2.2 Вероятность случайного события

Количественной мерой возможности появления случайного события является вероятность. Наиболее широкое распространение имеют три определения вероятности события:

• классическое (комбинаторной). Легко подсчитать число событий.

• статистическое (физическое). Сложно подсчитать число событий.

• информационное. Оценивание объема информации.

2.3 Основные теоремы теории вероятностей

В задачах, использующих вероятностно-количественные характеристики, приходится по вероятности одних событий оценивать вероятность других событий. Для этого используются различные соотношения, в основе которых лежат теоремы теории вероятностей.

Теорема сложения вероятностей

Вероятность суммы несовместимых событий А₁, А₂,…,А_n равна сумме вероятностей этих событий. P

Если в единичном опыте обязательно должно произойти одно из событий А₁, А₂,…,А_n, то такая группа событий называется полной группой событий. Полная вероятность такой группы событий определяется как сумма вероятностей всех несовместимых событий, образующих полную группу, равна:

Теорема умножения вероятностей

Вероятность произведения независимых случайных событий А₁, А₂,…,А_n равна произведению вероятностей каждого события.

В случае зависимых случайных событий, когда вероятность появления одного из них зависит от появления другого события(т.е. когда условием возможного появления одного события является появления другого), используется понятие условная вероятность.

P (В I A) = Р(В) * Р (А I В)

или

Р(В I А) = P (АВ) / Р(В)

Отсюда вероятность произведения зависимых случайных событий А и В равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии осуществления первого события, т.е.

P (АВ) = Р(В) * Р (А I В)

Если рассматривается цепочка зависимых событий, появляющихся друг за другом, то формула произведения таких событий А₁, А₂,…,А_n имеет вид

P (А₁А₂… А_n-1 А_n) = P (А₁) * P (А₂ I А₁) * P (А₃ I А₁ А₂)… * P (А_n I А₁ А_2… А_n-1)

Где P (А₁) - вероятность появления первого события А₁ в цепочке А₁, А₂,…,А_n;

P(А₂ I А₁) - вероятность события А₁ при условии, что имело место событие А₂;

P(А_n I А₁ А_2… А_n-1) - вероятность события А_n при условии, что имели место события А₁, А₂,…,А_n.

Формула полной вероятности и формула Байеса

Если события А₁, А₂,…,А_n образуют полную группу событий, то вероятность события В может быть найдена по формуле полной вероятности как сумма произведений безусловных вероятностей указанных событий на условные вероятности события В.

P (B) =

В тех случая, когда требуется определить вероятность события А из цепочки событий А₁, А₂,…,А_n.

При условии, что произошло событие В, используется формула Байеса:

Эти формулы показывают, как изменится оценка вероятности какого-либо случайного события при появлении дополнительных сведений о нём или связанным с ним другом событии.

2.4 Случайные величины и случайные функции

Если случайные события количественно характеризуются какой-либо величиной, наблюдаемой при его появлении (например, количеством точек на выпавшей случайным разом грани игральной кости), которая может приобретать за время наблюдения различные случайные значения, то такую величину называют случайной величиной. Если кратно, то случайная величина – это величина, которую мы ставим в соответствие случайному событию. Случайные величины, значения которых могут приобретать лишь отдельные (целые) значения (как в приведенном выше примере), называются дискретными (прерывными).

В случае, если случайная величина может принимать любые значения, ее называют непрерывной.

Если случайная величина является функцией аргумента, меняющегося случайным образом, она нарывается случайной функцией. При заданном значении аргумента случайная функция может иметь различные значения с различной вероятностью. Если аргументом является время, то случайная величина называется случайным процессом.