2.3. Корреляционно-регрессионный анализ показателей денежного обращения

Корреляционно-регрессионный анализ — классический метод стохастического моделирования хозяйственной деятельности. Он изучает взаимосвязи показателей хозяйственной деятельности, когда зависимость между ними не является строго функциональной и искажена влиянием посторонних, случайных факторов [8].

В качестве материала для проведения анализа были взяты некоторые статистические показатели по Российской Федерации. Данные получены с сайта Федеральной службы государственной статистики [26].

Исходные данные представлены в таблице.

Эмпирическое уравнение множественной регрессии представим в виде:

Y = b₀ + b₁X₁ + b₁X₁ + ... + b_mX_m + e

Здесь b₀, b₁, ..., b_m - оценки теоретических значений β₀, β₁, β₂, ..., β_m коэффициентов регрессии (эмпирические коэффициенты регрессии); e - оценка отклонения ε.

Статистические показатели денежного обращения по Российской Федерации

Год	Денежная база, млрд. руб.	Наличные деньги M0, млрд. руб.	Безналичные средства, млрд. руб.
	(У)	(Х1)	(Х2)
2004	4082,7	1682,9	2183,5
2005	4767,3	2246,2	4311,1
2006	5451,9	2809,5	6438,7
2007	6136,5	3372,8	8566,3
2008	6821,1	3936,1	10693,9
2009	7505,7	4499,4	12821,5
2010	8190,3	5062,7	14949,1
2011	8644,1	5938,6	18544,6
2012	9852,8	6430,1	20975,3
2013	10503,9	6985,6	24419,1
2014	11198,1	7557,9	26546,7

Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяем МНК. Определим вектор оценок коэффициентов регрессии. Согласно методу наименьших квадратов, вектор s получается из выражения:

s = (X^TX)^-1X^TY

Умножаем матрицы, (X^TX):

В матрице, (X^TX) число 11, лежащее на пересечении 1-й строки и 1-го столбца, получено как сумма произведений элементов 1-й строки матрицы X^T и 1-го столбца матрицы X.

Умножаем матрицы, (X^TY):

Находим обратную матрицу (X^TX)^-1:

10.484	-0.00782	0.00187
-0.00782	6.0E-6	-1.0E-6
0.00187	-1.0E-6	0

Вектор оценок коэффициентов регрессии равен:

Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии):

Y = 2805.81 + 0.63X₁ + 0.14X_2.

Находим матрицу парных коэффициентов корреляции R.

Число наблюдений n = 11. Число независимых переменных в модели равно 2, а число регрессоров с учетом единичного вектора равно числу неизвестных коэффициентов. С учетом признака Y, размерность матрицы становится равной 4. Матрица, независимых переменных Х имеет размерность (11 х 4).

Матрица A^TA:

11	83154.4	50521.8	150449.8
83154.4	684246877.7	428376600.81	1329488436.99
50521.8	428376600.81	271048667.54	852025881.7
150449.8	1329488436.99	852025881.7	2725302684.06

Полученная матрица имеет следующее соответствие:

∑n	∑y	∑x1	∑x2
∑y	∑y2	∑x1 y	∑x2 y
∑x1	∑yx1	∑x1 2	∑x2 x1
∑x2	∑yx2	∑x1 x2	∑x2 2

Найдем парные коэффициенты корреляции:

Признаки x и y	∑xi		∑yi		∑xiyi
Для y и x1	50521.8	4592.891	83154.4	7559.491	428376600.81	38943327.346
Для y и x2	150449.8	13677.255	83154.4	7559.491	1329488436.99	120862585.181
Для x1 и x2	150449.8	13677.255	50521.8	4592.891	852025881.7	77456898.336

Признаки x и y
Для y и x1	3546141.055	5058358.804	1883.12	2249.08
Для y и x2	60687497.559	5058358.804	7790.218	2249.08
Для x1 и x2	60687497.559	3546141.055	7790.218	1883.12

Матрица парных коэффициентов корреляции R:

-	y	x1	x2
y	1	0.997	0.997
x1	0.997	1	0.998
x2	0.997	0.998	1

Проверим значимость полученных парных коэффициентов корреляции с помощью t-критерия Стьюдента. Коэффициенты, для которых значения t-статистики по модулю больше найденного критического значения, считаются значимыми.

Рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики для r_yx1 по формуле:

где m = 1 - количество факторов в уравнении регрессии.

По таблице Стьюдента находим Tтабл:

t_крит(n-m-1;α/2) = (9;0.025) = 2.262.

Поскольку t_набл > t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически – значим.

Рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики для r_yx2 по формуле:

Поскольку t_набл > t_крит, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - значим.

Таким образом, связь между (y и x_x1 ), (y и x_x2 ) является существенной.

Наибольшее влияние на результативный признак оказывает фактор x₂ (r = 1), значит, при построении модели он войдет в регрессионное уравнение первым.

Для несмещенной оценки дисперсии проделаем следующие вычисления. Несмещенная ошибка ε = Y - Y(x) = Y - X*s (абсолютная ошибка аппроксимации) (таблица 2.5).

Средняя ошибка аппроксимации:

Оценка дисперсии равна:

s_e² = (Y - X*Y(X))^T(Y - X*Y(X)) = 259706.31