Какими параметрами определяется положение твёрдого тела с одной неподвижной точкой?

Движение твёрдого тела, одна из точек которого во всё время движения остаётся неподвижной, называют сферическим движением твёрдого тела. При таком движении все остальные точки тела движутся по сферическим поверхностям. Положения тела в этом случае определяются тремя углами Эйлера:

ψ = f1(t) , θ = f2 (t) , ϕ = f3 (t) ,

где ψ — угол прецессии, θ — угол нутации, ϕ — угол собственного вращения.

Как формулируется теорема Эйлера-Даламбера о перемещении твёрдого тела с одной неподвижной точкой?

Твёрдое тело, имеющее одну неподвижную точку, можно переместить из одного положения в любое другое поворотом вокруг некоторой оси, проходящей через неподвижную точку.

Что называют мгновенной осью вращения твёрдого тела с одной неподвижной точкой и каковы уравнения мгновенной оси вращения в неподвижной и подвижной системах осей декартовых координат?

Мгновенная ось представляет собой геометрическое место точек тела, скорости которых в данный момент равны нулю.

Уравнения мгновенной оси в неподвижной системе осей:

Здесь x, y, z - координаты точек мгновенной оси.

Уравнения мгновенной оси в подвижной системе осей:

34

Здесь ξ,ς,ζ — координаты точек мгновенной оси.

Как определяется модуль и направление углового ускорения тела при сферическом движении?

Вектор углового ускорения равен производной от вектора производной от вектора угловой скорости:

ε =ω ,

т. е. угловое ускорение тела геометрически равно линейной скорости конца вектора угловой скорости. Прямая по которой направлен вектор углового ускорения ε , называется осью углового ускорения.

Как определяются скорости точек тела при сферическом движении?

Скорость любой точки тела можно определить как скорость во вращательном движении вокруг мгновенной оси:

v =ω ×r ,

где r - радиус-вектор точки, проведённый из неподвижной точки. Модуль скорости точки определяется:

v =ω r sin (γ )=ω hω ,

где γ — угол между rG и мгновенной осью вращения,

hω — кратчайшее расстояние точки от мгновенной оси вращения.

Проекции скорости точки на неподвижные оси декартовых координат определяются по формулам Эйлера:

Vx =ωy z −ωz y, Vy =ωz x −ωx z, Vz =ωx y −ωy x .

35

Какие модули и направления имеют составляющие ускорения точки тела при сферическом движении?

Ускорение любой точки тела при сферическом движении определяется как геометрическая сумма её вращательного и осестремительного ускорений:

а = авр + аос .

Вектор вращательного ускорения авр =ε ×r направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через ε и r в ту сторону, откуда поворот ε к r на наименьший угол виден проходящим против часовой стрелки.

Модуль вращательного ускорения:

авр = hεε ,

где hε — кратчайшее расстояние от точки до мгновенной оси углового ускорения.

Вектор осестремительного ускорения аос =ω ×V направлен перпендикулярно к мгновенной оси вращения.

Модуль осестремительного ускорения:

аос = hωω2 ,

где hω - кратчайшее расстояние от точки до мгновенной оси вращения.

Модуль ускорения точки как диагонали параллелограмма ускорений определяется:

а = авр2 + аос2 + 2авраос cos(авр,аос) .

На какие составляющие движения можно разложить движение свободного твёрдого тела и как они зависят от выбора полюса?

36

Движение свободного твёрдого тела можно рассматривать как сложное, состоящее из поступательного вместе с полюсом, и сферическое движение вокруг этого полюса.

Таким образом, движение свободного твёрдого тела определяется шестью уравнениями:

x0 = f1(t), y0 = f2 (t), z0 = f3 (t),

ψ = f4 (t), θ = f5 (t), ϕ = f6 (t).

Поступательная часть движения зависит от выбора полюса, сферическая часть от выбора полюса не зависит.

Как определяются скорости точек свободного твёрдого тела?

Скорость любой точки свободного твёрдого тела равна геометрической сумме скорости полюса и скорости точки в её сферическом движении вокруг полюса

v = v0 +ω ×r .

Как определяются ускорения точек свободного твёрдого тела?

Ускорение точки свободного твёрдого тела равно геометрической сумме ускорения полюса, осестремительного ускорения и её вращательного ускорения, определённых относительно мгновенной оси и оси углового ускорения, проходящего через полюс

а = а0 + авр + аос .

Дайте определение относительного, переносного и абсолютного движения точки.

Движение точки по отношению к подвижной системе отсчёта называют относительным движением точки.

37