12.2. Реакция непрерывных динамических систем на экзогенные стационарные в широком смысле стохастические воздействия

Рассмотрим непрерывную динамическую систему (12.1), экзогенное воздействие на входе которой принимает смысл–стационарного в широком смысле стохастического воздействия так, что (12.1) имеет вид

. (12.23)

Для погружение в проблемно-ориентированную терминологию введем необходимые определения.

Определение 12.3 (О12.3). Пусть скалярный непрерывный стохастический процесс со значениями из вещественного поля , тогдаматематическим ожиданием илисредним значением процесса называется скалярная величина, параметризованная непрерывным временем , вычисляемая с помощью

соотношения

□(12.24)

Примечание 12.2 (ПР12.2). именуется оператором математического ожидания стохастического процесса.

Определение 12.4 (О12.4). Пусть мерныйвекторный непрерывный стохастический процесс со скалярными стохастическими непрерывными компонентами, тогдаматематическим ожиданием или вектором средних значений векторного процесса называется мерный вектор, составленный из математических ожиданий его скалярных компонентов так, что становится справедливой запись

. □(12.25)

Определение 12.4 (О12.4). Пусть мерныйвекторный непрерывный стохастический процесс с векторомсредних значений тогда:

ковариационной матрицей этого векторного процесса называется матрица вида

, □(12.26)

матрицей смешанных моментов второго порядка этого векторного процесса называется матрица вида

, □(12.27) матрицей дисперсий этого векторного процесса именуется матрица вида

. □(12.28)

Определение 12.5 (О12.5). Стохастический процесс называетсястационарным в широком смысле, если:

математическое ожидание процесса не зависит от времени и является постоянным ,

матрица дисперсий этого процесса не зависит от времени и является постоянной ,

ковариационная матрица этого процесса не зависит от времени , азависит только от величины .

Определение 12.6 (О12.6). Стохастический процесс называетсяцентрированным, если математическое ожидание процесса является нулевым .

Стационарный в широком смысле стохастический процесс может быть охарактеризован матрицей (функцией) спектральных плотностей (плотности).

Определение 12.7 (О12.7). Матрица (функция)спектральных плотностей (плотности) стационарного в широком смысле стохастического процесса определяется как прямое преобразование Фурьеот ковариационной матрицы (функции)этого процесса

. □(12.29)

В разделе рассматриваются реакции системы на экзогенные центрированные стохастические воздействия стационарные в широком смысле типа «белый шум» и «окрашенный шум» .

Определение 12.8 (О12.8). Стохастический процесс , характеризующийся:

– нулевым математическим ожиданием

, (12.30)

– некоррелированными отсчетами при сколь угодно малом, а потому

– ковариационной матрицей (функцией) вида

, (12.31)

где соответственно диагональнаяматрица (функция) интенсивностей и -функция Дирака, называется стохастическим процессом типа «белый шум».

Определение 12.9 (О12.9). Стохастический процесс типа «белый шум» , характеризующийся независящей от времени постоянной матрицей (функцией) интенсивности , называется стационарным в широком смысле«белым шумом», при этом выражение для ковариационной матрицы (12.31) принимает вид

. (12.32)

Примечание 12.3(ПР12.3). Выражение (12.32) позволяет сделать два вывода:

1. Стохастический процессстационарный в широком смысле типа «белый шум» характеризуется бесконечной дисперсией

(12.33)

2. Стохастический процесс стационарный в широком смысле типа «белый шум» характеризуется постоянной матрицей спектральных плотностей , что устанавливается с использованием интегрального свойствафункции на основании цепочки равенств

(12.34)

Определение 12.10 (О12.10). Стохастическим процессом стационарным в широком смысле типа «окрашенный шум» называется процесс, наблюдаемый на выходе формирующего фильтра при условии, что на его вход подано стационарное в широком смысле стохастическое воздействие типа « белый шум» интенсивности

В теории и практике исследования непрерывных динамических систем при стохастических экзогенных воздействиях выделяют две модельные версии «окрашенных шумов» :

1. «экспоненциально коррелированный шум», который формируется из «белого шума» фильтром, представляющим собой апериодическое звено первого порядка;

2. «окрашенный шум типа регулярная качка», который формируется из «белого шума» фильтром, представляющим собой колебательное звено второго порядка.

Возвращаясь к проблемам, вынесенным в заголовок данного параграфа, очертим круг проблем, решаемых в нем. Ставится задача исследовать установившиеся стохастические процессы в динамической системе вида (12.23) по векторам состояния, выхода и ошибки на предмет формирования их матриц дисперсий, ковариаций и спектральных плотностей при стохастических экзогенных воздействий стационарных в широком смысле типа «белый» и «окрашенный» шумы».

Пусть , где- «белый шум» стационарный в широком смысле с нулевым средним значение , тогда решение системы (12.23) примет вид

.

Применим к полученному интегральному выражению оператор вычисления математического ожидания, тогда получим

В силу (12.25) и (12.30) последнее выражение можно записать в эквивалентной форме

.

Теперь становится справедливой запись для центрированного стохастического процесса по вектору состояния

(12.35)

В свою очередь принимает вид

. (12.36)

Сформируем на векторах матрицу, для которой на основании (12.35), (12.36) получим

. (12.37)

Применим к (12.37) оператор вычисления математического ожидания, тогда получим выражение

. (12.38)

свойства стационарного в широком смысле «белого шума» , в том числе его некоррелированность со стохастическим вектором начального состоянияпозволяют записать

;,

; . (12.39) соотношения (12.39) позволяют выражение (12.38) записать в форме

. 12.40)

Осуществим в (12.39) переход к матрице дисперсии , тогда для нее получим интегральное представление

. (12.41)

Продифференцируем по переменной левую и правую части соотношения (12.41), в результате получим дифференциальное представление для матрицы дисперсий

(12.42)

Рассмотрим матричное дифференциальное уравнение (12.42) относительно матрицы в установившемся режиме для случая, когда матрицасистемы является гурвицевой. Для него оказываются справедливыми два предельных соотношения

(12.43)

Подстановка второго равенства (12.43) в (12.42) позволяет для установившегося значения матрицы дисперсий вектора состояния исследуемой системы (12.23), к входу которого приложено стохастическое воздействие стационарное в широком смысле типа «белый шум» с матрицей интенсивностей, записать

. (12.44)

Таким образом, доказана справедливость следующего утверждения.

Утверждение 12.4 (У12.4). Установившееся значение матрицы дисперсийвектора состояниясистемы (12.23) возбуждаемой экзогенным стохастическим воздействие стационарным в широком смысле типа «белый шум»с матрицей интенсивностей, может быть вычислена как решение уравнения Ляпунова (12.44).□■

Примечание 12.4 (ПР12.4).Нетрудно видеть, что оказываются справедливыми соотношения

. (12.45)

Более того, сравнение выражений (12.39) и (12.40) делает справедливыми представления для матриц ковариаций по состоянию и выходу системы

, (12.46)

. (12.47)

Пусть теперь , где– стационарное в широком смысле стохастическое экзогенное воздействие типа «окрашенный шум». «Окрашенный шум» формируется фильтром (ФФ), имеющим векторно-матричное описание

; , (12.48)

где , .

Если объединить систему (12.23), где и ФФ (12.48) в единую агрегированную систему, то рассматриваемый случай сводится к предыдущему, когда . Для этого введем в рассмотрение составной вектор , относительно которого можно записать

; , (12.49)

; ; , (12.50)

; , (12.51)

где

, , (12.52)

, , , (12.53)

, . (12.54)

Нетрудно видеть, что системой соотношений (12.49) – (1.53) задача исследования процессов в системе (12.23) при внешнем стохастическом воздействии типа «окрашенный шум» свелась к исследованию процессов в расширенной системе (12.49) при внешнем стохастическом воздействии типа «белый шум» . Тогда оказываются справедливыми матричные уравнения

; , (12.55)

; ; , (12.56)

; , (12.57)

где .

Если (12.55) имеется установившееся решение , то оно удовлетворяет алгебраическому матричному уравнению типа Ляпунова

. (12.58)

По аналогии с (12.46) и (12.47) могут быть сформированы матрицы ковариаций по всем векторам составной системы

, , (12.59)

, , (12.60)

, , (12.61)

, , (12.62)

, . (12.63)

Полученные соотношения (12.55) – (12.63) полностью решают задачу исследования процессов в стационарной многомерной непрерывной системе (12.23) при внешнем стохастическом воздействии типа «окрашенный шум». При этом матричное описание процесса свелось к решению дифференциального и алгебраического матричных уравнений типа Ляпунова. Следует заметить, что решение матричных уравнений (12.55), (12.56), а также (12.58) в соответствии может быть использовано для изучения управляемости системы (12.23). Очевидно, система (12.23) является полностью управляемой, если матрицы дисперсий , или являются невырожденными.

Рассмотрим теперь проблемы, связанные с конструированием матриц спектральных плотностей переменных системы (12.23).Следует заметить, что в силу определения 12.7 матрица спектральных плотностей переменнойвычисляется с помощью (12.29), которое будем использовать записанным в форме

. (12.64)

Сформулируем следующее утверждение.

Утверждение 12.5 (У12.5). Для динамической системы вида (12.23) при стохастическом экзогенном воздействии стационарном в широком смысле типа «белый шум»или «окрашенный шум»матрицы спектральных плотностей вектора состояния

спектральных плотностей вектора выхода задаются выражениями

(12.65)

. (12.66)

Доказательство утверждения строится на непосредственном вычислении (12.64), где переменная принимает смысл и . Тогда при вычислении матрицы спектральных плотностей вектора состоянияс учетом представления (12.46) матрицы ковариаций, которое можно записать в форме

, (12.67)

получим

В полученном выражении неявно присутствующую единичную матрицу слева от матрицы представим в эквивалентной форме

,

что позволяет для матрицы спектральных плотностейвектора состояния записать

(12.68)

В свою очередь в силу (12.45), (12.47) и (12.68) оказываются справедливыми соотношения

. ■(12.69)

Примечание 12.5(ПР12.5). Если возникает необходимость вычислить матрицу спектральных плотностейвектора ошибки , то следует иметь в виду, что это возможнотолько для случая экзогенного стохастического воздействия стационарного в широком смысле типа «окрашенный шум». В этом случае матрица строится по схеме формулы (12.69) с заменой всех его компонентов видана компоненты вида, в результате чего искомая матрица принимает вид

. (12.70)