11. Реакция динамических систем на конечномерные экзогенные воздействия

Рассматриваются проблемы, связанные с изучением реакции динамической системы (ДС) непрерывной и дискретной по времени версий модельного представления, фиксируемой на ее выходе в случае подачи на ее вход конечномерного экзогенного (внешнего) воздействия. Полагается, что исследуемая система линейная (или локально линейная) так, что ее векторно-матричное описание (ВМО) имеет вид

(11.1)

для непрерывного случая и

(11.2)

для дискретного случая. В (11.1) и (11.2) – вектор состояния ДС,;– вектор экзогенного (внешнего) воздействия,– вектор выхода;;– матрицы состояния;;– матрицы входа;;– матрицы выхода;. Непрерывное времяи дискретноесвязаны соотношением, где- интервал дискретности.

Решение системы (11.1) относительно векторов состояния и выходаимеет вид

, (11.3)

. (11.4)

В свою очередь решение системы (11.2) относительно векторов состояния и выходапринимает вид

, (11.5)

. (11.6)

Из приведенных выражений (11.3) – (11.6) движения непрерывной и дискретной систем как по вектору состояния, так и по вектору выхода видно, что они содержат свободные составляющие, порожденные ненулевым начальным состоянием

(11.7)

(11.8)

(11.9)

(11.10)

а также вынужденные составляющие, порожденные внешними воздействиями и

, (11.11)

, (11.12)

, (11.13)

. (11.14)

Следует заметить, что когда ставится задача исследования реакции непрерывной или дискретной системы на экзогенное (внешнее) воздействие, то имеются в виду вынужденные составляющие движения системы, фиксируемые на ее выходе и описываемые соответственно выражениями (11.12) и (11.14).

Нетрудно видеть, что аналитическое вычисление вынужденных составляющих движений в непрерывной и дискретной системах с помощью выражений (11.12) и (11.14) представляет заметные трудности, так как требует необходимости взятия интеграла и формирования суммы. При этом вычисление установившихся компонентов иреакций непрерывной и дискретной ДС, определяемых в силу соотношений

, (11.15)

в форме компактных аналитических выражений может оказаться достаточно сложным.

Покажем, что обнаруженные сложности аналитических вычислений реакций непрерывной и дискретной динамических систем на конечномерные экзогенные (внешние) воздействия существенно сокращаются, если воспользоваться возможностями матричных уравнений Сильвестра.

11.1. Реакция непрерывных динамических систем на конечномерные экзогенные воздействия

Рассматривается непрерывная линейная система (11.1), в которой экзогенное воздействие формируется с помощью автономной конечномерной ДС вида (11.13), имеющей ВМО вида

, ,.(11.16)

Объединение систем (11.1) и (11.16) образует агрегированную систему с вектором состояния , задаваемую системой векторно-матричных описаний

, (11.17)

. (11.18)

Утверждение 11.1 (У11.1). Матричные компоненты ВМО (11.17) и (11.18) имеют представления

, (11.19)

. □ (11.20)

Доказательство. Сформируем производную вектора состояния агрегированной системы из компонентов, тогда на основании (11.1) и (11.16) можно построить цепочку векторно-матричных равенств

(11.21)

Из сравнения (11.17) и (11.21) следует справедливость первого равенства (11.19). Запишем для переменных следующие представления

, (11.22)

, (11.23)

, (11.24)

. (11.25)

Из (11.22) – (11.25) следуют остальные соотношения в (11.19) и (11.20). ■

Представления (11.17), (11.18) для векторов иисследуемой динамической системы (11.1) позволяют записать

. (11.26)

Матрица представляет собой блочную матрицу (11.19), матричные компоненты которой можно связатьматричным уравнением Сильвестра. Для этой цели докажем утверждение.

Утверждение 11.2 (У11.2). Пусть выбором начальных состояний иобеспечивается выполнение векторного равенства

, (11.27)

тогда – матрица подобия (в общем случае особого) удовлетворяетматричному уравнению Сильвестра

. □(11.28)

Доказательство утверждение строится на дифференцировании (11.27) по времени, которое дает равенство

, (11.29)

и на последующей подстановке (11.27) и (11.29) в соотношения (11.1) для и (11.16) для, в результате чего возникают две цепочки векторно-матричных соотношений

, (11.30)

. (11.31)

Векторно-матричные соотношения (11.30) и (11.31) делают справедливыми матричные равенства

■(11.32)

Матричное уравнение Сильвестра (11.28) позволяет представить матрицу (11.19) в форме

. (11.33)

Представление матрицы вида (12.33) позволяет сформулировать и доказать следующее утверждение.

Утверждение 11.3 (У11.3). Показательная (степенная) матричная функция от матрицывида (11.33), где– целое положительное число представима в форме

. (11.34)

Доказательство строится на непосредственном вычислении положительных целых степеней матрицы путем их перемножения. В результате получим

=;

База индукции построена, поэтому можно вычислить искомую матричную функцию

■(11.35)

Примечание 11.1 (ПР11.1). Нетрудно видеть, что положения утверждения 11.3 позволяют сделать следующее обобщение. Если матричная функция от матрицы представляет собой степенной конечный или бесконечный ряд по целым положительным степеням матрицы, то оказывается справедливым представление

. (11.36)

Представление (11.36) матричной степенной функции от матрицы делает справедливыми положения следующего утверждения.

Утверждение 11.4 (У11.4). Матричная экспонента , где матрицаимеет представление

. □■(11.37)

Если в (11.22) – (11.24) подставить (11.26), в котором использовать (11.37), то получим для переменных представление

(11.38)

(11.39)

(12.40)

Анализ выражений (11.38) – (11.40) позволяет получить представления всех компонентов движения системы (11.1) при конечномерном экзогенном воздействии на ее входе.

Вынужденные составляющие по состоянию, выходу и ошибке

(11.41)

(11.42)

Установившиеся составляющие по состоянию, выходу и ошибке

(11.43)

(11.44)

Переходные составляющие по состоянию, выходу и ошибке

(11.45)

Из сравнения представлений (11.40) и (11.43) становится понятным математическое «содержание» матрицы , состоящее в том, что она представляет собой матрицу подобия между процессамипо вектору состояния в источнике конечномерного экзогенного воздействия (ИКЭВ) и установившейся составляющей вектора состояния исследуемой динамической системы так, что устанавливаются соотношение

(11.46)

Если обратиться к общему решению (11.38) для , то из него можно видеть, что соотношение (11.46) устанавливаются с начального момента, если начальные соотношения подчинить условию

Таким образом, для вычисления реакции непрерывной линейной системы (11.1) на произвольное конечномерное экзогенное воздействие можно воспользоваться приводимым ниже алгоритмом.