Связанность графов

Маршрутом графа G называется последовательность реберS=(u₁,u₂,…u_n), в которой каждые два соседних ребра имеют общую вершину, т.е.u₁=(e₁,e₂); u₂=(e₂,e₃); …u_n=(e_n,e_n+1);Не исключено, что одно и то же ребро может встречаться несколько раз на одном маршруте.

Две вершины e_i иe_jназываютсясвязанными, если существует маршрут изe_i вe_j.

Компонентой связностиграфа называется подмножество его вершин с инцидентными им ребрами, такое, что любая вершина связана с любой другой вершиной маршрута. Например, из графа на рисунке 1.10. можно выделить следующие две компоненты связанности, показанные сплошной линией.

Рис 1.10. Компоненты связанности графа

Простой цепью или простым путемназывается маршрут, в котором ни одно ребро не повторяется дважды.Элементарной цепью или элементарным путемназывается маршрут, в котором ни одна вершина не повторяется дважды.Цикломв графе называется маршрут, у которогоначальная вершинасовпадает сконечной. Например, следующий граф имеет циклS=(1,2,3,5,4,1). Рис.1.11.

4

Рис 1.11. Цикл в графе

Цикл, проходящий по всем ребрам графа только один раз, называется Эйлеровымциклом. В теории графов доказывается теорема, определяющая, содержит ли граф эйлеров цикл. Оказывается, конечный граф содержит эйлеров цикл тогда и только тогда, когда он связан, и все его локальные степени вершин четные. Важной прикладной задачей теории графов является задача поиска в графе цикла, проходящего через каждую вершину только один раз. Такие циклы называютсягамильтоновыми циклами.

Весьма важным является связанный граф, не имеющий циклов, он называется деревом. В дереве любые две вершины связаны единственным путем. Вершина называетсяконцевой, если ей инцидентноне более одного ребра; одна из концевых вершин может быть выбрана в качестве корня.

Задание графа

Граф может задаваться в виде рисунка, аналитически, в виде матрицы. Выше приводилось задание графа в виде рисунка. Аналитическое задание состоит в задании элементов множества вершин и E={e₁,e₂,…e_n}и множества реберU={u₁,u₂,…u_m}.

Для выполнения различного рода формальных преобразований над графами удобно использовать их матричные задания. Матрица Aразмерностьюnn, называетсяматрицей смежности графаG(E,U), если ее элементы образованы по правилу: элемент матрицыa_ij=m, если вершиныe_i иe_j соединеныmребрами, иa_ij=0, если эти вершины не связаны ребрами. Матрица смежности имеет число строк и столбцов равное количеству вершин графа.

Матрица Aразмерностьюnm, называетсяматрицей инциндентности графаG(E,U), если ее элементы образованы по правилу: элемент матрицыb_ij=1, если вершинаe_i инцидентна ребруu_j, иb_ij=0в противном случае. Так как каждое ребро инцидентно двум вершинам, то в каждой строке этой матрицы ровно два ненулевых элемента.

Построим матрицы смежности и инцидентности для графа, изображенного на рисунке 1.12.

Рис 1.12.

Матрицы смежности будет состоять из пяти строк и пяти столбцов.

	1	2	3	4	5
1	0	1	0	1	0
2	1	0	1	1	5
3	0	1	0	0	1
4	1	1	0	0	1
5	0	0	1	1	0

Матрица инцидентности будет состоять из пяти строк и шести столбцов

	a	b	c	d	e	f
1	1	1	0	0	0	0
2	1	0	1	0	1	0
3	0	0	1	1	0	0
4	0	1	0	0	1	1
5	0	0	0	1	0	1