Логические выражения. Порядоклогических операций

С помощью логических операций из простых высказываний (логических переменных и констант) можно построить логические выражения, которые также называются булевскими функциями. Например, C=((AB)B)А

Чтобы избежать большого количества скобок в булевских функциях принято следующее соглашение о старшинстве операций.

Первыми выполняются операции в скобках затем операции в следующем порядке: отрицание, конъюнкция и дизъюнкция слева на право, импликация, эквиваленция.

Зависимости между логическими операциями

Операции не являются независимыми; одни из них могут быть выражены через другие. Можно доказать с помощью таблиц истинности следующие равносильности:

1. AB=AB

2. AB=(AB)(BA)=(AB)(AB)=(AB)(AB)

3. A=A закон двойного отрицания.

4. AB=BA коммутативный закон для конъюнкции

5. AB=BA коммутативный закон для дизъюнкции

6. (AB)C=A(BC) ассоциативный закон для конъюнкции

7. (AB)C=A(BC) ассоциативный закон для дизъюнкции

8. A(BC)=(AB)(AC) дистрибутивные законы

9. A (BC)=(AB)(AC)

10. AA=A закон идемпотенции для конъюнкции

11. AA=A закон идемпотенции. для дизъюнкции

12. (AB)=AB законы де Моргана

13. (AB)=AB

14. A1=A закон единицы для конъюнкции

15. A0=0 закон нуля для конъюнкции

16. A1=1 закон единицы для дизъюнкции

17. A0=A закон нуля для дизъюнкции

18. A(AA)=A законы поглощения

19. A(AA)=A

20. AA=1 закон исключения третьего

21. AA=0 закон противоречия

22. A(AB)=AB

23. A(AB)=AB

Одну и ту же зависимость между логическими переменными можно выразить различными формулами. Поэтому важно иметь возможность приводить формулы к некоторому стандартному виду. Существует несколько стандартных форм, к которым приводятся логические выражения с помощью эквивалентных преобразований (формулы 1-23).

Первая из них – дизъюнктивная нормальная форма(ДНФ), имеет вид

A1A2…An, где каждое из составляющих есть конъюнкция простых высказываний и их отрицаний, например

B=(A1A2A3)(A4A5)

Вторая – конъюнктивная нормальная форма(КНФ), имеет вид

A1A2…An, где каждое из составляющих есть дизъюнкция простых высказываний и их отрицаний, например

B=(A1A2A3)(A4A5)A6

Табличное и алгебраическое задание булевских функций

Задать булевскую функцию можно, определяя ее значения для всех наборов значений аргументов. Каждый аргумент может иметь два значения 0 и 1, следовательно, nаргументов могут принимать 2ⁿразличных наборов. Пусть, например булевская функция имеет три аргументаX₁,X₂,X₃. Общее число наборов 2³=8, зададим таблицу истинности функции, указав для каждого набора значение функции.

№	X1	X2	X3	F
1	0	0	0	0
2	0	0	1	1
3	0	1	0	0
4	0	1	1	1
5	1	0	0	0
6	1	0	1	1
7	1	1	0	0
8	1	1	1	1

Для составления алгебраической формы по результатам таблицы сделаем следующее. В комбинациях, где функция принимает значение 1, единицу заменим именем функции, а нуль именем с отрицанием, (т.е. комбинации 0 0 1 поставим в соответствие выражение X₁X₂X₃), все элементы соединим знаками дизъюнкции, для рассматриваемого примера, получим

F(X₁,X₂,X₃) = (X₁X₂X₃)(X₁X₂X₃)(X₁X₂X₃) (X₁X₂X₃)

Как нетрудно заметить, построенная функция удовлетворяет заданной таблице истинности. Функция представляет дизъюнктивную нормальную форму. Кроме того, заметим, что в каждую группу дизъюнкций входят все аргументы функции. Такая ДНФ называется совершенной, а каждая группа дизъюнкций называетсякоституентой единицы.

Аналогично, для комбинаций, где функция принимает значение нуля можно построить алгебраическую форму

F(X₁,X₂,X₃) = (X₁X₂X₃)( X₁X₂X₃)(X₁X₂X₃) (X₁X₂X₃) (2)

Которая также удовлетворяет заданной таблице истинности и представляет собой конъюнктивную нормальную форму, в данном случае совершенную. Каждая конъюнкция называется конституентой нуля.

В следующей главе будет показано, как основываясь на булевой алгебре, создаются цифровые устройства.