vysshaya_matematika_1001

Условие перпендикулярности плоскостей совпадает с услови-

ем перпедикулярности нормальных векторов этих плоскостей:

A1A2 B1B2 C1C2 0,

а условием параллельности плоскостей является условие параллель-

ности их нормальных векторов, что выражаетcя пропорциональностью их соответствующих координат:

A1 B1 C1 .

A2 B2 C2

3.5. Прямая в пространстве

Параметрические уравнения прямой

Положение прямой в пространстве можно определить следующими данными:

1)точкой M0(x0,y0,z0), через которую проходит прямая,

называемой начальной точкой;

2)вектором s m,n, p , параллельным прямой, называе-

мым направляющим вектором прямой.

91

Составим сначала уравнение прямой в векторной форме.

Пусть даны начальный вектор r0 OM0 и направляющий вектор прямой s (рис. 3.11).

z

s m,n, p mi nj pk

и подставим в уравнение (3.5.1):

xi yj zk x0i y0 j z0k t(mi nj pk),

или

92

xi yj zk (x0 mt)i (y0 nt)j (z0 pt)k .

Приравнивая координаты при ортах i, j,k , получим пара-

метрические уравнения прямой в пространстве

прямой.

ПРИМЕР.

Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M0(2;3; 1) параллельно вектору s 5;4;7 .

Решение.

Координаты начальной точки x0 2, y0 3, z0 1, направляющие коэффициенты искомой прямой m 5, n 4, p 7 . Параметрические уравнения прямой имеют вид:

x 2 5t,

y 3 4t,z 1 7t.

Канонические уравнения прямой

Преобразуем параметрические уравнения прямой (3.5.2) к

виду

x x0 t,m

y y0 t,

n

z z0 t,

p

откуда следуют канонические уравнения прямой

93

проходящей через точку M0(x0,y0,z0) и имеющей направляющий вектор s m,n, p .

Заметим, что уравнение (3.5.3) может быть получено и из условия коллинеарности векторов M0M x x0,y y0,z z0 и s m,n, p , согласно которому соответствующие координаты коллинеарных векторов пропорциональны.

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

3.12). Эти векторы коллинеарны (лежат на одной прямой), поэтому их соответствующие координаты пропорциональны:

Полученное уравнение называется уравнением прямой в про-

странстве, проходящей через две данные точки.

94

z

M2(x2, y2,z2)

M(x,y,z)

M1(x1,y1,z1)

x

Рис. 3.12. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две данные точки

Заметим, что данные уравнения можно рассматривать также и как канонические уравнения прямой с начальной точкой

s M1M2 x2 x1,y2 y1,z2 z1 .

3.6. Угол между двумя прямыми в пространстве

Пусть две прямые заданы в пространстве параметрическими или каноническими уравнениями с направляющими векторами

s1 m1,n1, p1 и s2 m2,n2, p2 .

Очевидно, угол между прямыми будет равен углу между

Условие перпендикулярности прямых совпадает с условием перпедикулярности направляющих векторов этих прямых

m1m2 n1n2 p1 p2 0,

95

а условием параллельности прямых является условие параллельно-

сти их направляющих векторов, что выражаетcя пропорциональностью их соответствующих координат:

m1 n1 p1 . m2 n2 p2

3.7. Угол между прямой в пространстве и плоскостью

Если через данную прямую провести плоскость, перпендикулярную к данной плоскости, то пересечение плоскостей даст прямую, которая называется проекцией данной прямой на данную плоскость (рис. 3.13). Угол между прямой и ее проекцией на данную плос-

кость называется углом между прямой и плоскостью. Всегда можно считать 0 2.

Если N – нормальный вектор плоскости, а s – направляющий вектор прямой (см. рис. 3.13), то

Модуль взят потому, что угол между векторами N и s может оказаться тупым.

ur

N

s

Рис. 3.13. Угол между прямой и плоскостью

Пусть заданы общее уравнение плоскости

и канонические уравнения прямой

96

A2 B2 C2 m2 n2 p2

Если плоскость и прямая параллельны, то sin 0, и усло-

вие параллельности прямой и плоскости выражается равенством

Am Bn Cp 0.

Если Ns, то прямая перпендикулярна к плоскости, и условия

перпендикулярности прямой и плоскости выражаются равенствами

A B C . m n p

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

Задание 1. Решение систем линейных уравнений (m=n)

Решить систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными: 1) по формулам Крамера; 2) методом обратной матрицы; 3) методом Гаусса.

1.a(1;2;3), b( 1;3;2), c(7; 3;5), d(6;10;17).

2.a(4;7;8), b(9;1;3), c(2; 4;1), d(1; 13; 13).

3.a(8;2;3), b(4;6;10), c(3; 2;1), d(7;4;11).

4.a(10;3;1), b(1;4;2), c(3;9;2), d(19;30;7).

5.a(2;4;1), b(1;3;6), c(5;3;1), d(24;20;6).

6.a(1;7;3), b(3;4;2), c(4;8;5), d(7;32;14).

7.a(1; 2;3), b(4;7;2), c(6;4;2), d(14;18;6) .

8.a(1;4;3), b(6;8;5), c(3;1;4), d(21;18;33).

9.a(2;7;3), b(3;1;8), c(2; 7;4), d(16;14;27).

10.a(7;2;1), b(4;3;5), c(3;4; 2), d(2; 5; 13) .

Задание 4. Аналитическая геометрия и векторная алгебра на плоскости

Даны вершины A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) треугольника.

Найти: 1) длину стороны BC; 2) площадь треугольника; 3) уравнение стороны BC; 4) уравнение высоты, проведенной из вершины A; 5) длину высоты, проведенной из вершины A; 6) уравнение биссектрисы внутреннего угла B; 7) угол B. Сделать чертеж.

1.A1(3;1;4), A2( 1;6;1), A3( 1;1;6), A4 (0;4; 1).

2.A1(3;3;9), A2(6;9;1), A3(1;7;3), A4(8;5;8).

3.A1(3;5;4), A2(5;8;3), A3(1;9;9), A4(6;4;8).

4.A1(2;4;3), A27;6;3), A3(4;9;3), A4(3;6;7) .

5.A1(9;5;5), A2( 3;7;1), A3(5;7;8), A4 (6;9;2).

6.A1(0;7;1), A2(4;1;5), A3(4;6;3), A4(3;9;8).

7.A1(5;5;4), A2(3;8;4), A3(3;5;10), A4 (5;8;2).

8.A1(6;1;1), A2(4;6;6), A3(4;2;0), A4 (1;2;6).

9.A1(7;5;3), A2(9;4;4), A3(4;5;7), A4(7;9;6).

10.A1(6;6;2), A2(5;4;7), A3(2;4;7), A4(7;3;0).

Рекомендуемая литература

1. Бугров Я.С. Высшая математика. В 3 т.: учеб. для вузов. Т.1: Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Я.С. Бугров, С. М. Никольский; под. ред. В.А. Садовничего. 5-е изд.,

стер. – М.: Дрофа, 2003. – 284 с.

2. Привалов И.И. Аналитическая геометрия: учебник / И.И. Привалов. 35-е изд., стер. – СПб.: Лань, 2005. – 299 с.

100