14.1.4. Модальное управление дискретными объектами

Рассмотрим задачу управления дискретным динамическим объектом

(14.69)

Будем рассматривать (14.69) как дискретный аналог непрерывного объекта (14.5)

, ,, (14.70)

решения которых при равных информационных условиях совпадают в моменты времени .Такая системная модельная концепция позволяет (см. раздел 9) для матричных компонентов дискретного динамического объекта (ДДО) (15.69) сформировать представление

(14.71)

Требуется синтезировать формирователь сигнала управления дискретным объектом (14.69) в форме

(14.72)

так, чтобы система, образованная ДДО (15.69) и формирователем сигнала управления,

, (14.73)

в которой , средствами отрицательной обратной связи с матрицейпо вектору состояния объекта имела бы матрицусостояния, подобную матрицесостояния дискретной модальной модели

, (14.74)

а матрица прямых связей по вектору задающего экзогенного воздействияпри условии его полной измеримости обеспечивала бы равенство векторов входа и выхода в неподвижном состоянии, что записывается в форме

(14.75)

Если при этом дискретную модальную модель (14.74) сформировать так, чтобы ее матрицы удовлетворяли матричным соотношениям

, (14.76)

то алгоритмическая основа процедуры синтеза формирователя сигнала управления в форме (14.74) методами модального управления, базирующихся на концепции подобия, оказывается созданной. Ее основой с точностью до замены матричных компонентов на матричные компонентыи дискретных особенностей формирования матрицыявляется алгоритм 14.1.

Алгоритм 14.2(а14.2)

1. Выполнить п.п.1-7 с точностью до замены непрерывного времени на дискретное, вычисления производнойна вычисление смещенного на один такт значенияи замены матричных компонентовна матричные компоненты;

2. Используя аппарат Z – преобразования сформировать передаточную функцию «вход – выход» дискретной системы (14.73)

; (14.77)

3. Вычислить матрицу из условия равенства векторов входа и выхода в неподвижном состоянии системы с помощью выражения

; (14.78)

4. Выполнить п.п.10-12 с точностью до замен, указанных в п.1 настоящего алгоритма.

Примечание 14.2(ПР14.2)

При синтезе дискретного модального управления можно воспользоваться решением уравнение Сильвестра длянепрерывного случая, а уравнение Сильвестра для дискретного случая приследует решить относительно матрицыдискретной модальной модели.

Решение вариантов задач

Задача 14.1. В предположении полной измеримости вектора состояния динамического объекта с передаточной функцией синтезировать алгоритм формирования сигнала управленияметодами модального управления с тем, чтобы алгебраический спектр собственных значений матрицысостояния системы имел своими элементами.

Решение. Воспользуемся алгоритмом 15.1,тогда получим:

1. представление ДО имеет матрицы

;

2. представление ММ имеет матрицы,,наблюдаемая пара, спектрыне пересекаются;

3. Решение матричного уравнения Сильвестра дает

;

4. Вычисление матрицы обратной связи по полному вектору состояния

;

5. Формирование матрицы состояния системы

;

6 .Вычисление матрицы прямой связи по вектору ошибки

7. Вычисление матрицы ОС по части компонентов вектора состояния

Задача решена: сформирован сигнал управления =

=

Задача 14.2. В предположении полной измеримости вектора состояния динамического объекта с передаточной функцией сформировать ММна основе ПДМ второго порядка с распределением мод Баттерворта по следующим требованиям к системе:

1. Время переходного процесса

2. Добротность по скорости ;

3. На вход системы подается экспоненциально коррелированный окрашенный шум с дисперсией, сформированный апериодическим фильтром с полосой пропускания на уровне 0,707

4. Дисперсия ошибки

Решение. Воспользуемся данными для ПДМ 2-го порядка с распределением мод Баттерворта, приведенными в таблицах 14.2 и 14.4 для оценки значения характеристической частоты ПДМ в силу соотношения, для чего вычислим:

1.

2.

3.

Если матрицу модальной модели задавать в блочно-диагональной форме, тогда пара матрицММ примет вид

.

Задача решена.