5.1.4. Концепция подобия в теории линейных двоичных динамических систем

Концепция подобия в теории динамических систем над бесконечными полями получила в последнее время заметное распространение при решении широкого круга задач управления. В рамках векторно-матричного формализма метода пространства состояний в не параметризованной временем форме концепция подобия сводится к выполнению соотношения

. (5.94)

В параметризованном временем виде соотношение (5.94) достигается в асимптотике так, что

, (5.95)

при этом

. (5.96)

В (5.94) – (5.96) – вектор состояния некоторого эталонного динамического процесса,– вектор состояния конструируемой динамической среды,,,–– матрица в общем случае особого преобразования подобия;– принимает смысл непрерывного временив непрерывных по времени процессах и смысл дискретного времени, выраженного в числе интервалов дискретности длительноститак, что, в дискретных по времени процессах,– вектор невязки выполнения векторно-матричного подобия, задаваемого в форме

, (5.97)

Если на асимптотически сходящемся процессе (5.96) можно указать такое, что присоотношение (5.97) выполняется «почти точно», тоследует называть временем установления векторно-матричного подобия (5.97). В технической среде достижение векторно-матричного подобия (5.97), обеспечиваемого путем выполнения условия (5.96), реализуется в виде связей по вектору состоянияи части компонентов вектора состояниятак, что математическая модель по вектору невязкипредставляет собой автономную систему, которая для непрерывного времени имеет вид

, (5.98)

и

, (5.99)

для дискретного времени. Указанные связи должны быть выбраны так, чтобы процессы в (5.84) и (5.85)

, (5.100)

сходились за назначенное время . Для процессов с непрерывным временем матрицадолжна быть гурвицевой, для процессов с дискретным временем матрицадолжна иметь собственные значения в единичном круге.

К схеме (5.95), (5.98), (5.99) сводится задача регулирования в форме модального управления, задача слежения за конечномерным экзогенным воздействием, задача динамического наблюдения. К этой же схеме сводятся задачи адаптивного управления. Для случая единичной матрицы преобразования подобия , когда отношение подобия превращается в отношение тождественного равенства, разработаны методы решения обратных задач динамики.

Следует ожидать, что перенос концепции подобия на динамические системы над конечными полями, частным случаем которых являются двоичные динамические системы, заметно обогатит алгоритмическое обеспечение синтеза как линейных, так и нелинейных ДДС (конечных автоматов). Следует заметить при этом, что обеспечение условия вида (5.82) опирается на особые свойства матриц над конечным полем Галуа приЭтими свойствами являются: свойство обнуления произвольной квадратной-матрицей с элементами из конечного поля Галуа присвоего характеристического полинома (Теорема Гамильтона-Кэли над конечным полем Галуа при), свойство принадлежности квадратной-матрицы с элементами из конечного поля Галуа показателюи свойство нильпотентности индекса.