5.1.2 Векторно-матричное модельное представление линейных двоичных динамических систем, свойства квадратных матриц над двоичным конечным полем Галуа

Общесистемные тенденции к расширению банка модельных представлений динамических систем над бесконечными и конечными полями привели разработчиков теории систем к достаточно универсальной модельной среде (МС), которая опирается на триаду «вход–состояние–выход» (ВСВ). Применительно к двоичным динамическим системам модель ВСВ последних имеет вид

(5.20)

где –-мерный вектор входной последовательности;–-мерный вектор состояния ДДС;–-мерный вектор выходной последовательности;– счетное множество моментов преобразования кодовых последовательностей, осуществляемого ДДС;– правило перехода ДДС из исходного состоянияв состояние переходапод действием вектора входной последовательности;– правило выхода, описывающее процесс формирования элементов выходной последовательностина переходе из состоянияпод действиемили как функции только состояния.

Введем в рассмотрение следующее определение.

Определение 5.5.Каноническим представлением «вход– состояние–выход» произвольной двоичной динамической системы (5.20) называется ее представление в виде двух векторных выражений

(5.21)

. □ (5.22)

Векторное модельное описание ВСВ в форме (5.21), (5.22) произвольной ДДС имеет структурное представление, приведенное на рисунке 5.7.

На рисунке5.7 ЭЗ – элемент задержки на один такт преобразования кодов образует блок памяти (БП); блоки,образуют комбинационную схему (КС) произвольной ДДС.

Определение 5.7.Если правило переходаи правило выходаДДС (5.21), (5.22) допускают представление в виде композиции линейных операций умножения матрицы на вектор и суммирования в рамках правил модулярной арифметики по модулютак, что (5.21) и (5.22) принимают вид

; (5.23)

, (5.24)

то такая ДДС называется линейной. В (5.21), (5.22) ––матрица состояния,––матрица входа,––матрица выхода,––матрица вход-выход ДДС,– начальное состояние ДДС. □

Краткости ради представление (5.23), (5.24) ЛДДС будем называть ее – матричным представлением.

Линейное векторно-матричное представление (5.23), (5.24) двоичной динамической системы имеет структурный графический аналог, приведенный на рисунке 5.8. На рисунке 5.8 ЭЗ – элемент задержки, который образует БП ЛДДС, а блоки с матричными коэффициентами передачи и сумматоры по модулюобразуют комбинационную схему линейной ДДС.

Векторно-матричное представление (ВМП) (5.23), (5.24) линейной ДДС называется рекуррентным, наряду с которым существует и суммарное ВМП ЛДДС. Суммарное векторно-матричное представление линейной ДДС введем с помощью утверждения.

Утверждение 5.5.Суммарное векторно-матричное представление ЛДДС (5.23), (5.24) задается соотношениями

, (5.25)

□ (5.26)

Доказательство утверждения строится с использованием рекуррентного соотношения (5.23), которое для первых трех тактов позволяет записать

;

;

.

Полученная база индукции для любого момента делает справедливым представление

. (5.27)

Второе соотношение суммарной ВМП ЛДДС в форме (5.26) получается подстановкой (5.27) в (5.24). ■

Соотношение (5.27) допускает модификацию, обнаруживающую динамическое преимущество моделей ВСВ над моделями «вход-выход», коими являются передаточные функции двоичных динамических систем. Модифицированное представление суммарной ДДС зададим с помощью утверждения.

Утверждение 5.7. Суммарная модель (5.27) процессов по вектору состояния линейной ДДС допускает представление

, (5.28)

где

(5.29)

, (5.30)

при этом именуется «вектором стратегии» перевода ЛДДС из начального состоянияв желаемое состояниеза-тактов, а матрица(5.30) именуется матрицей управляемости линейной двоичной динамической системы за-тактов. □

Доказательство утверждения строится на представления выражения (5.27) в форме

Выражение (5.31) путем введения агрегированных матрицы и вектора в правой части позволяет записать

(5.32)

Введение обозначений (5.29), (5.30) приводит (5.32) к виду (5.28).

■

Представление (5.28) позволяет сформулировать критерий управляемости линейной ДДС с индексом управляемости, равным .

Утверждение 5.8.Для того чтобы линейная ДДС (5.23), (5.24) была полностью управляемой с индексом управляемости равным, то есть затактов линейная двоичная система могла быть переведена из любого начального состоянияв любое конечное состояние необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

. □ (5.33)

Доказательство утверждения строится на том, что выполнение равенства (5.33) является необходимым условием обратимости матрицы, то есть существования. Но если это так, то это условие становится достаточным для вычисления «вектора стратегии» управленияна основе (5.28), записываемого в форме

(5.34)

для любых и. ■

Условие полной управляемости с индексом является достаточно жестким, более мягкой формой является условие полной управляемости с индексом, которое принимает вид

. □ (5.35)

Соотношение (5.35) является условием полной управляемости, то есть управляемости за тактов, при этом используется обозначение, где матрица

(5.36)

именуется матрицей управляемости ЛДДС (5.23), (5.24).

По аналогии с (5.32) может быть сконструировано векторно-матричное соотношение, позволяющее по результатам измерений на первых тактах выходной последовательностии входной последовательностивосстановить начальное состояниелинейной ДДС.

Утверждение 5.9.Для того чтобы линейная ДДС (5.23), (5.24) была бы полностью наблюдаемой с индексом наблюдаемости, то есть чтобы имелась возможность восстановить начальное состояниеза первыетактов, необходимо и достаточно, чтобы матрица наблюдаемостис индексом наблюдаемостиобладала рангом, равным, иначе чтобы выполнялось условие

. □ (5.37)

Доказательство утверждения строится на формировании измерений на первыхтактах в силу (5.9) и (5.27)

(5.38)

Сформируем на основе (5.38) вектор измерения с компонентами

(5.39)

Совместное использование представлений (5.38) и (5.39) позволяет записать

(5.40)

Выполнение условия (5.37) является необходимым для обратимости матрицы наблюдаемости с индексом , а существование матрицыявляется достаточным для вычисления вектора начального состояния ЛДДСв силу (5.40) в форме

■

Нетрудно видеть, что условие (5.37) для матрицы наблюдаемости с индексом является сильным, более слабым является выполнение этого условия для, тогда матрица наблюдаемости с индексомназывается просто матрицей наблюдаемости ЛДДС (5.8), (5.9) или пары матрици обозначается следующим образом

. □ (5.41)

Векторно-матричная модель ВСВ линейной ДДС (5.8), (5.9) позволяет сконструировать модель «вход-выход» (ВВ) в форме передаточной функции (матрицы), а также в форме рекуррентного уравнения ВВ с матричными коэффициентами.

Утверждение 5.10.Линейная ДДС (5.8), (5.9) может быть описана передаточной функцией (матрицей), связывающейD-образвыходной последовательностииD-образвходной последовательностив мультипликативной форме

(5.42)

где задается в виде

. □ (5.43)

Доказательство утверждения строится на применении к (5.8), (5.9) прямогоD-преобразования, которое дает выражения

, (5.44)

. (5.45)

Если исключить из (5.44) и (5.45) и разрешить их с использованием модальной арифметики относительноD-образа, то получим

. (5.46)

Положив в (5.46) нулевое начальное состояние ЛДДС в форме , запишем дляD-образавыходной последовательности

. (5.47)

Сравнение (5.47) с (5.42) позволяет записать (5.43). ■

Из выражения (5.43) становится корректным вычисление – передаточной функции–сепаратного канала ЛДДС, связывающего-й выходс-м входомв виде

, (5.48)

где –-я строка матрицы,–-й столбец матрицыи–-й элемент матрицы.

С целью дальнейших исследований воспользуемся разложением Д. К. Фаддеева резолвенты ЛДДС (5.23), (5.24). Разложение построим в силу положений следующего утверждения.

Утверждение 5.11.РезольвентаЛДДС (5.23), (5.24) может быть представлена в форме

где матричные компоненты определяются в силу рекуррентной процедуры Д. К. Фаддеева

, (5.50)

где элементы суть коэффициенты характеристического полинома

□(5.51)

Доказательство утверждения строится на последовательном умножении слева выражения (5.49) на характеристическую матрицуЛДДС (5.8), (5.9), затем на характеристический полином, записанный в форме (5.51), и приравнивании матричных коэффициентов при скалярных степеняхслева и справа. Выполнение указанных действий приводит к (5.49) с матричными коэффициентами (5.50). ■

Утверждение 5.12.Линейная двоичная динамическая система (5.23), (5.24) может быть модельно представлена рекуррентным уравнением ВВ с матричными коэффициентами, которое имеет вид

. □ (5.52)

Доказательство утверждения строится на подстановке резольвенты, записанной в форме (5.49), с характеристическим полиномом вида (5.50) в выражение (5.47), что позволяет записать

(5.53)

Если теперь к левой и правой частям (5.53) применить обратное D-преобразование, памятуя о том, что при нулевых начальных условиях в силу свойств прямогоD-преобразования выполняется соотношение

(5.54)

то становится понятным переход от (5.53) к (5.52). ■

Нетрудно видеть, что в структуре доказательств утверждений 5.11и5.12содержится доказательство следующего утверждения.

Утверждение 5.13. Если передаточная функциялинейной ДДС (5.23), (5.24) задана в форме отношения модулярных многочленов по положительным степеням переменной

. (5.55)

где исоответственно ММ степенейи, то характеристический полиномматрицы состоянияЛДДС с передаточной функцией (5.55) определится выражением

, (5.56)

где – модулярный полином по отрицательным степеням переменной, вычисляется в силу соотношения

. □ (5.57)

Теперь поставим обратную задачу – задачу конструирования представления линейной ДДС в форме (5.23), (5.24) по ее передаточной функцииотношения «вход-выход». Возможности решения поставленной задачи заложены в параграфе 5.1 структурными представлениями в виде рисунков 5.1 и 5.2 передаточных функций, а также тем обстоятельством, что элемент памяти с передаточной функциейреализует задержку на один такт двоичного кодового преобразования произвольной переменной, наблюдаемой на его входе, в переменную, наблюдаемую на его выходе. Решение поставленной задачи представим в виде алгоритма.