vysshaya_matematika_1001

Из этой системы обратным ходом метода Гаусса находим ре-

шение

x3 1 5x4 x5,

любые значения. При этом каждому упорядоченному набору чисел x1,x4,x5 соответствует одно решение, называемое частным.

Частное решение, когда все свободные неизвестные полагаются равными нулю, называется базисным решением.

Для рассматриваемых базисных неизвестных x2,x3 и свобод-

ных неизвестных x1,x4,x5 базисное решение имеет вид

x1 0; x2 2; x3 1; x4 0; x5 0.

Всего в данном примере система имеет 9 базисных решений, соответствующих выбору базисных и свободных неизвестных согласно выбору базисного минора. Эти базисные решения можно найти для оставшихся восьми пар базисных неизвестных аналогично тому, как это сделано выше для базисных неизвестных x2,x3 , а можно

найти из уже полученного общего решения, полагая соответствующие свободные неизвестные равными нулю.

Пусть, например, в качестве базисных неизвестных выбраны x4,x5 . Тогда, полагая свободные неизвестные x1 0; x2 0; x3 0, из найденного ранее общего решения

2.ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

2.1.Векторы на плоскости и в пространстве

Определение. Вектором называется направленный отрезок AB с начальной точкой A и конечной точкой B.

Обозначают вектор через AB или AB, либо одной буквой a или a . Геометрически вектор изображают в виде стрелки (рис. 2.1).

длина которого равна нулю (в силу этого он не имеет определенного направления) называется нулевым или нуль-вектором.

Определение. Вектор e , длина которого равна единице

( e 1), называется единичным вектором.

Определение. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Определение. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Определение. Два вектора считаются равными, если:

1)модули векторов равны,

2)векторы коллинеарны,

3)векторы одинаково направлены.

Из определения равенства векторов вытекает, что векторы равны, если их можно совместить друг с другом параллельным пере-

носом. Такие векторы называют свободными, и для них безразлично, где поместить начало вектора.

Определение. Ортом данного вектора называется вектор единичной длины, совпадающий по направлению с данным вектором. Орт вектора a можно записать в виде

2.2. Линейные операции над векторами

Определение. Линейными операциями или действиями над векторами называются действия сложения векторов и умножения вектора на число (скаляр).

Определение. Произведением вектора a на число назы-

вается вектор b a , имеющий длину b a , направление ко-

торого совпадает с направлением вектора a , если 0, и противоположно ему, если 0.

Очевидно, что векторы a и b a коллинеарны.

Определение. Суммой двух векторов a и b называется

вектор c a b , определяемый по правилу треугольника или параллелограмма (рис.2.2).

Разностью двух векторов a и b называется вектор c a ( b).

r b

r b

Рис. 2.2. Сложение двух векторов a и b

Линейные операции над векторами подчиняются следующим правилам: для любых векторов a,b,c и любых чисел , выполняются условия:

1)a b b a ;

2)(a b) c a (b c);

3)a 0 a;

4)для любого вектора a существует такой вектор a , на-

зываемый противоположным, что a ( a) 0;

53

5)(a b) a b ;

6)( )a a a;

7)( a) ( )a ;

8)1 a a .

2.3.Скалярное произведение векторов

Определение. Углом между векторами a и b называется угол между векторами, имеющими общее начало и равными векторам

пространстве не указывается, угол рассматривается по абсолютной величине.

Рис. 2.3. Угол между векторами a и b

Определение. Скалярным произведением векторов a и b

называется число, равное произведению модулей векторов на косинус угла между векторами.

Обозначается скалярное произведение одним из следующих

Скалярное произведение векторов обладает следующими

свойствами:

1)(a,b) (b,a);

2)линейность скалярного произведения по каждому из со-

множителей: для любых векторов a,b,c и любых чисел , спра-

ведливы равенства:

а) ( a b,c) (a,c) (b,c); б) (a, b c) (a,b) (a,c).

Определение. Векторы a и b называются ортогональными,

если их скалярное произведение равно нулю.

Для векторов на плоскости и в пространстве понятие ортогональности векторов эквивалентно понятию перпендикулярности векторов.

Очевидно, что два ненулевых вектора перпендикулярны то-

гда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: a b (a,b) 0.

Действительно, из определения скалярного произведения для векторов a и b вытекает, что

55

Рис. 2.4 Проекция вектора a на ось вектора b

2.4. Векторное произведение векторов

Определение. Упорядоченная тройка векторов a,b,c на-

зывается правоориентированной или правой тройкой, если из конца

Рис. 2.5 Ориентированные тройки векторов

56

Из определения вытекают свойства ориентированной тройки векторов:

1) круговая перестановка векторов сохраняет ориентацию тройки: тройки a,b,c ; c,a,b ; b,c,a имеют одинаковую ориента-

цию (или все правые или все левые); 2) перестановка любой пары векторов в ориентированной

тройке a,b,c или изменение знака у одного из векторов меняет ориентацию.

Определение. Векторным произведением вектора a на

вектор b называется вектор c , удовлетворяющий условиям:

Векторное произведение a на b обозначается через [a,b]

или a b . Векторное произведение векторов обладает следующими

свойствами:

1)[a,b] [b,a];

2)линейность векторного произведения по каждому из со-

множителей: для любых векторов a,b,c и любых чисел , спра-

ведливы равенства:

а) [ a b,c] [a,c] [b,c]; б) [a, b c] [a,b] [a,c].

Для векторов на плоскости и в пространстве понятие коллинеарности векторов эквивалентно понятию параллельности векторов (угол между векторами равен нулю или ).

Поэтому два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда модуль их векторного произведения равен нулю (векторное произведение равно нуль-вектору):

Действительно, из определения векторного произведения

для векторов a и b вытекает, что

b коллинеарны.

Заметим, что нулевой вектор можно считать коллинеарным к любому вектору. Выясним геометрический смысл векторного произведения.

Из определения векторного произведения [a,b] и формулы

т.е. модуль векторного произведения векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторо-

нах (рис. 2.6).

a b

a

Рис. 2.6. Геометрический смысл векторного произведения векторов

58

2.5. Смешанное произведение векторов

Определение. Смешанным произведением трех векторов

a,b,c называется число

(a,b,c) [a b] c .

Смешанное произведение можно получить, перемножив сначала векторно вектор a на вектор b и результат скалярно умножив

на вектор c . Поэтому смешанное произведение называют векторноскалярным.

Смешанное произведение векторов обладает следующими

свойствами:

1) в смешанном произведении можно производить круговую

перестановку векторов:

(a,b,c) (c,a,b) (b,c,a),

т.е. каждый вектор, входящий в смешанное произведение, можно

считать сомножителем в скалярном произведении:

[a,b] c [c,a] b [b,c] a ;

2) линейность смешанного произведения по каждому из со-

множителей: для любых векторов a,b,c ; a1,a2 ; b1,b2 ; c1,c2 и любых чисел , справедливы равенства:

а) ( a1 a2,b,c) (a1,b,c) (a2,b,c);

б) (a, b1 b2,c) (a,b1,c) (a,b2,c);

в) (a,b, c1 c2) (a,b,c1) (a,b,c2) .

Выясним геометрический смысл смешанного произведения

(рис. 2.7).

Но из геометрического смысла векторного произведения [a,b] следует, что его модуль численно равен площади S параллело-

грамма, построенного на векторах a и b как на сторонах:

59

Если же 2 , то

(a,b,c) V .

Во всех случаях

(a,b,c) V ,

откуда и следует геометрический смысл смешанного произведения: модуль смешанного произведения (a,b,c) равен объему параллеле-

пипеда, построенного на векторах a,b,c как на ребрах.

60