5.1.4.3 Синтез двоичных динамических систем в логике произвольных линейных триггеров на базе концепции подобия

Решая поставленную задачу, следует отметить, что банк линейных триггеров состоит из D– иT– триггеров при этом так, как передаточная функция элемента памяти (ЭП), выполненного в видеD– триггера, характеризуется передаточной функцией

, (5.131)

а в виде T– триггера – характеризуется передаточной функцией

, (5.132)

то векторы состояний ДДС, имеющих D– иT– триггерную реализацию, оказываются связанными отношениями подобия

. (5.133)

Пусть в результате синтеза ДДС, решающей задачу преобразования входной последовательности в выходную, полученаD –триггерная реализация системы, имеющая векторно-матричное представление

, . (5.134)

Требуется, опираясь на условие векторно-матричного подобия (5.133), построить T– триггерную реализацию системы

, , (5.135)

решающую ту же задачу кодопреобразования. Поставленную задачу решим, опираясь на следующие утверждения.

Утверждение 5.27.Матричные компоненты векторно-матричных представлений (5.134) и (5.135) ДДС, решающих одну и ту же задачу кодопреобразования входной последовательностив выходную, связаны соотношениями

, (5.136)

, . □ (5.137)

Доказательствоутверждения строится на использовании (5.133), которое должно выполняться для, а потому оказывается справедливой запись

. (5.138)

Подстановка в (5.138) соотношений (5.134) и (5.135) приводит к справедливости (5.136) и первого соотношения в (5.137). Второе соотношение в (5.137) получается после подстановки (5.133) в выражение для выходной последовательности в (5.135). ■

Утверждение 5.28.Матричное условие подобия (5.136), записанное в форме

, (5.139)

представимо в виде неоднородного матричного уравнения Сильвестра

, (5.140)

где ,– полностью наблюдаемая пара матриц,– полностью управляемая пара матриц, алгебраические спектры собственных значений матрицине пересекаются, то есть, размерности матрицсогласованы в силу соотношения. □

Доказательствоутверждения строится на представлении матрицыв форме

, (5.141)

где матрица допускает представление

. (5.142)

Выражение (5.142) допускает эквивалентное представление

. (5.143)

Подстановка (5.143) в (5.140) с учетом (5.141) приводит к (5.139). ■

Утверждение 5.28является основой следующего алгоритма синтеза ДДС в логикеT – триггеров.

Алгоритм 5.13

конструирования двоичных динамических систем

в логике произвольных линейных триггеров

1. Выполнить А5.2, получив представление линейной ДДС в форме (5.134).

2. Назначить произвольные матрицы , удовлетворяющие условиямУ5.28.

3. Решить матричное уравнение Сильвестра (5.140) относительно матрицы подобия и вычислить матрицу.

4. Сконструировать матричные компоненты T–триггерной реализации линейной ДДС (5.135) с помощью соотношений (5.136) и (5.137). ■

Следует отметить, что так, как нелинейные ДДС, именуемые конечными автоматами, имеют линейные аналоги, то, как представляется авторам, концепция подобия может быть распространена и на этот класс ДДС.

Пример 5.7.

Построить для декодирующего устройства циклического кода с образующим многочленом модельное представление ДДС в логике линейныхT–триггеров.

Решение

1. Выполнение п.1 алгоритма 5.13 формирует модельное «вход-состояние-выход» представление декодирующего устройства с матричными компонентами

, ,,.

2. Назначение произвольных матриц , удовлетворяющих условиям утверждения5.30,дает

3.

, ,.

4. Выполнение п.3 алгоритма, состоящее в решении матричного уравнения Сильвестра (5.138) относительно матрицы подобия , приводит к матрице

M=и

соответственно.

5. С помощью соотношений (5.136) и (5.137) конструирование матричных компонентов T–триггерной реализации ДДС, описываемой матричными компонентами, полученными в п.1 алгоритма, дает матричные компоненты искомого векторно-матричного описания

; ;.

Структурное представление векторно-матричного описания искомой ДДС с полученными компонентами имеет вид, как показано на рисунке 5.22. ■

Рисунок 5.22

237