СТПУ_УшБыНу_3103_2012 / СТПУ_Прил_ 6_ПММ_F

ПРИЛОЖЕНИЕ 6

Полиномиальные модальные модели процессов

При задании модальных моделей желаемых процессов широкое распространение получили полиномиальные динамические модели. Под полиномиальной модальной моделью (ПММ) синтезируемой системы понимается модель, матрица состояния которой является сопровождающей матрицей некоторого стандартного полинома . Для погружения в аппарат ПММ рассмотрим векторно-матричное описание (ВМО) синтезируемой системы

(П 6.1)

где - вектор внешнего (экзогенного) воздействия. Система (П 6.1) характеризуется передаточной матрицей

. (П 6.2)

Сепаратный канал объекта, связывающий -й выход и -й вход , описывается передаточной функцией

, (П 6.3)

где - -я строчка матрицы выхода ; - -й столбец матрицы входа . Если рассмотреть случай равенства числа выходов и входов объекта управления (ОУ), то в предположении, что каждый -й сепаратный канал реализован в виде модели с единичной отрицательной связью по выходу , его можно охарактеризовать передаточными функциями:

(П 6.4)

(П 6.5)

где - добротность по скорости -го канала;

(П 6.6)

В дальнейшем рассматриваются только модели сепаратных каналов, поэтому для простоты индекс «» опускается.

Наиболее употребительными полиномами, используемыми при назначении желаемой динамической модели управляемого процесса, являются полином Баттерворта (таблица П 6.1) и бином Ньютона (таблица П 6.2 ).

Коэффициенты этих полиномов параметризованы характеристической частотой в форме . Это позволяет определить параметризованные частотой следующие динамические характеристики полиномиальных модальных моделей при фиксированных значениях перерегулирования : время, при котором наблюдается перерегулирование, ; длительность переходного процесса ; добротность по скорости ; полосы пропускания модели на уровнях: ; ; ; , а также значения частот среза и запасы устойчивости по фазе.

Указанные динамические характеристики ПММ для перечисленных двух типов наиболее употребительных стандартных полиномов с первого по пятый порядок приведены в таблицах П 6.1, П 6.2.

Для случая, когда ПММ (П 6.1) возбуждается окрашенным, например, экспоненциально коррелированным, шумом с дисперсией , образованным прохождением белого шума с интенсивностью N через формирующий фильтр первого порядка с полосой пропускания на уровне 0.707 амплитудного спектра равной

(П 6.7)

где , на основе решения матричного уравнения типа Ляпунова

, (П 6.8)

где матрицы составной системы, образованной ПММ и формирующим фильтром;

, (П 6.9)

имеют вид

,

,

Аналитические выражения для дисперсий выхода и ошибки , определяемых из матрицы дисперсий состояния составной системы можно получить с помощью соотношений:

Полученные результаты для перечисленных выше полиномиальных модальных моделей приведены в таблицах П 6.3, П 6.4. В таблицах приводятся аналитические выражения для относительных дисперсий параметризованных относительной характеристической частотой , так что

Модельно в виде экспоненциально коррелированного шума описывается широкий класс помех различной физической природы, имеющих близкую к равномерной в эффективном частотном диапазоне функцию спектральной плотности.

Если значение в полученных аналитических выражениях для дисперсий устремить к бесконечности, то получим случай поведения полиномиальных динамических моделей при входном воздействии типа “белый шум” . Для этого случая в тех же таблицах приведены значения еще одной стохастической характеристики ПММ – интервал корреляции выхода . Интервал корреляции оценивается на пятипроцентном уровне, т. е. при условиях

, при

Построение корреляционной функции , а, следовательно, оценка обеспечивается матричным соотношением

, (П 6.10)

где – фундаментальная матрица ПММ – матрица дисперсий вектора состояния ПДМ.

В модельном плане корреляционная функция выхода ПММ представляет собой весовую функцию системы с матрицей состояния , выхода и входа . В приводимых таблицах интервал корреляции параметризован характеристической частотой ПММ. В случае необходимости воспроизведения корреляционной функции (П 6.10) следует воспользоваться автономной версией ПММ , в которой положить, в результате чего на выходе ПДММ будет наблюдаться .

Если возникает необходимость вычисления матрицы спектральных плотностей вектора состояния и воспроизведения функции спектральной плотности выхода, то следует воспользоваться выражениями

(П 6.11)

. (П 6.12)

При формировании модальной модели ее матрица состояния будет обладать спектром собственных значений, элементы которого имеют распределение Баттерворта или биномиальное распределение Ньютона. Наличие приведенных таблиц позволяет отобразить требования к показателям качества процессов проектируемой системы в переходном и установившемся режимах в требование к значению характеристической частоты ПММ. Итоговое значение ищется из условия , где – соответственно отношение порядка (типа «больше», «меньше»), требуемое значение -го показателя качества. Полученное значение характеристической частоты кладется в основу построения матрицы состояния модальной модели в форме , которая может задаваться в любом базисе.

Таблица П 6.1

Порядок n	Аналитическое выражение полинома							Полоса пропускания
								М³0.707	М³0.05	|1-М|£0.05	d£0.05
1			-	3	1	90	1	1	20	0.32	0.051
2		5	3.8	4.5	0.7	65.53	0.6436	1	4.134	0.523	0.035
3		9	4.95	6.25	0.5	60.49	0.4963	1	2.604	0.618	0.0257
4		11	5.55	7	0.385	59.84	0.3934	1	02.11	0.701	0.02
5		13	6.3	8	0.31	60.05	0.3189	1	1.782	0.774	0.017

Таблица П 6.2

Порядок n	Аналитическое выражение полинома							Полоса пропускания
								М³0.707	М³0.05	|1-М|£0.05	d£0.05
1		0	-	3	1	90	1	1	20	0.32	0.051
2		0	-	4.8	0.5	76.35	0.486	0.65	5.04	0.252	0.024
3		0	-	6	0.333	71.25	0.326	0.5	2.782	0.17	0.017
4		0	-	7.8	0.25	68.58	0.248	0.44	2.0	0.144	0.0135
5		0	-	9	0.2	66.94	0.2	0.4	1.54	0.128	0.0107

Таблица П6.3

Порядок n	Интервал корреляции	Дисперсия	Аналитическое выражение относительных дисперсий
1
2
3
4
5

Таблица П 6.4

Порядок n	Интервал корреляции	Дисперсия	Аналитическое выражение относительных дисперсий
1
2
3
4
5

81