Расчетно-проектировочные работы и примеры их выполнения. Методическое пособие для студентов дневных / Основныезадачи 1-го семестра

Рис. 4.63. Расчетные схемы балок для определения начальных параметров

Пример 4.16. Для балки с консолью (рис. 4.64) методом начальных параметров определить прогиб в сечении С.

Рис.4.64. Заданная схема балки

Для определения прогиба в сечении С балки прежде всего необходимо вычислить опорные реакции. Направив векторы опорных реакций вверх (рис.4.65), составим уравнения равновесия балки:

Рис.4.65. К определению опорных реакций балки

МD 0; VA 4 8 2 3 4 4 1 0,5 2 1 0, VA 10кН;

МA 0; VD 4 8 2 1 4 4 1 4,5 2 5 0, VD 12кН.

151

Проверим правильность вычислений, записав алгебраическую сумму проекций на ось y всех сил, приложенных к балке:

Y 0; 10 12 2 8 2 4 1 0,

-реакции определены правильно.

Для записи универсального уравнения упругой линии балки, выбираем систему координат y, z, помещая её начало в точку А, т.е. на левую опору балки, распределенную нагрузку q 8кН / м участка AВ, направленную вниз, продол-

жаем до конца балки (сечение Е). На участке ВЕ прикладываем такую же нагрузкуq 8кН / м, но направленную вверх (рис.4.66).

Рис.4.66. Расчетная схема балки

В соответствии с рис.4.63 начальные параметры в начале координат: прогиб y0 0 , угол поворота 0 0 .

Универсальное уравнение упругой линии для заданной балки имеет вид

Величину угла поворота 0 определяем из условия равенства нулю прогиба yD на опоре D (рис. 4.67),оставляя в предыдущем уравнении только те

слагаемые, в которые входят нагрузки, приложенные к балке на участке AD (силовые факторы, которые не учитываются при записи уравнения здесь и далее затемнены серым фоном).

Рис.4.67. Расчетная схема балки для вычисления угла поворота 0

152

в начале координат

Подставив в универсальное уравнение упругой линии z 4м, получим

Решая полученное уравнение относительноEI 0 , получим

EI 0 = -6,525.

Учитывая полученный результат, запишем универсальное уравнение упругой линии балки в окончательном виде:

Для вычисления прогиба балки в сечении С, подставим в универсальное уравнение z 3м (расстояние сечения С от начала координат). В уравнение, кроме начального параметра 0 , войдут слагаемые, зависящие от внешних на-

грузок, приложенных к балке на участке АС (рис.4.68).

Рис.4.68. Расчетная схема для вычисления прогиба балки в сечении С

Прогиб балки в сечении С ( z 3 м):

Отрицательное значение прогиба означает, что балка в рассматриваемом сечении смещается вниз.

Пример 4.17. Для балки с двумя консолями (рис. 4.69) методом начальных параметров определить прогиб в сечении D и F (рис. 4.70).

153

Рис.4.69. Заданная схема балки Разбиваем балку на участки, границами участков служат сечения, в кото-

рых приложены сосредоточенные силы, пары сил, начинаются и заканчиваются распределенные нагрузки.

Рис.4.70. К разбиению балки на участки и определению опорных реакций

Вычислим опорные реакции балки. Для этого приложим в сечениях, где расположены опоры, векторы опорных реакций, направив их вверх (рис.4.70), и запишем уравнения равновесия балки:

МЕ 0; VB 4 6 5 4 4 2 2 0, VB 10,5кН;

МB 0; VE 4 4 2 2 4 6 1 0, VE 3,5кН.

Проверим правильность вычислений, записав алгебраическую сумму проекций на ось y всех сил, приложенных к балке:

y 0; 10,5 3,5 6 4 2 0 .

Таким образом, реакции опор определены правильно.

Далее, совместим начало координат с крайним левым сечением балки, распределенную нагрузку q 4кН / м участка СD, направленную вниз, про-

должаем до конца балки (сечение F). На участке DF прикладываем такую же нагрузкуq 4кН / м, направленную вверх (рис.4.71).

Поскольку в сечении А нет опоры, начальные параметры (прогиб y0 и угол поворота 0 в начале координат) не равны нулю и для определения проги-

бов балки они должны быть вычислены заранее.

Рис.4.71. Расчетная схема балки

154

Универсальное уравнение упругой линии для рассматриваемой балки имеет вид:

Определяем в начале координат прогиб y0 и угол поворота 0 из условия равенства нулю прогибов на опорах В и Е (рис. 4.72, 4.73).

155

Решая систему уравнений

yD 4,93EI .

- сечение D смещается вниз.

Для вычисления прогиба балки в сечении F, подставим в универсальное уравнение z 6м (расстояние сечения F от начала координат):

156

- сечение смещается вверх.

Отрицательное значение прогиба означает, что балка в рассматриваемом сечении смещается вниз.

Пример 4.18. Вычислить в сечениях D и F численную величину прогибов балки, рассмотренной в примере 4.17, если модуль упругости стали и мо-

мент инерции сечения соответственно равны E 2 1011МПа, I 1840 см4. Прогиб балки в сечении D

10. Расчет балок на жесткость.

Проверка балки на жесткость состоит в сравнении ее стрелы прогиба fmax

Если условие жесткости не удовлетворяется, размеры балки определяют из расчета ее на жесткость, используя условие (4.19).

Примечание: для определения стрелы прогиба fmax в большинстве случаев рекомендуется определить прогибы в нескольких сечениях балки и построить эпюру вертикальных перемещений – упругую линию балки. Это позволяет с достаточной точностью найти значение fmax , а затем определить размеры сечения балки, обеспечивающие ее прочность и жесткость.

Пример 4.19. Проверить выполнение условий жесткости в сечениях D и F балки, рассмотренной в примере 4.17 - 4.18.

Примем допускаемый прогиб между опорами

[ f ] 4001 l 4001 400 1см 10мм,

где l – расстояние между опорами, равное 4м = 400 см.

Сравниваем фактический и допускаемый прогибы в сечении D. Поскольку 1,34<10, условие жесткости удовлетворяется.

Аналогично проверяем выполнение условия жесткости в сечении F.

Принимаем для консоли [ f ] 4001 l 4001 100 0,25см 2,5мм,

где l – длина консоли, равная 1м = 100 см.

Сравнив фактический и допускаемый прогибы в сечении F (1,28<2,5), убеждаемся, что условие жесткости удовлетворяется.

157