Расчетно-проектировочные работы и примеры их выполнения. Методическое пособие для студентов дневных / Основныезадачи 1-го семестра
.pdf
Поскольку отношение d / D 0,9 ,
D |
16Wp |
|
|
|
16 77,8 |
10,5(см); |
|||
3 1 |
d |
4 |
|
3 |
0,9 |
||||
|
|
3,14(1 |
4 ) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- прямоугольного |
|
|
|
|
|
||||
Wk hb2 |
1,25 b3 |
77,8 |
|
b 3 |
77,8 . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,25 |
Из табл. 3.1 для h /b 1,25 = 0,221, тогда
b 3 |
77,8 |
3 |
77,8 |
6,6 |
(см). |
1,25 |
1,25 0,221 |
4. Определяем минимально необходимый по условию жесткости полярный момент инерции и находим размеры сечений.
Условие жесткости при кручении
max GJMp [ ]
Из этого условия следует
J minp |
|
M |
|
7 103 |
32,05 10 7 (м4) = 320,5 (см4). |
|
|
G[ ] |
|
7,8 1010 0,028 |
|
Определяем размеры сечений: - круглого
J p |
|
D4 |
299,1(см3) D 4 |
32J p |
3 |
32 320,5 |
7,6 (см); |
||||||
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3,14 |
|
- трубчатого |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
J |
p |
|
D4 1 |
|
d |
4 |
|
320,5 (см3), |
|
|
|
||
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
91
тогда
D |
32J p |
|
|
|
32 320,5 |
9,9 |
(см); |
|
|
|||
4 1 |
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
||||
|
d |
|
|
3,14(1 0,94 ) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- прямоугольного |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Jk hb3 |
1,25 b4 |
320,5 |
|
b 4 |
320,5 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,25 |
Из табл. 3.1 для h /b 1,25 |
= 0,172, тогда |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
320,5 |
|
|
320,5 |
|
|
|
|
|
|
|
b 4 |
1,25 |
4 |
1,25 0,172 6,2 (см). |
|||||
5.Определяем размеры сечений, удовлетворяющие эксплуатационным требованиям. Из двух значений, полученных по условию прочности и условию жесткости, выбираем максимальное. Имеем:
- для круга D = 7,6 см (по условию жесткости);
- для кольца D = 10,5 см, d = 9,5 см (по условию прочности);
- для прямоугольника b = 6,6 см, h = 8,2 см (по условию прочности).
6.Выбираем рациональную форму сечения. Рациональным сечением будет являться сечение, имеющее меньшую площадь, поскольку масса вала такого сечения будет меньше.
Площадь круглого сечения
A |
|
D2 |
|
3,14 |
7,6 |
2 |
|
|
|
45,4 (см2). |
|||
К |
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||
Площадь трубчатого сечения |
||||||
A |
D2 |
d 2 |
3,14 10,52 9,52 15,7 (см2). |
|||
Т |
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||
Площадь прямоугольного сечения
AП bh 6,6 8,8 55,4(см2).
Рациональной формой сечения является кольцо (т.к. кольцевое сечение имеет меньшую площадь).
92
7. Определяем момент инерции трубчатого сечения и строим эпюру углов закручивания.
I p |
D4 |
|
d 4 |
|
3,14 10,54 9,54 |
393,7 |
4 |
) |
32 |
32 |
32 |
(см |
|||||
|
|
|
|
|
|
Находим углы закручивания каждого участка вала.
AB |
M ABc |
4 103 0,4 |
5,21 10 3(рад.) |
|||
|
GI p |
|
7,8 1010 393,7 10 8 |
|
|
|
BC |
M BC d |
|
1 103 0,3 |
0,98 10 |
3 |
(рад.) |
GI p |
7,8 1010 393,7 10 8 |
|
||||
|
|
|
|
|
||
CD |
MCDa |
|
3,5 103 0,4 |
4,56 10 |
3 |
(рад.) |
GI p |
7,8 1010 393,7 10 8 |
|
||||
|
|
|
|
|
||
DE |
M DEb |
7 103 0,2 |
4,56 10 3 |
(рад.) |
||
|
GI p |
|
7,8 1010 393,7 10 8 |
|
|
|
Определяем углы поворота сечений вала. При этом знак угла закручивания определяем следующим образом: если при закручивании участка вала его поверхность, обращенная к нам, перемещается вверх, то угол закручивания считается положительным.
Сечение B неподвижно, т.к. в этом сечении вал закреплен. Сечение A повернется относительно заделки на угол
A AB 5,21 10 3 рад,
сечение С – на угол
C BC 0,98 10 3 рад.,
сечение D – на угол
D BC CD 0,98 10 3 4,56 10 3 5,54 10 3 рад.,
сечение E – на угол
E D DE 5,54 10 3 4,56 10 3 10,1 10 3 рад.
По полученным значениям строим эпюру углов закручивания.
93
ЗАДАЧА № 2
Ступенчатый статически неопределимый вал нагружен внешними крутящими моментами. Требуется:
1)раскрыть статическую неопределимость и найти реакции в заделке;
2)построить эпюру крутящих моментов;
3)выполнить проверку по условиям прочности и жесткости;
4)построить эпюру углов закручивания.
Расчетные схемы выбираются по рис. 3.30, 3.31, числовые данные берутся из табл. 3.3.
Табл. 3.4.
Числовые данные к задаче 2.
№ |
Длины участков, м |
Моменты, кН м |
Диаметры, мм |
G, |
[ ], |
[ ], |
||||||||
вар. |
a |
b |
c |
d |
M1 |
M2 |
M3 |
D1 |
D2 |
D3 |
d |
МПа |
МПа |
рад./м |
1 |
0,2 |
0,3 |
0,1 |
0,1 |
1,5 |
2,0 |
3,5 |
68 |
60 |
50 |
40 |
7,6 104 |
90 |
0,025 |
2 |
0,3 |
0,2 |
0,4 |
0,3 |
0,5 |
2,5 |
1,0 |
70 |
58 |
52 |
45 |
7,8 104 |
100 |
0,03 |
3 |
0,1 |
0,3 |
0,2 |
0,2 |
2,5 |
1,0 |
0,5 |
72 |
62 |
48 |
35 |
8,0 104 |
120 |
0,035 |
4 |
0,3 |
0,4 |
0,3 |
0,2 |
1,5 |
3,0 |
2,0 |
74 |
64 |
55 |
42 |
8,2 104 |
140 |
0,04 |
5 |
0,1 |
0,4 |
0,1 |
0,3 |
1,5 |
1,0 |
2,0 |
120 |
80 |
60 |
50 |
4,0 104 |
50 |
0,025 |
6 |
0,4 |
0,2 |
0,3 |
0,3 |
3,0 |
1,5 |
0,5 |
110 |
75 |
65 |
55 |
2,6 104 |
40 |
0,025 |
7 |
0,2 |
0,1 |
0,3 |
0,2 |
3,0 |
2,5 |
0,5 |
75 |
65 |
50 |
42 |
7,6 104 |
90 |
0,025 |
8 |
0,3 |
0,2 |
0,2 |
0,4 |
2,5 |
1,0 |
6,5 |
74 |
62 |
48 |
34 |
7,8 104 |
100 |
0,03 |
9 |
0,2 |
0,3 |
0,2 |
0,4 |
3,5 |
2,0 |
4,0 |
80 |
65 |
50 |
44 |
8,0 104 |
120 |
0,035 |
10 |
0,3 |
0,1 |
0,1 |
0,2 |
1,0 |
4,5 |
2,5 |
85 |
70 |
62 |
48 |
8,2 104 |
140 |
0,04 |
11 |
0,4 |
0,3 |
0,2 |
0,3 |
4,0 |
2,5 |
1,5 |
125 |
85 |
70 |
62 |
4,0 104 |
50 |
0,025 |
12 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
0,3 |
1,0 |
4,5 |
2,0 |
135 |
90 |
80 |
65 |
2,6 104 |
40 |
0,025 |
13 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,3 |
5,5 |
2,0 |
4,5 |
75 |
65 |
50 |
42 |
7,6 104 |
90 |
0,025 |
14 |
0,5 |
0,4 |
0,3 |
0,4 |
2,0 |
6,5 |
2,5 |
74 |
62 |
48 |
34 |
7,8 104 |
100 |
0,03 |
15 |
0,6 |
0,5 |
0,2 |
0,5 |
3,5 |
6,0 |
2,0 |
80 |
65 |
50 |
44 |
8,0 104 |
120 |
0,035 |
16 |
0,5 |
0,4 |
0,5 |
0,3 |
2,0 |
3,5 |
5,0 |
85 |
70 |
62 |
48 |
8,2 104 |
140 |
0,04 |
17 |
0,4 |
0,3 |
0,2 |
0,5 |
4,5 |
5,0 |
3,5 |
125 |
85 |
70 |
62 |
4,0 104 |
50 |
0,025 |
18 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,4 |
5,5 |
9,0 |
2,5 |
135 |
90 |
80 |
65 |
2,6 104 |
40 |
0,025 |
19 |
0,5 |
0,5 |
0,4 |
0,3 |
2,5 |
5,0 |
3,0 |
75 |
65 |
50 |
42 |
7,6 104 |
90 |
0,025 |
20 |
0,5 |
0,4 |
0,2 |
0,2 |
7,0 |
3,5 |
5,0 |
74 |
62 |
48 |
34 |
7,8 104 |
100 |
0,03 |
21 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,4 |
3,0 |
8,5 |
2,5 |
80 |
65 |
50 |
44 |
8,0 104 |
120 |
0,035 |
22 |
0,3 |
0,3 |
0,5 |
0,4 |
5,0 |
2,0 |
4,5 |
85 |
70 |
62 |
48 |
8,2 104 |
140 |
0,04 |
23 |
0,4 |
0,6 |
0,6 |
0,5 |
6,0 |
2,0 |
4,5 |
125 |
85 |
70 |
62 |
4,0 104 |
50 |
0,025 |
24 |
0,5 |
0,4 |
0,5 |
0,3 |
3,0 |
6,0 |
2,5 |
135 |
90 |
80 |
65 |
2,6 104 |
40 |
0,025 |
25 |
0,2 |
0,5 |
0,2 |
0,4 |
4,0 |
2,5 |
6,0 |
75 |
65 |
50 |
42 |
7,6 104 |
90 |
0,025 |
94
Рис. 3.31. Расчетные схемы к задаче 2
95
Пример решения задачи 2.
Рассмотрим следующий пример (рис. 3.32).
Рис. 3.32. Расчетная схема к примеру решения задачи 2
Табл. 3.5.
Данные к примеру расчета задачи № 2
№ |
Длины участков, м |
Моменты, кН м |
|
Диаметры, мм |
G, |
[ ], |
[ ], |
||||||||
вар. |
a |
b |
c |
d |
M1 |
M2 |
M3 |
D1 |
|
D2 |
D3 |
d |
МПа |
МПа |
рад./м |
1 |
0,3 |
0,2 |
0,4 |
0,3 |
1,5 |
2,0 |
3,5 |
68 |
|
60 |
50 |
40 |
7,8 104 |
90 |
0,025 |
1. Обозначаем характерные сечения вала буквами A, B, C, D, E(рис. 3.37). Находим геометрические характеристики сечений участков вала – полярные моменты инерции и моменты сопротивления:
– участок AB:
( AB) |
|
|
4 |
|
|
|
d |
4 |
|
|
|
3,14 6,0 |
4 |
|
|
4,0 |
4 |
|
4 |
|
|
|
D2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
); |
|||||||||
I p |
|
32 |
1 |
|
D |
|
|
32 |
|
|
6,0 |
|
|
102,1(см |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Wp( AB) |
2I (pAB) |
|
2 102,1 |
34,0 (см3); |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
D2 |
6,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
– участок BC: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
I (pBC) |
D4 |
|
3,14 6,04 |
127,2 (см4); |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wp(BC) |
2I (pBC) |
|
2 127,2 |
|
42,4 (см3); |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
D2 |
|
6,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
96
– участок CD:
I (pCD) |
D4 |
|
3,14 5,0 |
4 |
61,4 (см4); |
|||||
|
3 |
|
32 |
|
||||||
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Wp(CD) |
2I (pCD) |
2 61,4 |
24,6 |
(см3); |
||||||
D3 |
|
5,0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
– участок DE: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
I (pDE) |
D4 |
|
3,14 6,84 |
209,9 (см4); |
||||||
|
1 |
|
32 |
|
||||||
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Wp(DE) |
2I (pDE) |
2 209,9 |
61,7 |
(см3). |
||||||
D1 |
|
6,8 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
2.Рассматриваемый вал находится в равновесии, поскольку моменты MА
иMЕ, возникающие в заделке, уравновешивают действие моментов, приложенных к валу:
M z 0 ;
M A M1 M 2 M3 M E 0.
Записанного нами уравнения равновесия недостаточно, чтобы определить неизвестные моменты MА и MЕ, возникающие в заделках, т.е. рассматриваемая задача является статически неопределимой. Для определение реакций следует использовать уравнение совместности деформаций.
3. Найдем реакцию MA из условия совместности деформаций. Для этого определим крутящие моменты, действующие на каждом участке вала.
– участок AB:
M AB M A
– участок BC:
M BC M A M1;
– участок CD:
MCD M A M1 M 2 ;
97
– участок DE:
M DE M A M1 M 2 M3 .
Углы закручивания участков вала определим по формуле Ml .
GI p
– участок AB:
AB GIM(AABc) ; p
– участок BC:
BC M A M1 a ;
GI (pBC)
– участок CD:
CD M A M1 M 2 d ;
GI (pCD)
– участок DE:
DE M A M1 M 2 M3 b .
GI (pDE)
Угол поворота сечения A относительно сечения E составит
AE AB BC CD DE .
Поскольку сечения A и E жестко закреплены, AE 0 . Таким образом,
M Aa |
M A M1 c |
|
M A M1 M 2 d |
M A M1 M 2 M3 b |
0 . |
|||||||||||||
GI (pAB) |
|
GI (pBC) |
|
|
|
GI (pCD) |
|
|
GI (pDE) |
|
||||||||
Из полученного уравнения выразим неизвестную реакцию MA. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
c |
|
|
d |
|
b |
|
|
|
|||
M |
A |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
GI ( AB) |
|
|
GI (BC) |
|
GI (CD) |
|
GI (DE) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
p |
|
|
|
p |
|
|
p |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
M1a |
|
|
M1 M 2 d |
|
M1 M 2 M3 b |
; |
|
|||||||||
GI (pBC) |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
GI (pCD) |
|
|
|
|
GI (pDE) |
|
|
|
|
||||
98
|
|
|
|
|
M1a |
|
M1 M 2 d |
M1 M 2 M3 b |
|
|||||||||||||||||
M A |
I (pBC) |
|
|
|
|
|
I (pCD) |
|
|
|
|
|
I (pDE) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
b |
|
|
d |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I (pAB) |
|
I (pBC) |
I (pCD) |
I (pDE) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1,5 0,3 |
|
|
0,5 0,3 |
|
4,0 0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
127,2 |
|
|
61,4 |
|
|
|
209,9 |
|
0,224 |
(кН м). |
|
||||||||||||||
|
|
0,4 |
|
|
0,3 |
|
|
|
0,3 |
|
|
0,2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
102,1 |
127,2 |
|
|
61,4 |
|
209,9 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Рис. 3.33. К решению задачи № 2. Эпюры крутящих моментов, касательных напряжений и углов закручивания
4. Определяем момент MЕ из условия равновесия
M E M 2 M3 M1 M A 2,0 3,5 1,5 0,224 3,776 (кН м).
99
5. Находим крутящие моменты, действующие на участках вала, и строим эпюру моментов.
– участок AB:
M AB M A 0,224 (кН м).
– участок BC:
M BC M A M1 0,224 1,5 1,724 (кН м);
– участок CD:
M DC M A M1 M 2 0,224 1,5 2,0 0,276 (кН м);
– участок DE:
M DE M A M1 M 2 M3 0,224 1,5 2,0 3,5 3,776(кН м).
6. Определяем максимальные касательные напряжения, возникающие на участках вала, и строим эпюру напряжений.
M .
Wp
AB WM( ABAB) p
BC WM(BCBC) p
CD WM(CDCD) p
DE WM(DEDE) p
|
0,224 103 |
|
6,9 106 (Па) = 6,9(МПа); |
||||
34,0 10 6 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
1,724 103 |
|
40,7 106 (Па) = 40,7(МПа); |
||||
42,4 |
10 6 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
|
0,276 103 |
11,2 106 |
(Па) = –11,2(МПа); |
||||
24,6 |
10 |
6 |
|||||
|
|
|
|||||
|
3,776 103 |
61,2 106 |
(Па) = –61,2(МПа). |
||||
61,7 |
10 |
6 |
|||||
|
|
|
|||||
7. Определяем углы закручивания на участках стержня и строим эпюру углов закручивания.
AB |
M Ac |
|
0,224 103 0,4 |
1,13 10 3 (рад.); |
|
GI (pAB) |
7,8 1010 102,1 10 8 |
||||
|
|
|
100