание 12.8(ПР12.8). По аналогии с непрерывными системами для матриц ковариаций по векторам состояния и выхода можно записать

; (12.82)

; (12.83)

; (12.84)

. (12.85)

Пусть теперь , где– стационарное в широком смысле стохастическое экзогенное воздействие типа дискретный «окрашенный шум». «Окрашенный шум» формируется дискретным фильтром (ДФФ), имеющим векторно-матричное описание

. (12.86)

В итоге задача сводится к предыдущей путём объединения дискретного формирующего фильтра и исследуемой системы (12.71), что образует составную дискретную систему, возбуждаемую внешним стохастическим дискретным воздействием типа дискретный белый шум. Полученные результаты сформулируем в виде следующего утверждения.

Утверждение 12.7(У12.7). Рассмотрим дискретные процессы по векторам состояния, выхода и ошибки, являющихся решением линейного стохастического векторно-матричного рекуррентного уравнения

, (12.87)

где – решение рекуррентного уравнения (12.86). Тогда оказываются справедливыми матричные соотношения

(12.88)

(12.89)

(12.90)

где ,;. □(12.91)

Доказательство утверждения строится на конструировании агрегированной системы

,, (12.92)

;;, (12.93)

;, (12.94)

с вектором состояния и матрицами,вида (12.91), а также матрицами

, (12.95)

опирающейся на системы (12.86) и (12.87). Сконструированная таким образом система (12.92) оказывается возбуждаемой стохастическим воздействием типа дискретный «белый шум» , для которой оказываются применимы уравнения Ляпунова вида (12.77), имеющего реализацию в форме (12.88), и вида (12.80), имеющего представление

. ■(12.96)

Рассмотрим теперь проблемы, связанные с конструированием матриц спектральных плотностей переменных системы (12.71). Сначала дадим определение матрицы спектральных плотностей векторной переменной дискретной системы вида (12.71).

Определение 12.11 (О12.11). Матрицей спектральных плотностей векторной стохастической переменной, обладающей матрицей ковариацийназывается бесконечный ряд Фурье от матрицы ковариаций, записываемый в виде

(12.97)

Применительно к векторным переменным дискретной системы (12.71) введенное определение матрицы спектральных плотностей с учетом соотношений (12.84) и (12.85) позволяет записать

; . (12.98)

Для целей получения компактного представления матриц спектральных плотностей (13.98) сформулируем и докажем утверждение.

Утверждение 12.8(У12.8). Матрицы спектральных плотностей векторных переменных состояния идискретной системы вида (12.71) представимы в форме

, (12.99)

.□(12.100)

Доказательство. Представим матрицу спектральных плотностей , задаваемую с помощью (12.98), в форме цепочки матричных равенств

(12.101)

В выражениях (12.101) содержатся члены суммы матричной геометрической прогрессии соответственно с показателями и, для которых оказываются справедливыми представления геометрических прогрессий в виде свернутых сумм

, (12.102)

. (12.103)

с учетом (12.101), (12.102) и (12.103) для матрицы спектральной плотности процессов по состоянию можно записать

. (12.104) Запишем единичную матрицу, неявно присутствующую в выражении (12.104) непосредственно слева от матрицы в форме

Подстановка полученного представления единичной матрицы в (12.104) дает

,

. ■

Примечание 12.9 (ПР12.9). При формировании матрицы спектральных плотностей вектора ошибки по выходу дискретной системы (12.71) следует пользоваться выражением

, (12.105)

где матрицы ,иопределяются соответственно с помощью выражений (12.95) и (12.96).

Примечание 12.10 (ПР12.10). В выражениях для матриц спектральных плотностей ,иформах (12.99), (12.100) (12.105) соответственно дляследует иметь в виду ограничение .

Решение вариантов задач

Задача 12.1. Требуется найти матрицы дисперсии вектора состояния,вектора выхода, матрицу ковариацийи матрицу спектральных плотностей выходанепрерывной динамической системы с передаточной функцией при подаче на ее вход стохастического воздействия стационарного в широком смысле типа «белый шум»интенсивности.

Решение.

1. Построение - представления исследуемой ДС осуществим в соответствии с алгоритмом 8.1, для чего передаточную функцию запишем по отрицательным степеням

, что позволяет для матричных компонентов ВМО (13.23)

записать: ;

2. Решение матричного уравнения Ляпунова (12.44) относительно матрицы дисперсиидает

, откуда для матрицы размерностиполучаем.

Матрицу дисперсий выхода вычислим в силу соотношения (12.45) .

Матрицу ковариаций вектора выхода вычислим с помощью соотношения (12.47), которое дляпринимает вид и дает для матрицы ковариаций =.

матрицу спектральных плотностей выхода вычислим с помощью выражения (13.69), которое дает. ■

Задача 12.2. Требуется найти матрицы дисперсии вектора состояния,вектора выхода, матрицу ковариацийи матрицу спектральных плотностей выходадискретной динамической системы с интервалом дискретности , образованной последовательным соединением фиксатора и непрерывного объекта с передаточной функциейпри подаче на ее вход стохастического воздействия стационарного в широком смысле типа дискретный «белый шум»дисперсии.

Решение.

1. Построение -представления дискретной системы (12.71)осуществим в силу соотношений , где матрицы

имеют вид (см. задачу 12.1), в результате получим:

2. Решение дискретного матричного уравнения Ляпунова (12.80) относительно матрицы дисперсиидает

, откуда для матрицы размерностиполучаем

Матрицу дисперсий выхода вычислим в силу соотношения (12.45)

Матрицу ковариаций вектора выхода вычислим с помощью соотношения (12.84) , которое для матрицы ковариаций =.

матрицу спектральных плотностей выхода вычислим с помощью выражения

, которое дает

■