
- •11. Реакция динамических систем на конечномерные экзогенные воздействия
- •11.1. Реакция непрерывных динамических систем на конечномерные экзогенные воздействия
- •Алгоритм 11.1(а11.1)
- •11.2. Реакция дискретных динамических систем на конечномерные экзогенные воздействия
- •Алгоритм 11.2(а11.2)
- •12. Реакция динамических систем на бесконечномерные экзогенные воздействия
- •12.1. Реакция непрерывных динамических систем на бесконечномерное экзогенное воздействие типа дельта-функция Дирака
- •12.2. Реакция непрерывных динамических систем на экзогенные стационарные в широком смысле стохастические воздействия
- •12.3. Реакция дискретных динамических систем на дискретные экзогенные стационарные в широком смысле стохастические воздействия
- •13. Оценка качества систем типа «многомерный вход – многомерный выход». Аппарат минорантных и мажорантных покрытий векторных процессов
- •14. Постановка задач синтеза закона управления динамическим объектом на основе концепции подобия
- •14.1. Модальное управление
- •14.1.1. Прямое модальное управление
- •14.1.2. Модальное управление средствами обратной связи
- •Алгоритм 14.1(а14.1)
- •14.1.3. Проблема формирования модальной модели
- •14.1.4. Модальное управление дискретными объектами
- •Алгоритм 14.2(а14.2)
- •14.2. Принцип внутренней модели. Обобщенное изодромное управление
- •Алгоритм 14.3 (а14.3) синтеза обобщенного изодромного управления, имеет вид:
- •15. Концепция оптимальности в решении задач управления. Качественная асимптотическая устойчивость
- •Алгоритм 15.1(а15.1)
- •Алгоритм 15.2(а15.2)
15. Концепция оптимальности в решении задач управления. Качественная асимптотическая устойчивость
Второй системной парадигмой в современной теории управления является концепция оптимальности. Концепция оптимальности в теории управления имеет большое число постановочных версий. В настоящем пособии рассматривается постановочная версия, приводящая к синтезу систем управления, опирающемуся на решение матричного уравнения Риккати.
С использованием концепции оптимальности задача управления непрерывным динамическим объектом ставится следующим образом. Пусть НДО имеет векторно – матричное описание
;
;
,(15.1)
в котором векторные и матричные компоненты имеют тот же смысл, размерности и свойства, что и в (14.5).
Рассмотрим также интегральный квадратичный функционал качества процессов на траекториях НДО
,
(15.2)
где
,
;
,
и
,
.
Задачей перевода (регулирования) в оптимальной в смысле интегрального квадратичного функционала качества (15.2) постановке называется задача формирования сигнала управления в форме линейной ОС по состоянию
(15.3)
с
матрицей связей
,
переводящего ОУ (15.1) из состояния
в состояние
по траектории, на которой функционал
(15.2)
принимает минимальное значение.
Таким
образом, матрица
оптимального закона управления (15.3)
может быть задана в форме
(15.4)
Для
конструирования матрицы
оптимального ЗУ (15.3) воспользуемся
принципом
максимума (минимума) Понтрягина Л.С.,
для чего сформируем гамильтониан в
форме
,
(15.5)
где
,
,
–
сопряженный с
вектор в том смысле, что
,
,
.
Оптимизация
(15.5) по
приводит к системе уравнений Эйлера-Лагранжа
;
;
.
(15.6)
Система (15.6) в развернутом виде записывается
;
,
(15.7)
;
,
(15.1)
.
(15.8)
Объединение уравнений (15.7), (15.1) и (15.8) дает составную автономную систему
,
.
(15.9)
Для
того, чтобы решить задачу
перевода(регулирования)
в форме ЗУ (15.3), воспользуемся тем, что
вектор
является сопряженным с вектором состояния
,
что позволяет записать
,
,
(15.10)
где
матрица
в силу сопряженности
и
удовлетворяет для
условию
,
(15.11)
откуда следует, что
,
,
.
Если (15.10) подставить в (15.8), то получим закон оптимального управления в виде ОС по состоянию
.
(15.12)
Таким
образом, окончательное решение задачи
перевода (регулирования)
в форме оптимального в смысле квадратичного
функционала качества (15.2) управления
сводится к конструированию матричного
уравнения относительно матрицы
,
из решения которого находится последняя.
Соотношение (15.10) позволяет вектор
состояния
и
вектор производных
автономной системы (15.9) представить в
виде
;
.
(15.13)
Из совместного рассмотрения уравнения (15.9) и соотношений (15.13) нетрудно получить дифференциальное векторно – матричное уравнение
,
(15.14)
которое, в свою очередь, дает
.
(15.15)
Так
как
,
то необходимо и достаточно, чтобы матрица
удовлетворяла дифференциальному
матричному уравнению
;
.
(15.16)
Дифференциальное
матричное уравнение (15.16) относительно
матрицы
именуется уравнением
Риккати
(УР) .
Если
квадратичный функционал
(15.2) задать в форме
,
то он примет вид
. (15.17)
Функционалу (15.17) соответствует установившееся решение дифференциального матричного УР (15.16), которое характеризуется выполнением двух предельных переходов
,
(15.18)
Нетрудно
видеть, что
,
как установившееся решение (15.16), является
решением алгебраического
матричного уравнения Риккати
. (15.19)
Решение
матричного УР (15.19)
порождает ЗУ (15.3) со стационарной во
времени матрицей ОС
, (15.20)
который
переводит ОУ (15.1) из состояния
в состояние
при
так, что на траекториях объекта управления
функционал (15.17) принимает минимальное
значение.
Оптимальная система, образованная ОУ (15.1) и оптимальным регулятором, реализующим ЗУ (15.3) с матрицей ОС (15.20), принимает вид
;
;
, (15.21)
где
. (15.22)
Соотношения (15.20)–(15.22) позволяют для функционала (15.17) записать
. (15.23)
Положительно
определенная матрица
(
)
удовлетворяет матричному уравнению
Ляпунова
. (15.24)
Если
теперь в (15.24) положить
,
то нетрудно получить с учетом уравнения
Риккати (15.19), что
,
и, как следствие
. (15.25)
Таким
образом, задача
перевода (регулирования)
в форме оптимального в смысле квадратичного
функционала качества управления сводится
к задаче качественной асимптотической
устойчивости системы (15.21), на
траекториях которой контролируется
качество процессов с помощью функционала
качества (15.23),
принимающего минимальное значение и
как функция начального состояния
,
определяемого выражением (15.25).
ПРИМЕЧАНИЕ
15.1(ПР15.1). Если
закон управления (15.3) с матрицей
вида (15.20) модифицировать с тем, чтобы в
него ввести информацию о задающем
экзогенном воздействии
так, что он примет вид (14.40) с матрицей
прямых связей
вида (14.45) по задающему экзогенному
воздействию, то сформирован будет закон
управления, решающий задачуоптимального
удержания
в смысле функционала (15.17) на программной
траектории,
формируемой задающим экзогенным
воздействием.
Таким образом, решение задачи перевода (регулирования) в форме оптимального в смысле квадратичного функционала качества (15.17) управления объектом (15.1) может быть получено с помощью алгоритма, которому придадим номер 15.1 и сопроводим аббревиатурой А15.1.