12. Реакция динамических систем на бесконечномерные экзогенные воздействия

Рассмотрим проблемы, связанные с изучением реакции непрерывной и дискретной динамических систем (ДС) по векторам состояний, выхода и ошибки в случае подачи на их вход бесконечномерного экзогенного (внешнего) воздействия. Как и в предыдущем разделе полагается, что исследуемые системы линейны (или локально линейны) так, что их векторно-матричное описание (ВМО) имеет вид

(12.1)

для непрерывного случая и

(12.2)

для дискретного случая. В (12.1) и (12.2) – вектор состояния ДС,;– вектор экзогенногобесконечномерного воздействия, – вектор выхода;;– матрицы состояния;;– матрицы входа;;– матрицы выхода;. Непрерывное времяи дискретноесвязаны соотношением, где- интервал дискретности.

В разделе рассматриваются три типа бесконечномерных экзогенных воздействий. Первым из них является дельта – функция Дирака, которая относится к классу обобщенных функций и которая как элемент функционального пространства не имеет конечномерного представления. Вторым из них являются стационарные в широком смысле непрерывные стохастические воздействия типа «белый» и «окрашенный» шумы. Последним из них является дискретная по времени выборка со стационарным интервалом дискретности из непрерывного стохастического воздействия стационарного в широком смысле, этот вид бесконечномерного воздействия именуется такжестохастической последовательностью над полем действительных чисел.

12.1. Реакция непрерывных динамических систем на бесконечномерное экзогенное воздействие типа дельта-функция Дирака

Содержательно дельта-функция Дирака (Поля Дирака), обозначаемая как функция, моделирует экзогенное воздействие типа «сильный бесконечно короткий по времени действия удар». Формально функция определяется следующим образом.

Определение 12.1(О12.1). Обобщенная функция , обладающая свойствами:

1. , (12.3)

2. , (12.4)

называется функцией Дирака (или просто функцией).

Свойство (13.4) функции именуется свойством «единичного веса» этой функции.

Помимо несмещенной функции , введенной определением 12.1, существует смещеннаяфункция, определяемая следующим образом.

Определение 12.2(О12.2). Обобщенная функция , обладающая свойствами:

1. , (12.5)

2. , (12.6)

называется смещенной функцией.

Примечание 12.1(ПР12.1). Для смещенных функций используется эквивалентная компактная записьтак, что оказывается справедливым соотношение.

Смещенная функция, как и несмещенная, обладает единичным весом, но тем не менее, эти функции являются технически невоспроизводимыми, при этом реакции на них являются технически воспроизводимыми.

Рассмотрим теперь «интегральное свойство» функции, которое сформулируем в виде утверждения применительно к смещенной функции.

Утверждение 12.1(У12.1). Пусть – кусочнонепрерывная функция, не содержащая разрывов второго рода, тогда оказывается справедливым функционально-интегральное равенство

(12.7)

Доказательство утверждения строится на вычислении интеграла в левой части (12.7) с использованием свойств функции. В связи со свойством (12.5) в интеграле (12.7) от интегрирования на бесконечном интервале можно перейти к интегрированию на бесконечно малом интервале, причем на этом интервале функция

принимает фиксированное значение . В связи со сказанным становится справедливой цепочка равенств

■(12.8)

Интеграл вида (12.7) называется интегралом «свертки», при этом он «сворачивается» в подынтегральную функцию также в случае, когда сдвиг аргумента осуществляется не вфункции, а в функции

Рассмотрим теперь спектральные частотные свойства функции, для этих целей сформулируем утверждение.

Утверждение 12.2 (У12.2). Спектральная функция функции какпрямая трансформанта Фурье от функции является вещественной и единичной на всей оси частот так, что выполняется равенство

при . □(12.9)

Доказательство утверждения строится на определении спектральной частотной функции исследуемого оригинала как прямого преобразования Фурье от него и на интегральном свойствефункции. В результате получим цепочку равенств

■(12.10)

Положения утверждения 12.2 характеризуют функцию какбесконечномерное экзогенное воздействие так, как для представления ее в базисе гармонических элементов требуется сплошное (т.е. бесконечное) множество этих элементов единичной амплитуды.

Рассмотрим теперь вынужденную составляющую непрерывной системы (13.1) на функцию. В связи с поставленной задачей сформулируем утверждение.

Утверждение 12.3 (У12.3). вынужденные составляющие реакции системы (12.1) по переменным состояния и выходана экзогенное воздействие типа функции задаются весовыми матрицами по состоянию и выходу, определяемыми выражениями

□(12.11)

Доказательство. Полное движение системы (13.1) при произвольном экзогенном воздействии по переменным состояния и выхода определяется соотношениями

, (12.12)

. (12.13)

Выделим в (12.12), (12.13) вынужденные составляющие движения системы и положим в них , тогда получим цепочки равенств на основе интегрального свойства функции

(12.14)

(12.15)

Из соотношений (12.14) и (12.15) следует (12.11). ■

В выражениях (12.14) и (12.15) «1» – n-мерный единичный вектор, решающий задачу согласования размерностей левой и правой частей этих выражений. Вся информация о динамических процессах по вектору состояния и вектору выхода, порождаемых экзогенным воздействием типа функция содержится в элементах весовых матриц размерностииразмерности. Так-ый элементвесовой матрицыпредставляет собойреакцию го компонентавектора состоянияна приложение кму входу системы (12.1) экзогенного воздействия типа функции. В свою очередь ый элементвесовой матрицыпредставляет собойреакцию го компонентавектора выходана приложение кму входу системы (12.1) экзогенного воздействия типа функции.

Представим матрицу входа динамической системы (12.1) в столбцовой форме

(12.16)

тогда весовые матрицы системы можно записать в форме

, (12.17)

. (12.18)

Выражения (12.17) и (12.18) делают справедливыми положения следующего утверждения.

Утверждение 12.3 (У12.3). Столбцы ивесовых матрицимогут быть найдены как решенияавтономной версии системы (13.1)

, (12.19)

если в ней положить

Доказательство. Решение системы (12.19) для векторов состояния и выходаимеет вид

(12.20)

Если теперь в (12.20) подставить условия утверждения , то получим

(12.21)

■(12.22)

Итак показано, что несмотря на техническую невоспроизводимость функции, оказались воспроизводимыми реакции непрерывной системы по векторам состояния и выхода на нее как на бесконечномерное экзогенное воздействие. Обнаружилось также, что является технически невоспроизводимой ошибка слежения , если

Таким образом, функция оказалась абстрактной конструкцией, позволяющей элегантно упрощать интегральные соотношения.