Алгоритм 15.2(а15.2)

1.Задать положительно определенную матрицу =,,.

2.Решить матричное уравнение Ляпунова (15.32) относительно матрицы .

3.Решить обобщенное характеристическое уравнение, выбрать на спектре решений экстремальные элементыи.

4.Вычислить спектральное число обусловленности матрицы.

5.На основании оценочных неравенств (15.44) сформировать экспоненциальные миноранту и мажоранту процессов в системе (15.21) по норме вектора состояния, порождаемых ненулевым начальным состоянием, принадлежащим единичной сфере.

6.На основании оценочных неравенств (15.45) вычислить миноранту и мажоранту времени переходного процесса.

ПРИМЕЧАНИЕ 15.3(ПР15.3). Соотношения (15.44) и (15.45)обнаруживают заметную зависимость параметров экспоненциальных минорант и мажорант от числа обусловленности матрицы , являющуюся решением уравнения Ляпунова (15.32), которое в свою очередь является функцией назначаемойматрицы. Поэтому матрицуследует выбирать из условия

. (15.46)

Решение вариантов задач

Задача 15.1. В предположении полной измеримости вектора состояния динамического объекта с передаточной функцией синтезировать алгоритм формирования сигнала управленияметодами оптимального в смысле минимума функционала (15.17) управления.

Решение. Воспользуемся алгоритмом 15.1,тогда получим:

1. представление ДО имеет матрицы

, при этом пара управляемая, паранаблюдаемая;

2.Назначим весовые матрицы такие, что;

3. Уравнение Риккати (15.19) , которое принимает вид при заданных матрицах ДО и функционала (15.17)

, что в поэлементной форме получает представление

и решение такое, что,;

4. С помощью соотношений (15.20) и (15.22) вычислим матрицу обратных связей и сформируем матрицусостояния системы (15.21)

,

со спектром собственных значений;

5. На сфере с помощью выражения (15.25) вычислим значение квадратичного интегрального функционала качества (15.17), при этом с тем, чтобы определить экстремальные на сфере значения квадратичного функционалаис помощью выражения (15.25) построим сингулярное разложение матрицыв формес компонентами

.

Тогда на сфере получим

Таким образом значение функционала качества (15.17) на сфере удовлетворяет неравенствам

■

Задача 15.2. С помощью алгоритма 15.2 оценить динамические свойства системы, синтезированной в задаче 15.1.

Решение. Воспользуемся алгоритмом 15.2,тогда получим:

1.В силу уравнения Ляпунова сформируем матрицу в форме=, в итоге получим

2.Решение уравнения Ляпунова имеет вид

3.Решение обобщенного характеристического уравнения , принимающего виддает корни

4.Вычисление числа обусловленности матрицы приводит к результату

5.На основании оценочных неравенств (15.44)

получаем экспоненциальные миноранту и мажоранту асимптотически сходящихся процессов, порождаемых начальными состояниями, принадлежащими сфере , имеющие вид

6.На основании оценочных неравенств (15.45)

при получаем оценки длительности сходящихся со сферы начальных состояний в сферу в виде

■

218