тический момент солнечной системы относительно ее центра масс должен оставаться неизменным по величине и направлению.

Какой вид имеют дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела и на основании каких теорем они получены?

Дифференциальныеуравненияплоскогодвижениятвердоготелаимеютвид:

mxc = ∑Fixe , myc = ∑Fiye , ICz ϕ = ∑mCz (Fie ) .

Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела получены из теоремы о движении центра масс и теоремы об изменении кинетического момента в относительном движении тела по отношению к центру масс.

Каким видом дифференциальных уравнений плоского движения твердого тела удобно пользоваться, если задана траектория центра масс тела?

Если траектория центра масс задана, удобно воспользоваться дифференциальными уравнениями движения точки C в проекциях на касательную и нормаль к этой траектории.

mSC = ∑Fiτe , mVρC2 = ∑Fine , ICz ϕ = ∑mCz (Fie ) ,

где SC — угловая координата центра масс, VC — его скорости, ρ — ра-

диус кривизна траектории.

Динамика сферического и свободного движения твердого тела.

По каким формулам вычисляются кинетические моменты твердого тела относительно неподвижной точки и относительно координатных осей при его сферическом движении?

87

Кинетический момент твердого тела, совершающего сферическое движение относительно неподвижной точки, определяется по общей формуле:

L0 = ∑ri ×miVi .

Кинетические моменты тела, совершающего сферическое движение, относительно координатных осей имеют вид:

Lx = Ixωx − Izyωy − Izxωz ,

Ly = −Ixyωx + I yωy − Iyzωz ,

Lz = −Izxωx − Iyzωy + Izωz .

Чему равны кинетические моменты твердого тела относительно главных осей инерции, проведенных из неподвижной точки тела, при его сферическом движении?

Если за оси приняты главные оси инерции в неподвижной точкеO , то центробежные моменты инерции Ixy , Iyz , Izx равны нулю и кинетические

моменты относительно этих осей определяются по формулам:

Lx = Ixωx , Ly = Iyωy , Lz = Izωz .

Какой вид имеют динамические уравнения Эйлера?

Динамические уравнения Эйлера имеют вид:

где Ix , I y , Iz – моменты инерции тела относительно его осей инерции в точ-

ке О;

88

M xe , M ye , M ze – главные моменты внешних сил, приложенных к телу,

относительно этих же осей.

ωx =ψ sinθ sinϕ +θ cosϕ,

ωy =ψ sinθ cosϕ −θ sinϕ,

ωz =ψ cosθ +ϕ,

где ψ,θ,ϕ– углы Эйлера.

Какое твердое тело называют гироскопом?

Гироскопом называется тяжелое твердое тело, вращающееся вокруг оси материальной симметрии, одна из точек которой неподвижна.

Чему равен и как направлен кинетический момент быстровращающегося гироскопа относительно его неподвижной точки?

Кинетический момент гироскопа относительно неподвижной точки O направлен вдоль оси симметрии гироскопа и равен

Lo = Iξω,

где Iξ – момент инерции гироскопа.

Какими физическими свойствами обладает быстровращающийся гироскоп с тремя степенями свободы?

Гироскоп с тремя степенями свободы обладает способностью противодействовать силам, стремящимся изменить направление его оси вращения.

Какой эффект производит действие одной и той же силы, приложенной к оси неподвижного и быстровращающегося гироскопа с тремя степенями свободы?

Под действием силы F неподвижный гироскоп начинает вращаться вокруг оси, перпендикулярной плоскости, проходящей через линию дейст-

вия силы F и неподвижную точку C . После прекращения действия си-

89

лы гироскоп продолжает вращаться по инерции вокруг этой оси с посто-

янной угловой скоростью, которую он приобрел под действием силы F .

Под действием силы F смещение оси гироскопа происходит не по направлению действия силы, а по направлению ее момента, перпендикулярно направлению силы.

После прекращения действия силы гироскоп вращается вокруг своей оси симметрии, отклоненной от первоначального положения на угол α .

Выведите формулу для вычисления угловой скорости прецессии оси гироскопа.

Ось симметрии гироскопа вращается вокруг неподвижной оси OZ с некоторой угловой скоростью ω1 , описывая коническую поверхность. Это движение гироскопа называется регулярной прецессией, а угловая скорость ω1 – угловой скоростью прецессии.

Угловая скорость прецессии ω1 тем меньше, чем больше угловая ско-

рость ω вращения гигроскопа вокруг его оси симметрии.

ω1 = Gd .

Iξω

В чем состоит разница в свойствах гироскопов с двумя и тремя степенями свободы?

Гироскоп с двумя степенями свободы не обладает способностью противодействовать изменению направления его оси вращения.

Какова физическая сущность гироскопического эффекта и при каких условиях он наблюдается?

Гироскопический момент МГ представляет собой момент пары, составленной силами инерции гироскопа и равен по величине

M Г = Iξ ωω1 .

90