2.5 Розподіл потенціалів і зарядів в системі заряджених тіл

Якщо електричне поле створюється декількома зарядженими тілами, то потенціал кожного тіла визначається і зарядом цього тіла, і зарядами інших тіл, що входять в систему заряджених тіл. Нехай система складається із тіл, кожне з яких має відповідні заряди . Згідно з принципом накладання потенціал будь-якої точки поля, що створене системою заряджених тіл, можна визначити як суму потенціалів, зумовлених зарядами першого, другого і т.д. тіл. Таким чином, потенціал першого тіла

,

причому кожна складова прямо пропорціональна відповідному заряду, тобто

.

Аналогічно записавши вирази для потенціалів інших тіл, отримаємо систему лінійних рівнянь, що однозначно пов’язують значення потенціалів і зарядів:

(2.43)

Коефіцієнти залежать як від форми і розмірів заряджених тіл, так і від їхнього взаємного розташування і називаютьсяпотенціальними коефіцієнтами.

Коефіцієнт називаютьвласним потенціальним коефіцієнтом. Він дорівнює потенціалу тіла , якщо його заряд дорівнює одиниці, а всі інші тіла не заряджені ().

Взаємний потенціальний коефіцієнт дорівнює потенціалу тіла, коли заряд тіладорівнює одиниці, а всі інші тіла не заряджені.

Потенціальні коефіцієнти завжди позитивні, в зв’язку з тим, що в полі, створеному позитивним (негативним) зарядом, будь-яке внесене в нього тіло отримує також позитивний (негативний) потенціал.

Система (2.43) дозволяє безпосередньо розв’язати задачу про розподіл потенціалів в системі заряджених тіл, якщо відомі їхні заряди і потенціальні коефіцієнти.

Якщо в системі заряджених тіл задані їхні потенціали, а необхідно знайти розподіл зарядів, то систему (2.43) необхідно розв’язати відносно зарядів

(2.44)

Отримана система називається системою рівнянь з ємнісними коефіцієнтами , які визначаються через потенціальні із розв’язку системи (2.43)

,

де визначник системи (2.43)

,

а алгебраїчні доповнення отримують ізшляхом викреслювання-го рядка і-го стовпчика та помноження отриманого таким чином визначника на.

Перетворимо систему (2.44). Запишемо перше рівняння системи у вигляді:

В останньому співвідношенні заряд першого тіла виражено через різницю потенціалів між першим і другим тілами і між першим тілом і землею (перший доданок), якщо вважати потенціал землі рівним нулю. Аналогічно можна записати вирази для зарядів всіх інших тіл.

Якщо ввести позначення

, (2.45)

то систему (2.44) можна записати так:

. (2.46)

Постійні коефіцієнти , що входять в цю систему, називаютьсячастковими ємностями.

Власна часткова ємність представляє собою ємність тілавідносно землі (рис.2.23).

Взаємна часткова ємність являє собою ємність між тіламиі.

Зв’язок між коефіцієнтами і частковими ємностями визначають за (2.45).

Із рис.2.23 видно, що , тому щоіє тільки різні позначення однієї і тієї ж ємності між тіламиі.

Рисунок 2.23 Із цього випливає, що виконується рівність відповідних взаємних ємнісних коефіцієнтів

. (2.47)

Приклад 2.17

Визначити потенціальні коефіцієнти і часткові ємності двопровідної лінії з урахуванням впливу землі (рис.2.24).

Радіуси провідників , їхні заряди відповідноі, інші геометричні розміри показані на рисунку і мають такі значення:

довжина лінії

Рисунок 2.24

Розв’язування: Для розрахунку поля в даній задачі зручно використати метод дзеркальних зображень (п.2.4).

Потенціал на поверхні першого провідника від власної пари заряджених провідників знаходимо за (2.41), врахувавши, що

,

від сусідньої пари заряджених провідників

,

тому що в цьому випадку .

Якщо врахувати, що , то

. (2.48)

Аналогічно знайдемо потенціал на поверхні другого провідника

. (2.49)

Звідси знаходимо потенціальні коефіцієнти

,

,

.

Величина визначена із рис.2.24

.

Розв’язавши сумісно рівняння (2.48) і (2.49) відносно зарядів провідників, отримаємо

,

,

де

,

,

Знаючи ємнісні коефіцієнти, знаходимо часткові ємності

,

,

.