Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
КМ и СФ.docx
Скачиваний:
28
Добавлен:
20.03.2016
Размер:
512.46 Кб
Скачать

Статистическая физика

1. Статистические закономерности и задачи статфизики.

Статистическая физика-это раздел физики, посвященный изучению свойств макроскопических масс вещества, т.е. систем, состоящих изочень большого числа частиц (молекул, атомов, электронов и т.д.), исходяиз свойств отдельных частиц исил взаимодействия между ними.

Основная задача статфизики (или просто - статистики) состоит в установлении законов поведения и расчете макро-свойств больших масс вещества на основе знания законов поведения и микро-свойств отдельных частиц.

Изучением макроскопических тел (макросистем в твердом, жидком, газообразном и плазменном состоянии) занимаются и другие разделы физики - термодинамика, механика сплошных сред, гидро-газодинамика, электродинамика. Однако при решении конкретных задач методами этих дисциплин в соответствующие уравнения всегда входят неизвестные параметры или функции, характеризующие данное тело(среду).Так для решения задач гидродинамики необходимо знать уравнение состояния жидкости или газа, их теплоемкость, коэффициент вязкости и т.п. Все эти параметры и зависимости можно, разумеется, определить экспериментально, поэтому методы этих дисциплин называются феноменологическими.

Статистическая физика позволяет в принципе вычислить все эти величины, если известны силы взаимодействия между отдельными частицами (микроскопическая структура данной среды), поэтому статфизику называют микроскопической теорией.

Цель лекций по статфизике состоит в том, чтобы в сжатой и доступной форме изложить основные понятия, идеи и методы расчета физико­химических свойств различных сред и материалов, а также процессов, применяемых в современной технологии на основе “элементарных” данных о веществе (точнее данных об атомных, молекулярных и др. “элементарных” частицах)

Кстати, именно это свойство это слово употребил профессор Йельского университета (США) Дж. Гиббс, опубликовав в 1901 году книгу “Элементарные принципы статистической механики”, где изложил метод предсказания макросвойств на основе объединения свойств отдельных частиц путем некоторого осреднения. Этот метод Гиббса занимает центральное место в изложении курса и относится к числу наиболее универсальных методов физики. Следует предупредить, что несмотря на употребленное Дж. Гиббсом название, никому другому его методы элементарными не кажутся и требуют использования довольно громоздкого математического аппарата и сложных расчетов. Необходимо также овладение основными понятиями и методами теории вероятности, а также теории информации и математической статистики. Для того,чтобы понять существо статистических методов рассмотрим в качестве простейшего примера газ, состоящий из очень большого числа N молекул, поведение которых описывается законами механики Ньютона:

гдеi= 1,2,3,…N, и масса и скорость i-ой молекулы, a Fik - сила взаимодействия этой молекулы с остальными k-ими молекулами. Интегрирование этой системы дифференциальных уравнений с целью нахождения скоростей икоординат движения частиц во времени требует, во-первых, знания сил взаимодействия между молекулами как функции расстояния между ними- задача далеко не полностью решенная в атомной физике, и, во-вторых, знания 6N начальных условий - начальных координат и проекций начальных скоростейдля каждой молекулы. Однако даже в том, заведомо нереальном случае обладания этой исходной информацией, интегрирование системы и отыскание траекторий для каждой частицы оказалось бы практически невыполнимо ввиду огромного числа уравнений даже для столь малой массы вещества, как содержится, например, в 1 см3 объема газа, вмещающего 2,7*1019 молекул при нормальных условиях (t = 0° С, р = 1 атм) Но даже если удалось преодолеть и эти трудности, процедура интегрирования все равно была бы напрасной тратой времени - ведь знание траекторий и характеристик движения отдельных молекул не дает никакой информации относительно свойств газа в целом. Так даже полная кинетическая энергия идеального газа (Fik =0) из-за соударений молекул друг с другом оказалась быслучайной функциейвремени

E(t) =

Тем не менее, такойдетерминистический подход к описанию поведения окружающего нас мира,как некоегограндиозного часового механизма, неким “демоном”,однаждызаведенного в прошлом и однозначно предопределяющем будущее, признавалсяфранцузским физиком и математиком Лапласом единственно верным еще в начале XIX в. Несколько позже другой французский математик Анри Пуанкаре исследуя решениядифференциальных уравнений обнаружил значительные, если не сказать катастрофические расхождения траекторий при незначительных изменениях начальных условий или их задании пусть с большой, но конечной точностью, определяемой случайными погрешностями измерений. Здесь, однако, выявляется новое обстоятельство - в системах, состоящих из большого числа частиц (т.е. в системах с большим числом уравнений) возникают новые так называемые статистические (или вероятностные) закономерности в поведении таких систем, которых не было в системах с малым числом частиц. Это поведение в широких пределах не зависит от конкретных начальных условий, - т.е. от точных значений начальных координат и скоростей частиц. Важнейшие проявления этой зависимости - известный из опыта факт, что система, изолированная от внешних воздействий, с течением времени приходит в равновесное состояние, свойства которой определяются только такими общими характеристиками начального состояния, как число частиц, их суммарная энергия и т.п.(т.н. термодинамическое равновесие).

В теории, описывающей статистические закономерности, характерно вычисление не точных значений различных физических величин для макроскопических систем, а средних значений этих величин. Так длярассматриваемого выше примера выделим некоторый объем газа, содержащего достаточно большое число молекул. Точное их количество в этом объеме будет меняться с течением времени из-за их движения. В равновесном состоянии изменение числа молекул в объеме будет носить характер беспорядочных (случайных) колебаний – флуктуаций- относительно некоторого среднего значения, также как и изменение их суммарной энергии. При большом числе частиц в объеме эти колебания будут малы по сравнению со средними значением и по частицам и по энергиям, так что для характеристики макроскопического состояния достаточно знать именно эти средние значения, например по времени:

Определение этих средних значений является важнейшей задачей статистической физики. Для ее решения необходимо отыскать простые и экономичные способы оценки среднего (усреднение).

Другой важнейшей задачей является отыскание распределения отклонений от этого среднего значения и методов их описания, поскольку небезразлично, распределена ли заданная физическая величина поровну между всеми молекулами или сосредоточена в одной.

Суть этой задачи проиллюстрируем на следующей идеализированной ситуации - допустим, что мы можем очень быстро и очень точно измерить энергию каждой из молекул газа. Результаты такого измерения можно изобразить в виде графика - т.н. гистограммы энергий (рис.1), который строится следующим образом:

  • по оси ординат откладывают относительное число молекул.

  • ось абсцисс, на которой откладывается энергия Е, разбивается наравновеликие отрезки величиной Е0

Рис. 1 Гистограмма энергий

Выбор величины Е0 вообще-то произволен и диктуется лишь соображениями удобства, хотя ясно, что лучше выбирать ее достаточно малой, так, чтобы все энергии молекул в интервале (lЕ0 ;(l+1)Е0) можно было бы считать одинаковыми и равными Е1 l*Е0

Далее, находим относительное число молекул, имеющих энергию в интервале от IЕ0 до (l+1)Е0.

Обозначая его n(l), введем определение,

где N(l,l+1) – число молекул с энергиями в интересующем нас интервале от lЕ0 до (l+1)Е0 , N-полное число молекул.

Функция n(I) = f(Е) и будет функцией распределения молекул по энергиям или для краткости распределением по энергиям.

Повторяя такой эксперимент с замером энергий каждой молекулы неоднократно в разные моменты времени, но в одно и том же равновесном состоянии газа, мы будем получать гистограммы, лишь немного отличающиеся друг от друга и в целом близкие к некоторой усредненной гистограмме соответствующей тому состоянию, в котором газ находится наибольшее время, так, что состояния с большими отклонениями от неебудут встречаться крайне редко из-за краткосрочного времени нахождения газа в них. Зная усредненную гистограмму (функцию распределения) можнонайтисреднюю энергию по ансамблю совокупности частиц.

Вообще, вместо того, чтобы производить повторные измерения над одной и той же системой, можно было взять N одинаковых систем (т.е. систем, находящихся в одном и том же равновесном состоянии), и осуществить однократное измерение интересующих нас величин энергии у все этих систем. Такой набор одинаковых систем, находящихся в одинаковом состоянии, называется статистическим ансамблем. Такое усредненное значение энергии, в отличие от ранее определенной средней энергии <E(t)> по времени, соответствует среднему значению энергии по ансамблю молекул, называемому генеральной совокупностью, если в расчет принимаются все без исключения молекулы и их энергии, или выборкой (выборочной совокупностью), если часть из них заменена некоторыми отдельными представителями.

В так называемой эргодической гипотезе принимается, что независимо от способа усреднения (по времени или по ансамблю) результаты по средним значениям будут одинаковы.

Все вышесказанное относится к распределению частиц по энергиям, но и по другим физическим величинам, например по координатам, по импульсам, по моментам импульсов и др.

К сожалению, провести такие измерения в детерминистическом смысле мы, подобно демону Лапласа, не можем, да и сами измерения не могут быть абсолютно точными и имели бы погрешности. Поэтому для получения необходимых результатов в условиях некоторой неопределенности мы должны принять некоторые разумные предположения о них (правдоподобные статистические гипотезы). Эта задача разумных предположений (правдоподобных статистических гипотез) в большой степени является задачей индуктивной логики, которую мы рассмотрим в следующих лекциях с позиции теории вероятности.

2.Вероятностно - информационная трактовка результатов

измерений

Прежде всего, заметим, что в условиях некоторой неопределенности результатов измерений числа частиц N(l,l+1) по каждому опыту (каждый опыт дает разброс(l,l+1) в некоторых пределах отклонениях), а также наличия погрешностей в измерениях соответствующих энергий(каждое измерение дает отклонение), можно говоритьо введенном

(l,l+1)относительном числе молекул(в гистограмме энергий): как

об относительной частоте появления результатаn(l), а предел

к которому стремится относительная частота при неограниченном увеличении числа частиц и числа опытов над ними, рассматривать (по статистическому определению) как вероятностьпоявления результата измерений( т.е. появление частицы с соответствующей энергией)

Поскольку в сумме

т.е. сумме вероятностей всех возможных результатов измерений равна 1. Из этого свойства вероятности следует, что вероятность получить результат либоравна

это утверждение известно как теорема о сложении вероятностейдля противоположных (несовместимых) событий.

Если система характеризуется не только значениями кинетической энергии, частиц но еще какой либо величиной, например, их потенциальной энергией, определяемой их положением(координатой) в пространствеY, причем с учетом точности измерений обе величины могут принимать лишь дискретные значения (например, с точностью до Джоуля, и до миллиметра), а вероятности появления этих значении равны и ине зависят друг от друга, товероятность одновременного появленияэтих значений у одной частицы можно найти, вычислив число частиц с энергией из которых с координатойбудет лишьчастиц. То есть искомая вероятность одновременного появления независимых значенийбудет равна утверждение, известное, как теорема об умножении вероятностей.

Классическое комбинаторное определение вероятности, связано с понятием элементарных событий, благоприятствующих данному событию А, за вероятность появления которого принимается отношение

где m - число благоприятных событий, n - общее число элементарных событий.

Например, событию, состоящему в выпадении четного числа очков при бросании игральной кости (кубика с пронумерованными 6-ю гранями), благоприятствует три элементарных события выпадения 2, 4, 6. В течение более употребительно.

Физическое определение вероятности, связанное с понятием относительной частоты события, вычисляемой по формуле:

где m - число появления события А в серии из n опытов (например, выпадения орла при многократном бросании монеты).

Информационное определение вероятности связано с введение числа , описывающего уровень наших знаний А относительно истинности событияm при условии истинности события

Из всех определений вероятности следует, что:

0 < Р(А)1 Глава 2 Элементарные сведения из теории вероятности.

2.1 Случайные события Теория вероятностей - раздел математики, занимающийся изучением закономерностей случайных событий и случайных величин при их массовом проявлении.

P(A)=определяет либо отношение числа благоприятных событий к общему числу событий, либо относительную частоту событийn в серии m. Случайное событие - это событие, которое в результате опыта (испытания) может произойти или не произойти. События называются независимыми, если появление одного события не зависит от появления другого. Если события не могут наблюдаться в одном и том же опыте одновременно, то это несовместимые случайные события.

Суммой случайных событий А1, А2,…,Аn называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Произведение случайных событий А1, А2,…,Аn называется событие, состоящее в одновременном появлении всех этих событий.