Общие уравнения прямой в пространстве

Линия в трехмерном пространстве определяется, вообще говоря, пересечением двух поверхностей, т.е. описывается системой двух уравнений.

Прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей и, следовательно, описывать системой двух линейных уравнений

	м н о	A1x + B1y + C1z + D1 = 0 A2x + B2y + C2z + D2 = 0

при условии, что эти плоскости непараллельны, т.е. их нормальные векторы неколлинеарны.

Расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве

• В трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz заданы две скрещивающиеся прямые a и b. Прямую a определяют параметрические уравнения прямой в пространствевида

X=-2

Y=2t+1

Z=-3t+4

 , а прямую b – канонические уравнения прямой в пространстве. Найдите расстояние между заданными скрещивающимися прямыми.

Очевидно, прямая a проходит через точку и имеет направляющий вектор. Прямая b проходит через точку, а ее направляющим вектором является вектор.

Вычислим векторное произведение векторов и:

Таким образом, нормальный вектор плоскости, проходящей через прямую b параллельно прямой a, имеет координаты.

Тогда уравнение плоскости есть уравнение плоскости, проходящей через точкуи имеющей нормальный вектор:

Нормирующий множитель для общего уравнения плоскости равен. Следовательно, нормальное уравнение этой плоскости имеет вид.

Осталось воспользоваться формулой для вычисления расстояния от точки до плоскости:

Это и есть искомое расстояние между заданными скрещивающимися прямыми.

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

Теорема. Пусть плоскость  задана общим уравнением

                          ,

а прямая L задана каноническими уравнениями

                          

или параметрическими уравнениями

                              ,   ,

в которых  – координаты нормального вектора плоскости ,  – координаты произвольной фиксированной точки прямой L,  –

координаты направляющего вектора прямой L. Тогда:

1) если , то прямая L пересекает плоскость  в точке,координаты которой  можно найти из системы уравнений

             ;           (7)

2) если  и , то прямая лежит на плоскости;

3) если  и , то прямая параллельна плоскости.

   Доказательство. Условие  говорит о том, что вектроры  и  не ортогональны, а значит прямая не параллельна плоскости и не лежит в плоскости, а значит пересекает ее в некоторой точке М. Координаты точки М удовлетворяют как уравнению плоскости, так и уравнениям прямой, т.е. системе (7). Решаем первое уравнение системы (7) относительно неизвестной t и затем, подставляя найденное значение t в остальныеуравнения системы, находим координаты искомой точки.

   Если , то это означает, что . А такое возможно лишь тогда, когда прямая лежит на плоскости или параллельна ей. Если прямая лежит на плоскости, то любая точка прямой является точкой плоскости икоординаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению плоскости. Поэтому достаточно проверить, лежит ли на плоскости точка . Если , то точка  – лежит на плоскости, а это означает, что и сама прямая лежит на плоскости.

   Если , а , то точка на прямой не лежит на плоскости, а это означает, что прямая параллельна плоскости.

Угол между прямой и плоскостью в пространстве

Угол ψ между прямой K (с направляющими коэффициентами l, m, n) и плоскостью 

Ах+By+Cz+D=0 находится по формуле:

Пример. Найти угол между прямой и плоскостью.

Решение. По условию ,, тогда.

Из уравнения плоскости имеем, что нормальный вектор . Следовательно=.