Алгоритм 5.2

конструирования представления ЛДДС

по ее передаточной функции

1. Выполнить алгоритм 5.1.

2. Разметить выбранную структурную реализацию передаточной функции , для чего выходам элементов памяти с передаточной функциейв определенном порядке присвоить переменную, а их непосредственным входам – переменную.

3. По размеченной структурной реализации передаточной функции сконструировать матрицывекторно-матричного представления линейной ДДС в форме (5.23), (5.24). ■

Для приведенных на рисунке 5.1 и рисунке 5.2 структурных реализаций , заданной в форме отношения двух модулярных многочленов (5.55), размеченных переменными состоянияислева направо (рисунок 5.9) и справа налево (рисунок 5.10) конструирование матрицдает для последних

представления:

1) в каноническом наблюдаемом базисе (рисунок 5.9)

, (5.58)

где ,

, (5.59)

2) в каноническом управляемом базисе (рисунок 5.10)

, (5.60)

где ,

(5.61)

Пример 5.3.

Сконструировать -представление ЛДДС по ее передаточной функции, обеспечивающую размещение в регистре хранения информационных разрядов кода Хэмминга (7,4).

1. Выполним алгоритм 5.1, в результате чего получим передаточную функцию ЛДДС

,

структурные представления, приведенные на рисунках 5.3 и 5.4.

2. Разметим соответствующим образом структурные реализации передаточной функции (см. рисунки 5.11 и 5.12)

3. По размеченной структурной реализации передаточной функции сконструируем матрицывекторно-матричного представления линейной ДДС в форме (5.8), (5.9)

1) в каноническом наблюдаемом базисе (рисунок 5.11)

,

2) в каноническом управляемом базисе (рисунок 5.12)

■

Рассмотрим теперь основные свойства квадратных матриц над простым полем Галуа при , часть из которых носит общесистемный характер, то есть выполняется для матрицы над любым полем, а часть имеет силу над простым полем Галуа при . Основные свойства зададим с помощью утверждений.

Свойство 5.1. (Обнуление матрицейAсвоего характеристического ММ (ХММ)).

Утверждение 5.14.(Теорема Гамильтона-Кэли). Произвольная квадратная-матрицанад простым полем Галуа приобнуляет свой характеристический модулярный многочлен так, что выполняется равенство □ (5.62)

Доказательство утверждения строится по той же схеме, что и над бесконечным полемдействительных чисел. ■

Свойство 5.2. (Принадлежность матрицыAпоказателю). Квадратная-матрицаAс элементами из обладает свойством принадлежности показателю, если выполняется условие

. □

Утверждение 5.15. Если характеристический полином матрицыстепенивходит в разложение двучлена, где, то матрицапринадлежит показателюв том смысле, что

. □ (5.63)

Доказательство утверждения строится на факте делимости без остатка двучленана ХММ, который позволяет записать

(5.64)

Выражение (5.64) делает справедливым соотношение

, (5.65)

в котором в силу У5.14членоказывается равным нулю, что доказывает справедливостьУ5.15. ■

Приведем еще одно утверждение, положения которого могут быть востребованы при исследовании линейных ДДС.

Утверждение 5.15.Любой модулярный многочленнад простым полем Галуа прис ненулевым свободным членом, то есть неделящийся без остатка на, является при некотором целом числеделителем двучлена, при этом минимальное значениеназывается показателем, которому принадлежит. □

Доказательство утверждения можно найти в литературе по теории линейных ДДС. ■

Нетрудно видеть, что объединение положений утверждений У5.15иУ5.16позволяет сформулировать утверждение, использование которого дает возможность сформировать простую технологию оценки показателя, которому принадлежит ММ.

Утверждение 5.17. Если сконструировать некоторую квадратнуюматрицу, гдев сопровождающейформе так, что

, (5.66)

то оценка

(5.67)

для случая минимального значения представляет собой показатель, которому принадлежит ММ. □

Доказательство утверждения строится на непосредственном вычислении, при котором выполняется равенство. ■

Свойство 5.3. (Нильпотентность индексаматрицыA). Квадратная-матрицаAс элементами из обладает свойством нильпотентности индекса, если выполняется условие

. □ (5.68)

Утверждение 5.21. Для того чтобы-матрицаAс элементами из конечного поля Галуа обладала свойством5.3достаточно, чтобы матрица Aобладала нулевым корнем кратности, при этом ее каноническое представление имело вид

. □(5.69)

Доказательствоутверждения строится на свойстве матричной функции от матрицы сохранять отношение подобия. Действительно, если существует- не особая матрицаМпреобразования подобия такая, что выполняется матричное соотношение

, (5.70)

тогда по указанному свойству выполняется и соотношение

(5.71)

Если в качестве выбрана функция от матрицы , то соотношение (5.71) примет вид

, (5.72)

но прив силу представления (5.69) обнуляется:

, (5.73)

что приводит к выполнению (5.68) в силу (5.72). ■