13. Оценка качества систем типа «многомерный вход – многомерный выход». Аппарат минорантных и мажорантных покрытий векторных процессов

"Скалярное" восприятие скалярных процессов и мышление, воспитанное у студентов и разработчиков систем управления теорией и практикой систем типа «одномерный вход – одномерный выход» (ОВОВ), делает желательным построение скалярных оценок качества векторных процессов и в случае систем типа «многомерный вход – многомерный выход» (МВМВ).

В полной мере попытки построить скалярные оценки качества векторных процессов систем МВМВ-типа, аналогичные случаю систем ОВОВ-типа, не могут быть реализованы. Их реализация может быть осуществлена лишь в экстремальной постановке в виде мажоранты и миноранты «эллипсоидного покрытия» векторного процесса, конструируемых на максимальном и минимальном элементах спектра сингулярных чисел критериальных матриц. При этом мажоранта представляет собой размер максимальной полуоси покрывающего векторные процессы эллипсоида, а миноранта – размер минимальной полуоси.

Идея построения минорант и мажорант на основе эллипсоидного покрытия геометрически достаточно прозрачна. Изучаемый векторный процесс в фиксированный момент времени покрывается эллипсоидом так, чтобы эллипсоидное покрытие касалось траекторий, тогда значение миноранты и мажоранты векторного процесса в фиксированный момент времени будет совпадать с размерами самой короткой и самой длинной полуосей эллипсоида соответственно. Сплошные множества мгновенных значений минорант и мажорант, развернутых во времени, формируют миноранту и мажоранту как функции времени.

Как указывалось в первой части пособия, линейный оператор с некоторой матрицей отображает сферу в эллипсоид, поэтому для построенияминоранты и мажоранты векторного процесса исследуемую задачу необходимо свести к линейной алгебраической задаче (ЛАЗ), с помощью которой построить «эллипсоидное покрытие».

«эллипсоидные покрытия» векторных процессов в системах МВМВ-типа эффективно исследуются с помощью сингулярного разложения критериальных матриц. Они обладают геометрической прозрачностью, так как соответствующие мажоранте и миноранте покрытия элементы левого сингулярного базиса задают для каждого момента времени положения максимальной и минимальной полуосей покрывающего эллипсоида. Следует заметить, что понятие «эллипсоидное покрытие» применимо и для случая систем ОВОВ-типа, только в этом случае эллипсоид вырождается в отрезок прямой, а мажоранта и миноранта совпадают.

Рассмотрение проблем, вынесенных в название раздела, начнем с определения понятия «критериальная матрица».

Определение 13.1 (О13.1). Пусть динамическая система МВМВ-типа реализует некоторые линейные операторы, отображающие пространства входов или начальных состояний в пространства состояний, выходов или ошибок, характеризующиеся матрицами , которые несут информацию о векторных процессах в системе в указанных пространствах, то такие матрицы будем именоватькритериальными. □

Критериальные матрицы строятся так, что они порождают линейную алгебраическую задачу вида

, (13.1)

где –– матрица для любых значений,;,–-мерные векторы;принимает смысл непрерывного времени, когда ЛАЗ (13.1) параметризована непрерывным временем, и смысл дискретного времени, выраженного в числе интервалов дискретности длительности, когда ЛАЗ (13.1) параметризована дискретным временем;–-мерный вектор параметров, изменяющий алгебраические свойства матрицы, принимающий смысл частотыпри спектральном частотном представлении гармонического или стохастического внешних (экзогенных) воздействий.

В качестве критериальных матриц при исследовании динамических систем МВМВ-типа выступают:

В случае исследования качества систем в переходном режиме переходные матрицы по состоянию ивыходу непрерывных (и дискретных) систем;

В случае исследования качества систем в установившемся режиме:

– при гармоническом одночастотном экзогенном воздействии частотные передаточные матрицы по состоянию , выходу и ошибке непрерывных (дискретных) систем;

– при гармоническом разночастотном экзогенном воздействии частотные передаточные матрицы по состоянию , выходу и ошибке непрерывных (и дискретных) систем;

– при стохастическом стационарном в широком смысле экзогенном воздействии матрицы дисперсий соответственно по состоянию, выходу и ошибке непрерывных и дискретных систем;

– при стохастическом стационарном в широком смысле экзогенном воздействии матрицы спектральных плотностей соответственно по состоянию, выходу и ошибке непрерывных (и дискретных) систем;

– при полиномиальном экзогенном воздействии матричные коэффициенты ошибки непрерывных (и дискретных) систем.

Следует заметить, что не все из приведенных критериальных матриц с очевидностью порождают линейную алгебраическую задачу (13.1). тем не менее, любая матрица может быть так факторизована, что она порождает ЛАЗ вида (13.1). Это станет ясным из доказательства следующего утверждения.

Утверждение 13.1 (У13.1). Произвольная -матрица порождает линейную алгебраическую задачу вида (13.1), если ее факторизовать с помощью процедуры сингулярного разложения.

Доказательство. Применим к матрице процедуру сингулярного разложения, позволяющую представить ее в виде произведения трех матриц

, (13.2)

где –диагональная матрица с сингулярными числами на главной диагонали, размещенные в порядке убывания их значения с ростом индекса так, что

, , (13.3)

и –матрицы соответственно левого и правого сингулярных базисов, для которых выполняются соотношения:

, . (13.4)

Умножим соотношение (13.2) на матрицу справа, тогда, если учесть соотношение (13.4), то получим

(13.5)

Запишем соотношение (13.5) в столбцовой форме:

, (13.6)

выделив в столбцовой форме -ые компоненты, которые приводят к векторно-матричному соотношению:

(13.7)

Рассмотрим структуры вектора , который имеет вид

(13.8)

и матрицы , записанной в столбцовой форме:

. (13.9)

Тогда с учетом (13.8) и (13.9) векторно-матричное соотношение (13.7) получит представление

. ■(13.10)

Если теперь произвести переобозначения в (13.10), то получим линейную алгебраическую алгебраическую задачу в форме (13.1).

Будем рассматривать ЛАЗ (13.1) как инструментальную модель для формирования мажорантных и минорантных оценок процессов по вектору в динамической системе МВМВ – типа, в которой переменнаяпринимает смысл вектора состояния, выходаи ошибки.

Если в линейной алгебраической задаче (13.1) осуществить переход к отношению по векторным евклидовым нормам, то получим желаемые оценочные неравенства, записываемые в двух формах

, (13.11)

и

, (13.12)

где – наименьшее и наибольшее сингулярные числа матрицы .

Неравенства (13.11) и (13.12) содержательно эквивалентны, но первое определяет миноранту и мажоранту в абсолютных значениях, а второе – в относительных. Неравенства станут тождественными, если положить в них сферу единичной, то есть удовлетворяющей условию . Таким образом,являетсяминорантой, а –мажорантой векторного процесса, контролируемого в каждый момент по его евклидовой норме.

Необходимо рассмотреть еще одну ситуацию, которая может иметь место при конструировании минорант и мажорант на экстремальных элементах алгебраического спектра сингулярных чисел критериальных матриц. Ситуация характеризуется тем, что критериальная матрица может быть представлена в одной из форм:

, (13.13)

, (13.14)

где матрицы иесть ортогональные матрицы. В этой связи докажем следующее утверждение.

Утверждение 13.2(У13.2). Алгебраические спектры исингулярных чисел матрици, где матрицыи являются ортогональными, совпадают с алгебраическим спектром сингулярных чисел матрицы. □

Доказательство утверждения 13.2 строится на конструировании матриц характеристических уравнений

(13.15)

с помощью решений которых ищутся сингулярные числав силу соотношенияна матрицах вида (13.13) и (13.14) с учетом того, что матричные компоненты в нихи являются ортогональными, т.е. удовлетворяющих условиям

, (13.16)

. (13.17)

Тогда на матрицах (13.13) с учетом (13.16) получим

. (13.18)

В свою очередь на матрицах (13.14) с учетом (13.17) получим

. ■(13.19)

Применим сконструированный инструментарий формирования минарант и мажорант эллипсоидных покрытий векторных процессов к перечисленным выше задачам.

В случае исследования качества систем в переходном режиме линейная алгебраическая задача (13.1) для процессов по состоянию и выходу:

для непрерывных систем принимает вид:

(13.20)

где

; . (13.21)

Введем в рассмотрение скалярные переходные характеристики по состоянию и выходу, определив их соотношениями

(13.22)

Тогда оценочные неравенства (13.12) принимают вид

(13.23)

(13.24)

где и- миноранты, мажоранты переходных характеристик непрерывных систем МВМВ – типа соответственно по состоянию и выходу;и– минимальное и максимальное сингулярные числа переходных матриц соответственно по состоянию и выходу.

Для дискретных систем алгебраическая задача (13.1) принимает вид:

(13.25)

где

. (13.26)

Введем в рассмотрение скалярные переходные характеристики по состоянию и выходу, определив их соотношениями

(13.27)

Тогда оценочные неравенства (13.12) принимают вид

(13.28)

(13.29)

где и– миноранты, мажоранты переходных характеристик непрерывных систем МВМВ-типа соответственно по состоянию и выходу;и– минимальное и максимальное сингулярные числа переходных матриц соответственно по состоянию и выходу.

Завершая рассмотрение вопроса конструирования мажорант и минорант переходных характеристик непрерывных и дискретных систем, следует отметить, что такие пользовательские характеристики систем МВМВ-типа как длительность переходного процесса и перерегулированиетакже имеют свои мажорантыи минорантытак, что выполняются оценочные неравенства

В случае исследования качества систем в установившемся режиме при векторном гармоническом экзогенном воздействии ЛАЗ (13.1) для процессов по векторам состояния, выхода и ошибки:

Для непрерывных систем принимает вид:

– при гармоническом одночастотном экзогенном воздействии

(13.30)

(13.31)

(13.32)

при этом в силу (11.59) оказывается справедливым представление

. (13.33)

В силу наличия в критериальных матрицах ЛАЗ вида (13.30) – (13.32) ортогонального сомножителя амплитудные частотные характеристикисоответственно по состоянию и выходу, а также относительная ошибкаудовлетворяют оценочным неравенствам

, (13.34)

, (13.35)

. (13.36)

– при гармоническом разночастотном экзогенном воздействии в рассмотрение вводится вектор частот сепаратных канальных компонентов этого воздействия, задаваемый в форме

, (13.37)

где – весовые коэффициенты распределения значений частот экзогенных воздействий по входам. Тогда становятся справедливыми представления

(13.38)

(13.39)

(13.40)

, (13.41)

при этом в силу (12.58) оказывается справедливым представление

. (13.42)

В силу наличия в критериальных матрицах ЛАЗ вида (13.38) – (13.40) ортогонального сомножителя амплитудные частотные характеристикисоответственно по состоянию и выходу, а также относительная ошибкаудовлетворяют оценочным неравенствам

, (13.43)

, (13.44)

. (13.45)

Следует заметить, что основные пользовательские показатели качества систем при гармоническом экзогенном воздействии – полосы пропускания на заданных уровня значений амплитудных частотных характеристик по выходу и по ошибки для систем МВМВ - типа будут иметь свои миноранты и мажоранты.

Для дискретных систем линейная алгебраическая задача (13.1) принимает вид:

– в случае одночастотного гармонического воздействия

(13.46)

(13.47)

(13.48)

где в силу (12.89) справедливо представление

. (13.49)

В силу наличия в критериальных матрицах ЛАЗ вида (13.46) – (13.48) ортогонального сомножителя амплитудные частотные характеристикисоответственно по состоянию и выходу дискретной системы МВМВ-типа, а также относительная ошибкаудовлетворяют оценочным неравенствам

, (13.50)

, (13.51)

. (13.52)

– в случае разночастотного гармонического воздействия как и для непрерывных систем МВМВ-типа в рассмотрение вводится вектор сепаратных канальных компонентов частот этого воздействия, задаваемый в форме (13.37). Тогда становятся справедливыми представления

(13.53)

(13.54)

(13.55)

где в силу (11.88) справедливо представление

(13.56)

В силу наличия в критериальных матрицах ЛАЗ вида (13.53) – (13.55) ортогонального сомножителя амплитудные частотные характеристикисоответственно по состоянию и выходу дискретной системы МВМВ-типа, а также относительная ошибкаудовлетворяют оценочным неравенствам

, (13.57)

, (13.58)

. (13.59)

Следует заметить, что основные пользовательские показатели качества систем при гармоническом экзогенном воздействии – полосы пропускания на заданных уровнях значений амплитудных частотных характеристик по выходу и по ошибке для дискретных систем МВМВ-типа будут обладать минорантой и мажорантой.

При стохастических стационарных в широком смысле экзогенных воздействиях мажорантные и минорантные оценки строятся для матриц дисперсий соответственно по состоянию, выходу и ошибке. Наибольший пользовательский интерес представляют матрицы дисперсий выхода и ошибки так, как они позволяют оценить фильтрующие и точностные характеристики динамических систем.

При этом как для непрерывных, так и для дискретных систем мажоранта и миноранта, конструируемые на алгебраическом спектре сингулярных чисел матрицы дисперсий переменной, задают оценочные неравенства для нормы, введенной с помощьюопределения 12.6, записываемые в формах

(13.60)

или

, (13.61)

где – среднеквадратическое отклонение стохастической векторной переменной, наблюдаемое в одномерном подпространстве, представляющем собой линейную оболочку, натянутую на этот вектор, при этом перебор вариантов задания векторной переменнойосуществляется в соответствии с сингулярным разложением матрицы дисперсийна единичной сфере правого сингулярного базиса матрицы.

В решаемой задаче переменная принимает смысл векторов состояния, выходаи ошибкикак длянепрерывной, так и для дискретной систем. Тип стохастического воздействия проявляется лишь в алгоритмических процедурах вычисления матриц дисперсий, представленных в разделе 12.

Таким образом, для непрерывной системы можно записать следующую систему оценочных неравенств в форме (13.61):

, (13.62)

, (13.63)

. (13.64)

Для дискретных систем аналогичная система оценочных неравенств в форме (13.61) совпадает с представлениями (13.62) – (13.64) с точностью до замены наи матриц дисперсийна

Скаляризация векторных процессов, порождаемых сингулярным разложением матрицы спектральных плотностей , осуществляется по той же схеме, что и скаляризация векторных процессов, порождаемых сингулярным разложением матрицы дисперсий Для этого необходимо ввести в рассмотрение скалярную функцию спектральной плотности скалярного стохастического процесса, развивающегося в одномерном подпространстве, представляющим собой линейную оболочку, натянутую на произвольный вектор, заданный в пространстве левого сингулярного базиса матрицы при фиксированном значении частоты . Тогда длястановятся справедливыми оценочные неравенства

. (13.65)

В решаемой задаче переменная принимает смысл векторов состояния, выходаи ошибкикак длянепрерывной, так и для дискретной систем. Тип стохастического воздействия проявляется лишь в алгоритмических процедурах вычисления матриц спектральных плотностей, представленных в разделе 12.

Таким образом, для непрерывной системы можно записать следующую систему оценочных неравенств вида (13.65):

, (13.66)

, (13.67)

. (13.68)

Для дискретных систем аналогичная система оценочных неравенств в форме (13.65) совпадает с представлениями (13.66) – (13.68) с точностью до замены матриц спектральных плотностей ,,на,,.

В заключение рассмотрим проблему скаляризации матричных оценок точностных показателей в виде матричных коэффициентов ошибки непрерывных (и дискретных) систем при полиномиальном экзогенном воздействии.

Матричные коэффициенты ошибки для непрерывной системы с тройкой матриц сконструируем следующим образом.Введем в рассмотрение передаточную матрицу поошибке непрерывной системы

,

где удовлетворяет цепочке равенств

, (13.69)

В приведенных выражениях , где.

Представим резольвенту системы в виде бесконечного ряда по положительным степеням переменной

. (13.70)

Из (13.70) для передаточной функции по ошибке нетрудно получить

. (13.71)

В соответствии с определением коэффициентов ошибки для вектора ошибки в установившемся режиме можно записать

, (13.72)

где –матричные коэффициенты ошибки по производным экзогенного векторного воздействия

Если к (13.72) применить преобразование Лапласа и воспользо­ваться (14.71), то для матричных коэффициентов ошибки непрерывной динамической системы МВМВ- типа будем иметь

;;…;. (13.73)

Выражения (13.73) определяют глобальные матричные коэффициенты ошибки непрерывной динамической системы МВМВ-типа. Введем в рассмотрение сепаратные коэффициенты ошибки -го сепаратного канала, связывающего-ю компонентуc -й составляющей вектора полиномиального воздействия, которые определяются соотношениями

, (13.74)

где –-я строка матрицы,–-й столбец матрицы.

Матричные коэффициенты ошибки (13.73) и скалярные (13.74) позволяют ввести определение глобального и сепаратного порядков астатизма непрерывной динамической системы МВМВ-типа.

Определение 13.2 (О13.2). Непрерывная динамическая система МВМВ-типа с тройкой матриц обладает глобальным астатизмом порядка , если матричные коэффициенты (13.73)обладаютнулевым алгебраическим спектром сингулярных чисел; система обладает сепаратным астатизмом, если матричный коэффициент ошибки имеет хотя бы одно нулевое сингулярное число; при этом, если воспользоваться для матричного коэффициентасингулярным разложением, то матрицалевого сингулярного базиса позволяет определить подпространства в пространстве ошибки, в которых система обладает астатизмом n-го порядка.

Определение 13.3 (О13.3). -йсепаратный канал непрерывной динамической системы МВМВ-типа обладает астатизмом порядка , если коэффициенты ошибки (13.74)для.

Выделим из векторной ошибки непрерывной динамической системы МВМВ-типа -е составляющие, порожденные-ой производнойэкзогенного воздействия, тогда в силу (13.72) получим

; (13.75)

Перейдем в (13.75) к соотношению по евклидовым векторным нормам, тогда получим оценочные неравенства

. (13.76)

Введенные скалярные оценки икоэффициентов ошибки динамических непрерывных систем МВМВ - типа позволяют ввести в рассмотрениеминоранты и мажоранты добротности системы, определив их соотношениями

(13.77)

Таким образом, с помощью минорант и мажорант (13.77) можно оценивать качество процессов в непрерывных динамических системах МВМВ-типа при векторном полиномиальном экзогенном воздействии скалярными характеристиками, максимально приближенными к подобным характеристикам непрерывных динамических систем ОВОВ-типа.

Матричные коэффициенты ошибки для дискретной системы с тройкой матриц сконструируем следующим образом.Введем в рассмотрение передаточную матрицу поошибке дискретной системы

,

где удовлетворяет цепочке равенств

, (13.78)

В приведенных выражениях , где.

Разложим в (13.78) резольвенту системы по положительным степеням двучлена (z – 1), тогда получим

=(13.79)

Использование разложения резольвенты (13.79) позволяет для передаточной матрицы записать

(13.80)

В соответствии с определением коэффициентов ошибки для дискретных систем ошибка в установившемся режиме представима разложением поправым разностям внешнего воздействия

, (13.81)

где – j-я правая разность g(k),

Применение к (13.81) z–преобразования при нулевых начальных условиях даёт

(13.82)

Сопоставление (13.80) и (13.82) позволяет для матричных коэффициентов записать

(13.83)

Если ввести в рассмотрение “средние” скорость, ускорение и высшие производные от входного воздействия на интервале дискретности

(13.84)

то ошибку в дискретной системе можно представить как функцию “средних” по времени производных от внешнего воздействия

(13.85)

где ;.

Выделим в выражении для ошибки n-ю составляющую , для которой в силу (13.81) и (13.85) можно записать

(13.86)

Соотношение (13.86) сводит задачу к ЛАЗ вида (13.1), которая позволяет записать оценочные неравенства

(13.87)

(13.88)

Нетрудно видеть, что для дискретной систем с тройкой матриц можно ввести понятие глобального и сепаратного астатизма. Система обладает глобальным астатизмом n-го порядка, если матричный коэффициент ошибки имеет все нулевые сингулярные числа, система обладаетсепаратным астатизмом, если матричный коэффициент ошибки имеет хотя бы одно нулевое сингулярное число. Если воспользоваться для матричного коэффициентасингулярным разложением, то матрицалевого сингулярного базиса позволяет определить подпространства в пространстве ошибок, в которых система обладает астатизмом n-го порядка.

Введённые скалярные оценки коэффициентов ошибки дискретной динамической системы МВМВ-типа позволяют ввести в рассмотрение миноранты и мажоранты добротностей системы, определив их соотношениями

. (13.89)

Оценки добротностей в форме (13.89) позволяют характеризовать качество процессов управления в дискретной динамической системе МВМВ-типа при экзогенном векторном полиноминальном воздействии способом, максимально приближённым к подобным характеристикам дискретных динамических систем ОВОВ-типа.

Решение вариантов задач

Задача 13.1. Требуется найти первые два матричных коэффициентов ошибки непрерывной системы типа «двумерный вход – двумерный выход» с передаточной матрицей

Решение.

1. Построение - представления исследуемой ДС осуществим в соответствии с алгоритмом 9.1, для чего передаточную функцию запишем по отрицательным степеням

,

что позволяет для матричных компонентов ВМО записать:

2. Вычисление матричного коэффициента ошибки по формуле

.

3. Вычисление матричного коэффициента ошибки по формуле

.

4. Анализ полученных результатов показывает:

4.1. Сепаратные каналы обладают астатизмом первого порядка;

4.2. Так как , то система не обладаетглобальным астатизмом первого порядка;

4.3. Так как , то система не обладаетглобальным астатизмом второго порядка, не обладают астатизмом второго порядка и сепаратные каналы , так как

4.4. Сепаратные каналы характеризуются добротностями по скорости

■