1,1

1-Выбираем самый близкий по модулю к 1 элемент 1 столбца и строку с этим элементом ставим на первое место

2-При помощи элементарных преобразований типа 1 добиваемся, чтобы все элементы 1 столбца, начиная со 2 элемента обратились в 0

3-Мысленно вычеркнуть 1 строку и 1 столбец и к полученной матрицы меньшего размера применить шаг 1 данного алгоритма

 ранг матрицы – это максимальное количество линейно независимых строк.

2

Итак, метод Гаусса (или, иначе, метод последовательного исключения неизвестных) состоит в следующем:

1. Путем элементарных преобразований систему уравнений приводят к эквивалентной ей системе с верхне-треугольной матрицей. Эти действия называют прямым ходом. 

2. Из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход).

3. При этом все преобразования проводятся над так называемой расширенной матрицей системы, которую и приводят к верхнее - треугольному виду в прямом ходе метода.

система имеет бесчисленное множество решений, так как ранг матрицы меньше числа неизвестных.

что ранги основной и расширенной матриц равны 4, причем ранг совпадает с числом неизвестных, следовательно, система имеет единственное решение: 

1,2

Обратным ходом метода Гаусса найдем корни системы. Из последнего уравнения найдем корень х3: -5/2x3 = 3/2, x3 = (3/2):(-5/2) = 3/2*(-2/5) = -3/5. Корень x3 = -3/5 найден. Подставим его в верхнее (второе) уравнение системы (-2x2-3x3 = 1): -2x2-3(-3/5) = 1, -2x2+9/5 = 1, -2x2 = 1-9/5, -2x2 = -4/5, x2 = (-4/5):(-2) = (-4/5)*(-1/2) = 2/5. Корень x2 = 2/5 найден. Подставим его и корень х3 в верхнее (первое) уравнение системы (x1-x2+x3 = 0):

x1-2/5+(-3/5) = 0, x1-5/5 = 0, x1 = 5/5 = 1. Проверка: т. е. т. е. и т. д.

1,3

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

Необходимость

Пусть система совместна. Тогда существуют числа такие, что. Следовательно, столбецявляется линейной комбинацией столбцовматрицы. Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что.

Достаточность

Пусть . Возьмем в матрицекакой-нибудь базисный минор. Так как, то он же и будет базисным минором и матрицы. Тогда, согласно теореме о базисномминоре, последний столбец матрицы будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы. Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы.

1,4

 При транспонировании квадратной матрицы её определитель не меняется:   

Общий множитель в строке можно выносить за знак определителя.

 Если две строки определителя поменять местами, то определитель поменяет знак.

Определитель с двумя равными строками равен нулю.

Определитель с двумя пропорциональными строками равен нулю.

Определитель, содержащий нулевую строку, равен нулю.

Определитель не изменится, если к какой-то его строке прибавить другую строку, умноженную на некоторое число.

Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.

Определитель – это некоторое число поставленное в соответствие квадратной матрице .

Для неквадратных матриц понятие определителя не вводится.

Для обозначения определителя квадратной матрицы A будем пользоваться обозначением или.

2.1Свойства операций над векторами.

Итак, мы определили операцию сложения векторов и операцию умножения вектора на число. При этом для любых векторов и произвольных действительных чисел можно при помощи геометрических построений обосновать следующие свойства операций над векторами. Некоторые из них очевидны.

1. Свойство коммутативности .

2. Свойство ассоциативности сложения .

3. Существует нейтральный элемент по сложению, которым является нулевой вектор , и . Это свойство очевидно.

4. Для любого ненулевого вектора существует противоположный вектор и верно равенство . Это свойство очевидно без иллюстрации.

5. Сочетательное свойство умножения . К примеру, растяжение вектора в 6 раз можно произвести, если сначала его растянуть вдвое и полученный вектор растянуть еще втрое. Аналогичного результата можно добиться, например, сжав вектор вдвое, а полученный вектор растянуть в 12 раз.

6. Первое распределительное свойство . Это свойство достаточно очевидно.

7. Второе распределительное свойство . Это свойство справедливо в силу подобия треугольников, изображенных ниже.

8. Нейтральным числом по умножению является единица, то есть, . При умножении вектора на единицу с ним не производится никаких геометрических преобразований.

В трёхмерном пространстве понятие «длина вектора» понимается интуитивно как расстояние между его началом и концом. Наиболее важными свойствами «длины вектора» являются следующие:

1. Длина нуль-вектора, , равна нулю; длина любого другого вектора положительна.

2. Умножение вектора на положительное число во столько же раз увеличивает длину вектора.

3. Действует неравенство треугольника.

Обобщение этих свойств на более абстрактные векторные пространства носит название нормы. Векторное пространство, в котором определена норма, называется нормированным пространством.

2,2 Линейная зависимость и независимость векторов.

     Пусть – векторы из некоторого линейного пространства.     Определение: Линейной комбинацией векторов , называется выражение вида: , где – действительные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации.      Линейная комбинация дает в результате сложения векторов, умноженных на число , также вектор.      Примеры:          1. 2 (2,5,1) – 4 (1,3,0) + (0,0,1) = (0,-2,3);          2. 3 (5,4) – 5 (-1,2) +2 (-10,-1) = (0,0).     Последний пример показывает, что в некоторых случаях можно в результате линейной комбинации векторов получить нулевой вектор при ненулевых коэффициентах (при всех нулевых коэффициентах мы всегда получим ).      Определение. Система векторов называется линейно зависимой, если из этих векторов можно составить нулевую линейную комбинацию, когда хотя бы один из коэффициентов ее отличен от нуля. Так, в предыдущем примере векторы (5,4), (-1,2), (-10,-1) линейно зависимы.      Если система векторов линейно зависима, то хотя бы один вектор (при котором стоит отличный от нуля коэффициент) можно выразить линейно через остальные.      Если , то .    И наоборот, если вектор представлен в виде линейной комбинации остальных векторов , то он в совокупности с ними дает систему линейно зависимых векторов, т.к. в комбинации коэффициент .      Определение. Система векторов называется линейно независимой, если из этих векторов невозможно составить нулевую линейную комбинацию, в которой хотя бы один из коэффициентов был бы отличен от 0. Т.е. векторы будут линейно независимы, если равенство возможно лишь при всех . Очевидно, ни один из этих векторов нельзя выразить через остальные.       Пример. Будут ли векторы линейно зависимыми?     Решение. Составим линейную комбинацию . Подставим координаты и выполним действия над векторами: λ(2,4)+β(5,1)=(0,0) => (2λ,4λ)+(5β,β)=(0,0) => (2λ+5β,4λ+β)=(0,0).       В равных векторах должны быть равны соответствующие координаты:       Решив эту систему уравнений, получаем: а это значит, что линейно независимы.       Пример. Будут ли векторы линейно зависимыми?   Решение. Составим линейную комбинацию и приравняем ее к :       Выполнив действия над векторами и приравняв координаты равных векторов, получим       Решим систему уравнений: .      В этом решении число β играет роль параметра; задавая его произвольно, будем получать значения α и γ, которые вместе с β дают то или иное решение системы. Так, при β ≠ 0 получим α ≠ 0 и γ ≠ 0, из чего следует, что векторы дают нулевую линейную комбинацию при ненулевых коэффициентах, т.е. они линейно зависимы.

Полная система векторов

это система векторов такая, что любой вектор линейного пространства может быть представлен в виде линейной комбинации этих векторов. если полная система векторов ещё и линейно независима, то она образует базис линейного пространства

2,3

Произведение длины проекции одного вектора на просто длину другого. Ну то есть, берётся один вектор, проецируется на другой, берётся длина этой проекции и умножается на длину этого другого вектора.

Скалярным произведением двух векторов  и  называется ЧИСЛО, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Таким образом, скалярный квадрат вектора  равен квадрату длины данного вектора:

Из данного равенства можно получить формулу для вычисления длины вектора:

Для произвольных векторов  и любого числа  справедливы следующие свойства:

1)  – переместительный или коммутативный закон скалярного произведения.

2)  – распределительный или дистрибутивный закон скалярного произведения. Попросту, можно раскрывать скобки.

3)  – сочетательный или ассоциативный закон скалярного произведения. Константу можно вынести из скалярного произведения.

Геометрическая интерпретация скалярного произведения это длина проекции первого вектора на единичный вектор, задающий направления второго. Если два вектора перпендикулярны, скалярное произведение равно нулю.