Расчетно-проектировочные работы и примеры их выполнения. Методическое пособие для студентов дневных / Основныезадачи 1-го семестра

Рис. 4.19. Определение поперечной силы Q и изгибающего момента М, действующих в первом поперечном сечении балки: а) расчетная схема балки; б) схемы к определению знака поперечной силы и изгибающего момента

В дальнейших расчетах учитываются только те силовые факторы, которые приложены к оставшейся, левой части балки (на рис.4.19,а эта часть имеет белый фон).

По определению поперечная сила Q1 в первом сечении балки численно

равна алгебраической сумме проекций на нормаль к оси балки всех сил, приложенных к балке слева от рассматриваемого сечения. Изгибающий моментM1 в

этом же сечении численно равен алгебраической сумме моментов всех сил, приложенных к балке слева от сечения, относительно нейтральной оси первого сечения.

Знаки проекций сил на нормаль к оси балки и знаки моментов сил, приложенных слева от первого сечения, выбираются в соответствии с рисунками

4.16 и 4.17, используя левые части этих рисунков:

Q1 4 4 1 0 кН; M1 4 1 6 4 1 0,5 8кНм.

Примечание: второе слагаемое в выражении Q1 4 4 1 представляет собой проек-

цию на нормаль к оси балки равнодействующей R 4 1 равномерно распределенной нагрузки, приложенной посередине рассматриваемой части балки и направленной вниз.

Второе слагаемое в выражении M1 4 1 6 4 1 0,5 представляет собой момент пары сил 6 кНм относительно рассматриваемого сечения, третье слагаемое - произведение равнодействующей нагрузки R 4 1кН на ее расстояние (0,5 м) до рассматриваемого се-

чения.

Определим внутренние усилия, действующие во втором поперечном сечении балки (рис. 4.20).

121

Рис. 4.20. Определение поперечной силы Q и изгибающего момента М, действующих во втором поперечном сечении балки: а) расчетная схема балки;

б) схемы к определению знака поперечной силы и изгибающего момента

Мысленно рассечем балку в сечении 2 и отбросим ее правую часть (здесь и далее на соответствующих рисунках отброшенная часть балки для наглядности затемнена серым фоном).

Рассматривая оставшуюся часть балки (на рис.4.20,а она изображена на белом фоне), имеем:

Q2 4 4 2 4 кН; M 2 4 2 6 4 2 1 6 кНм.

Определим внутренние усилия, действующие в третьем поперечном сечении балки (рис. 4.21).

Рис. 4.21. Определение поперечной силы Q и изгибающего момента М в третьем поперечном сечении балки: а) расчетная схема балки; б) схемы к опре-

делению знака поперечной силы и изгибающего момента

Чтобы упростить вычисления, отбросим часть балки, расположенную слева от третьего сечения (на рис.4.21 она представлена на сером фоне). Очевидно, что

Q3 2 4 1 10 8кН; M3 2 1 4 1 0,5 0.

Примечание: Проводя вычисления, следует обращать внимание на правило знаков

(рис. 4.21, б).

Пример 4.6. Для консольной балки, показанной на рис.4.22, определить

122

поперечные силы Q и изгибающие моменты М, действующие в ее первом, втором и третьем поперечных сечениях.

Рис. 4.22. Расчетная схема балки

Вычислим внутренние усилия, действующие в поперечном сечении 1 балки (рис.4.23).

Рис. 4.23. Определение поперечной силы Q и изгибающего момента М, действующих в первом поперечном сечении балки: а) расчетная схема балки; б) схемы к определению знака поперечной силы и изгибающего момента

Опорные реакции в рассматриваемой балке можно не вычислять, если рассматривать равновесие отсеченной части балки, расположенной слева от выбранного сечения. В этом случае в уравнение равновесия оставшейся части балки не войдут опорные реакции, так как они приложены к ее отброшенной части. Отбрасывать левую часть балки, не определив заранее опорные реакции, нельзя.

Мысленно рассечем балку в сечении 1 на две части, и отбросим ее правую часть. Из рассмотрения оставшейся части балки (на рис.4.22,а она показана на белом фоне), запишем выражения для вычисления поперечной силы и изгибающего момента в ее первом сечении:

Q1 6 2 1 4 кН; M1 6 1 2 1 0,5 5кНм.

Аналогично вычислим поперечную силу и изгибающий момент во втором сечении балки (рис.4.24,а).

123

Рис. 4.24. Определение поперечной силы Q и изгибающего момента М, действующих во втором поперечном сечении балки: а) расчетная схема балки; б) схемы к определению знака поперечной силы и изгибающего момента

Как видно на рис. 4.24,а, в начале второго участка приложена пара сил М = 3 кНм. При переходе от первого сечения ко второму поперечная сила не изменяется (проекция пары сил на любую ось равна нулю), а изгибающий момент изменяется на величину приложенной пары:

Q2 6 2 1 4 кН; М2 6 1 2 0,5 3 8 кНм.

Определим внутренние усилия, действующие в третьем поперечном сечении балки (рис. 4.25,а).

Рис. 4.25. Определение поперечной силы Q и изгибающего момента М в третьем поперечном сечении балки: а) расчетная схема балки; б) к определению знака поперечной силы и изгибающего момента

Мысленно рассекая балку в сечении 3 и отбрасывая ее правую часть, записываем выражения для вычисления поперечной силы и изгибающего момента в ее третьем сечении:

Q3 6 2 1 4 1 8 кН; M3 6 3 2 1 2,5 3 4 1 0,5 18 кНм.

Пример 4.7. Для балки, рассмотренной в примере 4.3 (рис.4.26), определить поперечные силы Q и изгибающие моменты М, действующие в ее первом, втором и третьем поперечных сечениях

124

Рис. 4.26. Расчетная схема балки

Для определения внутренних усилий, действующих в первом поперечном сечении балки, рассекаем ее мысленно в сечении 1 на две части и отбрасываем правую часть балки (рис. 4.27).

Рис. 4.27. Определение поперечной силы Q и изгибающего момента М, действующих в первом поперечном сечении балки

Закроем отброшенную часть на расчетной схеме кусочком бумаги так, чтобы ее не было видно (на рис.4.27 эта невидимая часть имеет серый фон).

Поперечная сила Q1 балки численно равна алгебраической сумме проек-

ций на нормаль к оси балки всех сил, приложенных к балке слева от рассматриваемого сечения. Изгибающий моментM1 в этом же сечении численно равен

алгебраической сумме моментов всех сил, приложенных к балке слева от сечения, относительно нейтральной оси первого сечения.

Таким образом

Q1 12,5 кН; M1 12,5 1 2 10,5кНм.

Аналогично вычислим поперечную силу и изгибающий момент во втором сечении балки (рис.4.28)

Рис. 4.28. Определение поперечной силы Q и изгибающего момента М, действующих во втором поперечном сечении балки

125

Q3 12,5 2 3 28,5 10 кН;

M3 12,5 4 2 2 3 1,5 28,5 2 0 кНм.

Примечание: равенство нулю изгибающего момента в третьем сечении, совпадающего

сшарниром, свидетельствует о правильности вычислений.

4.Дифференциальные зависимости между Q, q и М (зависимости Журавского). Использование дифференциальных зависимостей для построения и контроля построения эпюр внутренних усилий при изгибе

Для расчета балок на прочность и жесткость строятся графики, изображающие характер изменения внутренних силовых факторов Q и М по длине балки. Подобные графики называются эпюрами. Их построение и проверка правильности построения упрощаются при использовании дифференциальных зависимостей между поперечной силой Q, изгибающим моментом М и интенсивностью распределенной нагрузки q.

Эти зависимости, полученные Д.И. Журавским, имеют вид:

Они позволяют установить некоторые характерные особенности эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

Из анализа формул (4.5) - (4.7) следует:

126

- Если на участке балки поперечная сила Q = 0, эпюра изгибающего момента параллельна оси балки (рис.4. 31), при этом изгибающий момент, оставаясь постоянным, может быть как положительным, так и отрицательным.

“Q”

“M”

Рис.4.31. Вид эпюр поперечных сил и изгибающих моментов для случая, когда Q = 0

- Если в сечении балки приложена пара сил (сосредоточенный момент), на эпюре М будет скачок, равный величине приложенной пары, на эпюре Q изменений не будет (рис.4.32).

P М1 М2

“Q”

М1

М2 “M”

Рис.4.32. Вид эпюр поперечных сил и изгибающих моментов для случая, когда к участку балки приложены две пары сил и сосредоточенная сила

127

- Если к участку балки приложена равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q, эпюра поперечной силы ограничена наклонной прямой (рис.4.33), а эпюра М - квадратной параболой.

“Q” “Q”

Мmax

“M” “M”

Мmin

Рис.4.33 Вид эпюр поперечных сил и изгибающих моментов для случая, когда к участку балки приложена равномерно распределенная нагрузка

(эпюра М построена на сжатом волокне): а) нагрузка направлена вниз, б) нагрузка направлена вверх

При построении эпюры изгибающих моментов на сжатых волокнах выпуклость параболы направлена в сторону, противоположную направлению действия распределенной нагрузки. В сечении, где поперечная сила, изменяясь непрерывно, обращается в ноль, изгибающий момент экстремален: максимален при изменении знака поперечной силы с «плюса» на «минус» и минимален в противоположном случае (см. рис.4.33,а, б).

- При отсутствии консоли изгибающий момент над шарнирной опорой равен нулю. Если в балке имеется промежуточный шарнир, изгибающий момент в этом шарнире равен нулю (рис.4.34) .

P

АВ

MА=0; MС=0; MB=0.

Рис.4.34. Расчетные схемы балок

При построении эпюр на сжатых волокнах положительные значения Q и M откладываются в масштабе вверх, отрицательные - вниз от осей эпюр.

Примечание: при проектировании строительных конструкций принято противоположное правило построения эпюры изгибающих моментов – их положительные значения откладываются вниз от оси эпюры.

128

5. Методы построения эпюр внутренних усилий при изгибе

Для расчета балок на прочность и жесткость строятся графики, изображающие характер изменения внутренних силовых факторов Q и М по длине балки. Подобные графики называются эпюрами.

Существует несколько методов построения эпюр Q и M, два из которых

- построение эпюр Q и M на основе дифференциальных зависимостей Д.И. Журавского с вычислением поперечных сил и изгибающих моментов в характерных сечениях.

Рассмотрим аналитический способ построения эпюр.

Для записи уравнений Q Q(z); M M (z)выбирается система коорди-

нат z, y. Ось z совмещается с осью балки, ось y направляется вверх. Начало координат располагается в одном из торцевых сечений балки (обычно - в левом сечении). Затем балка разбивается на участки, в пределах которых справедливы составленные выражения для вычисления поперечной силы и изгибающего момента. Границами участков служат сечения, в которых приложены сосредоточенные силы, пары сил, начинаются или заканчиваются распределенные нагрузки, имеются опоры или промежуточные шарниры. В пределах каждого уча-

Примечание:

В ряде случаев удобно начало координат располагать в начале любого участка балки.

Подставив в уравнения Q Q(z); M M (z) вместо текущей координаты

z её значения в начале и конце участка, получим соответствующие величины Q и M, которые откладываются в масштабе вверх или вниз от осей эпюр.

Полученные точки соединяются прямыми или кривыми линиями в соответствии со следствиями, вытекающими из дифференциальных зависимостей

4.5 - 4.7.

Рассмотрим несколько примеров построения эпюр Q, M аналитическим методом.

Пример 4.8. Построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов M для балки, показанной на рис. 4.35.

Рис. 4.35. Заданная схема балки Для определения опорных реакций рассмотрим заданную балку в систе-

ме координат z, y (рис. 4.36). На ее расчетной схеме показываем векторы опорных реакций VA и VB , направляя их вверх.

129

M B 0; VA 3 3 10 3 0,5 6 1 0, VA 2кН .

Составляем второе уравнение равновесия балки - M А 0 :

M А 0; VВ 3 6 4 10 3 2,5 3 0, VВ 34кН.

Для контроля правильности вычислений составим сумму проекций всех сил, включая реакции опор, на вертикальную ось:

Y 0; 2 34 10 3 6 0.

Так как эта сумма равняется нулю, реакции опор вычислены правильно. Для записи уравнений Q Q(z); M M (z) балка разбивается на три уча-

130