5.1.4.1 Концепция подобия в задаче двоичного динамического наблюдения состояния лддс

Пусть линейная ДДС, состояние которой подлежит наблюдению, имеет векторно-матричное описание

, (5.101)

где – соответственно–мерный вектор состояния,–мерный вектор входной последовательности и–мерный вектор выходной последовательности, матрицысогласованы по размерности с векторамиЭлементы векторов и матриц принадлежат двоичному простому полю Галуа.

Двоичное динамическое наблюдающее устройство (ДНУ), использующее всю доступную для непосредственного измерения информацию об ДДС (5.101) в виде входной последовательности и выходной –, строится в форме

, (5.102)

где –-вектор состояния ДНУ, матрицаопределяет динамику процесса наблюдения в форме (5.96), а пара матрицобладает свойствами

, (5.103)

где – предикат наличия полной управляемости пары матриц.

Задачу наблюдения вектора состояния системы (5.101) в среде ДНУ (5.94) сформулируем в форме (5.81), записываемой в виде

, (5.104)

где – матрица преобразования подобия (в общем случае – особого). Уравнение (5.96) позволяет построить модель процесса наблюдения по вектору невязки наблюдения, которое принимает вид

(5.105)

Структурная модель процесса двоичного динамического наблюдения в форме (5.105) в соответствии с моделями (5.101) и (5.102) представлена на рисунке 5.17.

Рисунок 5.17. Модель процесса двоичного динамического наблюдения состояния произвольной ЛДДС

Сформулируем теперь утверждение.

Утверждение 5.23.Если матрицыудовлетворяют матричным соотношениям

, (5.106)

то процесс по вектору невязки наблюдения (ВНН) описывается рекуррентным векторно-матричным уравнением

. □ (5.107)

Доказательствоутверждения строится на подстановке в (5.107) векторно-матричных соотношений (5.93) и (5.94), в результате чего получим

(5.108)

Если в (5.108) подставить (5.106), то приходим к (5.107). ■

Модель процесса двоичного динамического наблюдения в форме процесса по ВНН (5.107) позволяет сформулировать требования к матричным компонентам наблюдаемой ДДС (5.101) и ДНУ (5.102), которые позволят обеспечить все возможные задачи наблюдения.

Так если ставится задача наблюдения вектора текущего состояния ДДС(5.01), то следует воспользоваться явным (показательным) решением (5.107), записываемым в форме

. (5.109)

Следует заметить, что при нормальном использовании ДНУ его состояние при запуске обнуляется так, что . С учетом этого обстоятельства (5.109) принимает вид

. (5.110)

В свою очередь подстановка (5.102) в (5.96) дает

. (5.111)

Потребуем от матрицы состояния ДНУ обладания свойством нильпотентности с индексом, тогда приустанавливается равенство

. (5.112)

Таким образом, вектор состояния ДНУ с точностью до матрицы преобразования подобиязадает текущее состояние векторанаблюдаемой ДДС (5.101). Заметим, что подобие (5.112) можно преобразовать в тождество, если в матричное уравнение Сильвестра (5.106) положить, где– единичная матрица, и решить уравнение (5.108) относительно матрицы.

Поставим теперь задачу наблюдения вектора начального состояния наблюдаемой ДДС(5.101). Для этого потребуем, чтобы матрицапринадлежала показателютак, что. В этом случае приk=соотношение (5.110) примет вид

. (5.113)

Дополним ситуацию еще одним условием, для чего предположим, что наблюдаемая ДДС (5.101) представляет собой регистр сдвига, функционирующий при и. Если учесть, что показательудовлетворяет неравенствам

, (5.114)

то к моменту (5.113) примет вид

. (5.115)

Таким образом, (5.115) обнаруживает результат, который не достигается над бесконечными полями. Если наблюдаемая ДДС (5.101) представляет собой регистр сдвига размерности с нулевой входной последовательностьюи ненулевым начальным состоянием, а двоичное наблюдающее устройство (5.94) таково, что его матрицасостояния принадлежит показателю, то в силу выполнения (5.115) состояниеДНУ приявляется синдромом состояния.

Выделим еще одну постановочную версию задачи наблюдения состояния ДДС (5.101), предположив, что входная последовательность формируется с помощью конечномерной автономной ДДС

. (5.116)

Соотношения (5.116) задают источник входной последовательности (ИВП) .

Объединим системные компоненты – наблюдаемая ДДС (5.101), ДНУ (5.94) и ИВП (5.116), – процесса наблюдения, охарактеризовав его агрегированным вектором состояния . Тогда динамика системы с агрегированным векторомописывается автономной ДДС

(5.117)

где матрица имеет представление

. (5.118)

Агрегированная модель (5.117) с матричным компонентом (5.118) процесса двоичного динамического наблюдения представлена на рисунке 5.18.

Рисунок 5.18. Модель двоичного динамического наблюдения

Для системы (5.117) явное решение в показательной форме принимает вид

=(5.119)

С целью покомпонентного вычисления (5.119) сформулируем утверждение.

Утверждение 5.24. Показательная матричная функцияматрицывида (5.110) представима форме, (5.120)

где матрица удовлетворяет матричному уравнению Сильвестра (5.116), а матрица– матричному уравнению Сильвестра

. □ (5.121)

Доказательствоутверждения осуществляется на замене матричных членовив представлении (5.116) матрицы, являющихся правыми частями уравнений Сильвестра (5.116) и (5.121), на их левые части, а также подстановке второго матричного соотношения (5.106) в (5.116) так, что становится справедливым матричное равенство

. (5.122)

После проведенной модернизации представления (5.116) матрицы осуществляется конструирование базы индукции степеней матрицы, что приводит к (5.120). ■

Если теперь в агрегированном векторе выделить векторный компонент, представляющий собой вектор состояния ДНУ, то в силу (5.119) и (5.120) для него можно записать

(5.123)

Выражение (5.123) обнаруживает все богатство решений задач двоичного динамического наблюдения, рассмотренных выше на основе частных композиций начальных состояний и свойств матричных компонентов.

Пример 5.5

Пусть требуется синтезировать ДНУ для наблюдения вектора состояния ДДС, -описание которой имеют вид

, ,,.

С целью решения поставленной задачи в соответствии с (5.110) и (5.112) выберем в качестве модели ДНУ регистр сдвига третьего порядка, матрица ВМ описания которого будет иметь следующий вид

Решение

Решим поставленную задачу в форме, для чего в силу (5.112) выберем матрицув форме. Решение уравнения Сильвестра (5.106) относительно матрицыи вычисление матрицыдает

, .

В силу (5.112) и того, что матрица имеет индекс нильпотентности, равный трем, то, очевидно, что начиная с моментавектор состоянияДНУ должен будет совпасть с вектором состоянияисходной ДДС. Покажем это, полагая, что входная последовательностьДДС на первых семи тактах имеет вид, а начальное состояниеДДС определяется вектором.

Таблица 5.3

	0	1	2	3	4	5	6	7
	0	1	0	0	1	0	1	0
	011	110	100	001	011	111	111	110
	000	000	000	001	011	111	111	110

Из таблицы 5.3 видно, что начиная с третьего такта, то есть с выполнением условия , вектор состояниясинтезированного ДНУ повторяет в формесостояниенаблюдаемой ДДС. С использованием полученных результатов структурная схема процесса двоичного динамического наблюдения вектора состояния ДДС примет вид, приведенный на рисунке 5.19.

Рисунок 5.19. Структурное представление процесса двоичного динамического наблюдения