15. Концепция оптимальности в решении задач управления. Качественная асимптотическая устойчивость

Второй системной парадигмой в современной теории управления является концепция оптимальности. Концепция оптимальности в теории управления имеет большое число постановочных версий. В настоящем пособии рассматривается постановочная версия, приводящая к синтезу систем управления, опирающемуся на решение матричного уравнения Риккати.

С использованием концепции оптимальности задача управления непрерывным динамическим объектом ставится следующим образом. Пусть НДО имеет векторно – матричное описание

; ; ,(15.1)

в котором векторные и матричные компоненты имеют тот же смысл, размерности и свойства, что и в (14.5).

Рассмотрим также интегральный квадратичный функционал качества процессов на траекториях НДО

, (15.2)

где , ; , и , .

Задачей перевода (регулирования) в оптимальной в смысле интегрального квадратичного функционала качества (15.2) постановке называется задача формирования сигнала управления в форме линейной ОС по состоянию

(15.3)

с матрицей связей , переводящего ОУ (15.1) из состояния в состояние по траектории, на которой функционал (15.2) принимает минимальное значение.

Таким образом, матрица оптимального закона управления (15.3) может быть задана в форме

(15.4)

Для конструирования матрицы оптимального ЗУ (15.3) воспользуемся принципом максимума (минимума) Понтрягина Л.С., для чего сформируем гамильтониан в форме

, (15.5)

где , , – сопряженный с вектор в том смысле, что

, , .

Оптимизация (15.5) по приводит к системе уравнений Эйлера-Лагранжа

; ; . (15.6)

Система (15.6) в развернутом виде записывается

; , (15.7)

; , (15.1)

. (15.8)

Объединение уравнений (15.7), (15.1) и (15.8) дает составную автономную систему

,. (15.9)

Для того, чтобы решить задачу перевода(регулирования) в форме ЗУ (15.3), воспользуемся тем, что вектор является сопряженным с вектором состояния , что позволяет записать

, , (15.10)

где матрица в силу сопряженности и удовлетворяет для условию

, (15.11)

откуда следует, что

, , .

Если (15.10) подставить в (15.8), то получим закон оптимального управления в виде ОС по состоянию

. (15.12)

Таким образом, окончательное решение задачи перевода (регулирования) в форме оптимального в смысле квадратичного функционала качества (15.2) управления сводится к конструированию матричного уравнения относительно матрицы , из решения которого находится последняя. Соотношение (15.10) позволяет вектор состояния и вектор производных автономной системы (15.9) представить в виде

; . (15.13)

Из совместного рассмотрения уравнения (15.9) и соотношений (15.13) нетрудно получить дифференциальное векторно – матричное уравнение

, (15.14)

которое, в свою очередь, дает

. (15.15)

Так как , то необходимо и достаточно, чтобы матрица удовлетворяла дифференциальному матричному уравнению

; . (15.16)

Дифференциальное матричное уравнение (15.16) относительно матрицы именуется уравнением Риккати (УР) .

Если квадратичный функционал (15.2) задать в форме ,

то он примет вид

. (15.17)

Функционалу (15.17) соответствует установившееся решение дифференциального матричного УР (15.16), которое характеризуется выполнением двух предельных переходов

, (15.18)

Нетрудно видеть, что , как установившееся решение (15.16), является решением алгебраического матричного уравнения Риккати . (15.19)

Решение матричного УР (15.19) порождает ЗУ (15.3) со стационарной во времени матрицей ОС

, (15.20)

который переводит ОУ (15.1) из состояния в состояние при так, что на траекториях объекта управления функционал (15.17) принимает минимальное значение.

Оптимальная система, образованная ОУ (15.1) и оптимальным регулятором, реализующим ЗУ (15.3) с матрицей ОС (15.20), принимает вид

; ; , (15.21)

где

. (15.22)

Соотношения (15.20)–(15.22) позволяют для функционала (15.17) записать

. (15.23)

Положительно определенная матрица () удовлетворяет матричному уравнению Ляпунова

. (15.24)

Если теперь в (15.24) положить , то нетрудно получить с учетом уравнения Риккати (15.19), что , и, как следствие

. (15.25)

Таким образом, задача перевода (регулирования) в форме оптимального в смысле квадратичного функционала качества управления сводится к задаче качественной асимптотической устойчивости системы (15.21), на траекториях которой контролируется качество процессов с помощью функционала качества (15.23), принимающего минимальное значение и как функция начального состояния , определяемого выражением (15.25).

ПРИМЕЧАНИЕ 15.1(ПР15.1). Если закон управления (15.3) с матрицей вида (15.20) модифицировать с тем, чтобы в него ввести информацию о задающем экзогенном воздействиитак, что он примет вид (14.40) с матрицей прямых связейвида (14.45) по задающему экзогенному воздействию, то сформирован будет закон управления, решающий задачуоптимального удержания в смысле функционала (15.17) на программной траектории, формируемой задающим экзогенным воздействием.

Таким образом, решение задачи перевода (регулирования) в форме оптимального в смысле квадратичного функционала качества (15.17) управления объектом (15.1) может быть получено с помощью алгоритма, которому придадим номер 15.1 и сопроводим аббревиатурой А15.1.