Алгоритм 15.1(а15.1)

1. Задать матричные компоненты квадратичного интегрального функционала качества (15.17), удовлетворяющие условиям=,,;

2. Решить матричное уравнение Риккати (15.19) относительно матрицы

3. С помощью соотношений (15.20) и (15.22) вычислить матрицу обратных связей и сформировать матрицусостояния системы (15.21).

4. На сфере с помощью выражения (15.25) вычислить значение квадратичного интегрального функционала качества (15.17). С тем, чтобы определить экстремальные на сфере значения квадратичного функционалаис помощью выражения (15.25) необходимо построить сингулярное разложение матрицыв форме.Тогда будем иметь на сфере.

ПРИМЕЧАНИЕ 15.2(ПР15.2). Одной из сложных пользовательских проблем рассмотренного оптимального в смысле интегрального квадратичного функционала качества управления является выбор весовых матриц . Эта проблема встает особенно остро, когда требуется обеспечитьнаперед заданный темп сходимости управляемых процессов. Общих рекомендаций по выбору матриц существующие библиографические источники не дают, в этом вопросе разработчик в основном опирается на личный опыт.

В этой связи будет полезным рассмотрение задаче качественной асимптотической устойчивости системы (15.21) в постановке качественной экспоненциальной асимптотической устойчивости.

Рассмотрение системных проблем, связанных с постановкой задачи качественной экспоненциальной асимптотической устойчивости начнем с определения.

Определение 15.1 (О15.1). Исследуемая асимптотически устойчивая система вида (15.21) называется качественно экспоненциально устойчивой, если ,такие, что выполняется мажорирующее неравенство

. (15.26)

Нетрудно видеть, что оценочные параметры ,составляет решение задачи оценки качествазадачи перевода (регулирования) в постановке качественной экспоненциальной устойчивости.

Нетрудно видеть, что для линейной непрерывной системы (15.21) справедливо представление ее решения в форме

(15.27)

Для оценки свойств сходящихся процессов (15.27) при воспользуемся квадратичными векторными нормами с неединичным весом, определяемыми в силу соотношений

,,. (15.28)

Введем также функциональную связь между скоростью изменения функции Ляпунова и вектором состоянияв следующей форме

,,. (15.29)

Очевидно, система (15.21) будет асимптотически устойчива, если на траекториях системы выполняется условие

,,

что с использованием (15.28) и (15.29) можно записать в форме равенства

. (15.30)

Рассмотрим (15.30) на траекториях асимптотически устойчивой системы (15.21), тогда получим скалярное соотношение, построенное на векторно-матричных компонентах

. (15.31)

Нетрудно видеть, что для выполнения скалярного соотношения (15.31) достаточно выполнения матричного соотношения

, (15.32)

которое является уравнением Ляпунова (УЛ).

Задача исследования устойчивости системы (15.21) с помощью аппарата произвольных норм вектора состоянияв форме их квадратичной реализации с произвольным весом, свелась к матричному формализму, при котором асимптотически устойчивая система с матрицейпри заданной матрицедает решение УЛ (15.32) в форме матрицы,порождающей норму с неединичным весом, так что,.

Для построения оценок икачественно экспоненциально устойчивых систем вида (15.21) воспользуемся известным в линейной алгебре результатом в виде оценочных неравенств применительно к пучкуквадратичных форм

, (15.33)

где и– минимальный и максимальный элементы спектра корнейобобщенного характеристического уравнения, построенного на паре матриц.

Если теперь воспользоваться (15.33), то (15.28) и (15.30) позволяет записать неравенства

. (15.34)

Последнее простым умножением всех элементов неравенства на скаляр приводит к соотношению

. (15.35)

Если (15.35) проинтегрировать по времени , то получим

,

где – постоянная интегрирования. Из последнего соотношения в силу сохранения отношения порядкана экспонентах, получим

. (15.36)

Перейдем в (15.36) от соотношений по квадратичным нормам с весом к квадратичным нормам с единичным весом (евклидовым нормам), для чего воспользуемся соотношением вида (15.33)

, (15.37)

где ,– минимальный и максимальный элементы алгебраического спектра собственных чисел матрицы, которые в силу свойства,являются также и сингулярными числами матрицы. Если записать (15.37) в эквивалентной форме

(15.38)

и подставить неравенства (15.38) в (15.36), предварительно записав последнее в форме, то получим

. (15.39)

Неравенства (15.39) позволяют для нормы записать

. (15.40)

Если в (15.40) учесть, что и записать (15.38) для момента временив эквивалентной форме, (15.41)

то, разделив неравенство (15.40) на (15.41) получим соотношения в виде оценочных неравенств, полностью построенные на евклидовых векторных нормах

. (15.42)

Неравенство (15.42) содержит миноранту и мажоранту сходящихся процессов в качественно экспоненциально асимптотически устойчивой системе, при этом сравнение мажорирующей части (15.42) с (15.26) позволяют для искомых параметров изаписать

;. (15.43)

Таким образом (15.42) позволяет получить оценки параметров процессов в качественно экспоненциально асимптотически устойчивой системе вида (15.21), опирающееся на решение матричного УЛ (15.32), а в случае когда система (15.21) спроектирована как оптимальная в смысле интегрального квадратичного функционала качества (15.17), то – на решение матричного уравнения Ляпунова (15.24).

Следует напомнить, что собственные значения матрицы являются ее сингулярными числами, в силу чего, а такжеопределения спектрального числа обусловленности квадратной матрицы оказывается справедливой цепочка равенств

В результате (15.42) можно записать в форме

. (15.44)

Решение задачи в форме (15.42),(15.44) содержательно оказалось богаче заявленного к поиску в форме (15.26) так, как содержит как экспоненциальную мажоранту, так и экспоненциальную миноранту.

Следует заметить, что если положить , а длительность процессовоценивать на уровне, то логарифмированием (15.44) нетрудно получить минорантуи мажоранту, построенных на множестве сходящихся процессов, длительности процессовв виде

. (15.45)

Таким образом, решение задачи качественной экспоненциальной асимптотически устойчивой системы вида (15.21) с помощью алгоритма, которому придадим номер 15.2 и сопроводим аббревиатурой А15.2.