Расчетно-проектировочные работы и примеры их выполнения. Методическое пособие для студентов дневных / Основныезадачи 1-го семестра

В некоторых случаях в качестве нагрузки на вал задается не величина крутящего момента, а мощность N, передаваемая валом при известной угловой скорости . В этом случае момент, скручивающий вал, можно определить по формуле

При этом мощность может быть задана в лошадиных силах (л.с.), а угловая скорость – в оборотах в минуту (об/мин). При решении таких задач следует перевести единицы измерения в систему СИ, как это показано в следующем примере.

Пример 3.6. Карданный вал автомобиля передает мощность 100 л.с. при скорости вращения 200 об/мин. Материал вала – сталь 45 с пределом текучести при кручении т = 210 МПа. Найти размер поперечного сечения вала, если он вы-

полнен в виде трубы с отношением диаметром d / D 0,9, а коэффициент запа-

са nт = 3.

Допускаемое касательное напряжение при кручении определим по фор-

муле

[ ] 210 70(МПа). nт 3

Крутящий момент, действующий в сечениях вала, найдем по известной формуле M N , где N, кВт – мощность, передаваемая валом, - угловая ско-

рость, рад./с.

Поскольку 1 л.с. = 0,736 кВт, N = 73,6 кВт. Угловую скорость можно выразить через частоту вращения следующим образом:

260 n 30n .

Имеем:

3,14 200 20,9 (рад./с) 30

Крутящий момент M 7320,,69 3,52(кН м)

По условию прочности max M max [ ] . Отсюда

Wp

71

Поскольку момент сопротивления кольца определяется по формуле

В следующем примеры выполнен проверочный расчет стальной муфты, соединяющей два вала.

Пример 3.7. Два участка вала диаметром 20 мм соединены стальной муфтой толщиной 4 мм. Требуется проверить муфту по условию прочности, если вал передает крутящий момент 200 Н м, а допускаемое касательное напряжение для стали 45, из которой изготовлена муфта, равно 120 МПа.

Рис. 3.13. Участки вала, соединенные муфтой

Максимальное касательное напряжение в муфте можно определить по формуле

max M кр .

Wp

Входящий в эту формулу полярный момент сопротивления определяется следующим образом:

положив наружный диаметр D равным d + 4 мм = 20 мм + 4 мм = 24 мм.

72

Максимальное касательное напряжение, возникающее в муфте

max 1,40520010 6 142,3 106 (Па) = 142,3 (МПа).

Сравнив полученное напряжение с допускаемым, приходим к выводу, что муфта с толщиной стенки 4 мм не отвечает условию прочности.

В следующем примере выполнен проектировочный расчет стального вала по условиям прочности и жесткости.

Пример 3.8. Стальной вал круглого сечения скручивается моментом М = 600 Н м. Определить минимальный диаметр вала, отвечающий требованиям проч-

ности и жесткости. Модуль сдвига стали G 0,8 105 МПа, допускаемый угол закручивания [ ] 0,04 (рад./м), допускаемое касательное напряжение

[ ] 80 МПа.

Рис. 3.14. К подбору диаметра вала

Из условия прочности (3.14) найдем минимально необходимый момент сопротивления

Для круглого сечения момент сопротивления вычисляется по формуле

ходимого полярного момента инерции

73

Здесь диаметр вала округлен до ближайшего четного (в мм), учитывая стандартный ряд типоразмеров деталей.

Таким образом, чтобы рассматриваемый вал удовлетворял условию прочности, его диаметр должен быть не менее 34 мм, а чтобы выполнялось условие жесткости – не менее 38 мм. Очевидно, что оба условия – прочности и жесткости – будут выполняться при минимальном диаметре вала 38 мм.

Стержни, работающие на кручение, могут являться статически неопредилимыми. В этом случае моменты в заделке можно найти из условия совместности деформаций.

3.6. Расчет тонкостенных стержней замкнутого профиля

Тонкостенными стержнями называются стержни, толщина стенок которых мала по сравнению с их поперечными размерами. Тонкостенные стержни широко применяются в технике, поскольку замена сплошного сечения на тонкостенное обеспечивает экономию материала. Пример тонкостенного стержня приведен на рис. 3.11.

Рис. 3.15. Тонкостенный стержень замкнутого профиля

74

Срединная поверхность делит толщину стенки пополам. Точка пересечения срединной линии с поперечным сечением стержня называется средней линией или контуром тонкостенного поперечного сечения.

Поскольку толщина стенки мала по сравнению с размером сечения, считается, что касательные напряжения распределены по толщине стенки равномерно (рис. 3.13, а).

Рис. 3.16. Касательные напряжения, возникающие при кручении тонкостенного стержня замкнутого профиля: а – распределение напряжений по толщине стенки, б – равновесие элемента стержня

Рассмотрев равновесие элемента стержня (рис. 3.13, б), можно прийти к выводу, что произведение t (поток касательных сил) постоянно по контуру стержня.

Напряжения, возникающие в стенке стержня, можно определить по формуле Бредта

где – удвоенная площадь, охватываемая контуром тонкостенного стержня

(рис. 3.14).

Пример определения касательных напряжений в тонкостенном стержне приведен ниже.

75

Рис. 3.17. Площадь, охватываемая контуром сечения

Пример 3.9. Определить напряжения в стальной балке моста, имеющей коробчатое сечение (рис. 3.15). Балка закручивается сосредоточенным моментом M = 100 кН м.

Рис. 3.18. Поперечное сечение балки моста

Найдем удвоенную площадь, охватываемую контуром сечения

76

Определим напряжения в стенках балки: - в верхней стенке

По результатам расчетов можно построить эпюру касательных напряже-

ний (рис. 3.16).

Рис. 3.19. Эпюра касательных напряжений в тонкостенной балке

77

3.7. Расчет тонкостенных стержней незамкнутого профиля

Рассмотрим тонкостенный стержень незамкнутого сечения, состоящий из нескольких прямоугольников (рис. 3.17).

Рис. 3.20. Распределение касательных напряжений по ширине поперечного сечения тонкостенного стержня незамкнутого профиля

Считается, что касательные напряжения постоянны по длине каждого отдельного прямоугольника, а величина максимально напряжения зависит от геометрических характеристик данного прямоугольника и всего сечения в целом.

Для одного прямоугольника длиной L и шириной при >> L по формуле (3.8) имеем:

Формулу (3.18) можно использовать также для определения момента инерции произвольного тонкостенного профиля, у которого средняя линия имеет длину L и представляет собой незамкнутую кривую.

Для определения момента инерции Id сечения, состоящего из нескольких узких прямоугольников, используется формула

где - коэффициент, учитывающий возрастание жесткости сечения тонкостенного стержня из-за пересечения составляющих его прямоугольников.

Коэффициент принимает следующие значения:

-для сечений типа уголок = 1,0;

-для сечений типа швеллер = 1,12;

-для сечений типа двутавр = 1,2.

78

Чтобы определить максимальное касательное напряжение в каком-либо элементе тонкостенного стержня, необходимо определит, какая часть крутящего момента, действующего в данном сечении стержня, воспринимается этим элементом. Предполагая, моменты распределяются по частям сечения пропорционально их жесткостям, приходим к формуле

Тогда максимальное касательное напряжение в элементе сечения будет

равно

Пример 3.10. Сравнить максимальные касательные напряжения, возникающие при кручении в тонкостенных стержнях замкнутого и открытого профилей (рис. 3.18), нагруженных крутящим моментом M 20Н м.

Рис. 3.21. Поперечные сечения стержней замкнутого (а) и незамкнутого (б) профилей

Касательные напряжения в сечениях тонкостенного стержня замкнутого профиля определим по формуле (3.17)

M z .

Толщина стенки профиля 0,2(см) = 2 10 3 (м), удвоенная площадь, охватываемая контуром сечения

79

2(h ) (b ) 2(0,1 0,002) (0,06 0,002) 0,01137 (м2).

Максимальное касательное напряжение

Для определения напряжений в стержне открытого профиля необходимо определить момент инерции сечения:

Id 13 Li 3i 13,0 (2 10 0,23 5,6 0,23 5,5 0,23 ) 0,083(см4).

Затем – определить крутящие моменты, приходящиеся на каждый элемент сечения:

- для верхнего и нижнего прямоугольников

- для боковых прямоугольников

Прямоугольники имеют равную толщину, следовательно, касательные напряжения в различных частях сечения будут примерно одинаковыми.

Максимальные касательные напряжения в верхней части сечения

Таким образом, касательные напряжения, возникающие при кручении стержня незамкнутого профиля, приблизительно в 275 раз выше, чем в сечении замкнутого профиля.

80