2.9.5 Связь между тдш и классической теорией вероятностей

Одной из главных особенностей ТДШ является то, что меры доверия и правдоподобия являются частным случаем интервальных вероятностей, то есть мера доверия – нижняя вероятность, а мера правдоподобия – верхняя вероятность, определённая на вложенных интервалах. Это открывает путь как для построения функции распределения доверий, так и её интерпретации.

Рассмотрим простейший пример, иллюстрирующий связь ТДШ с теорией вероятностей. Пусть оценивается возможность инвестирования финансовых средств либо в производство, либо в ценные бумаги. Для оценки состояния и принятия решения была привлечена группа экспертов, которая разделилась во мнениях и дала следующие оценки:

• половина экспертов высказались за инвестирование средств в производство;

• вторая половина, не отдав предпочтения какому-либо конкретному виду инвестирования, высказались за то, что возможны вложения, как в производство, так и в ценные бумаги.

Как в условиях заключений этих двух групп экспертов найти вероятность P₁по вложению инвестиций в производство и вероятность P₂об инвестициях в ценные бумаги.

Обозначим p(A₁) и p(A₂) доли экспертов, давших первую и вторую оценки. В рассматриваемом примере это будет p(A₁) = 0,5 и p(A₂) = 0,5. Пусть p(B_jïA_i) – условная вероятность того, что на j–й вариант инвестирования указывает i–я группа экспертов (j=1,2 и i=1,2). Тогда, следуя классической теории вероятностей и используя формулу полной вероятности, можно записать:

P₁ = P(A₁) × P(B₁ïA₁) + P(A₂) × P(B₁ïA₂)

P₂ = P(A₁) × P(B₂ïA₁) + P(A₂) × P(B₂ïA₂)

Но если первая группа экспертов чётко определилась с выбором в пользу первого варианта, то есть

P(B₁ïA₁) = 1 и P(B₂ïA₁) = 0,

то этого мы не можем сказать о второй группе экспертов. Использование классической теории вероятностей и байесовского подхода к приятию решению приводит к тому, что если у нас нет сведений о распределении вероятности событий (в нашем примере вероятности выбора вариантов инвестирования второй группой экспертов), то принимается, что это распределения равномерное, то есть

P(B₁ïA₂) = P(B₂ïA₂) = 0.5

Однако это предположение может быть ошибочным и, принимая его, мы заведомо вносим ошибку или погрешность, нигде не учитываемую при вычислении P₁и P₂, значения которых в этом случае будут

P₁= 0.5×1 + 0.5×0.5 = 0.75

P₂= 0.5×0 + 0.5×0.5 = 0.25

Можно рассмотреть другой способ расчёта P₁и P₂. Возьмём крайние случаи, когда условные вероятности выбора варианта инвестирования второй группой экспертов берут:

	P(B1ïA2)	P(B2ïA2)
случай 1	0	1
случай 2	1	0

Тогда расчёт по формуле полной вероятности для каждого из этих случаев даст

	P1= P(B1)	P2= P(B2)
случай 1	0.5×1 + 0.5×0 = 0.5	0.5×0 + 0.5×1 = 0.5
случай 2	0.5×1 + 0.5×1 = 1	0.5×0 + 0.5×0 = 0

Таким образом, получены нижние и верхние вероятности, определяющие границы P₁=[0.5; 1] и P₂=[0; 0.5]. Вероятности P₁и P₂, соответствующие всем возможным распределениям условных вероятностей р(B_jïA_i), находятся в приведённых границах.

Использование ТДШ для этого же примера позволяет на основе мнений каждой из групп экспертов назначить базовые вероятности m({B₁}) = 0.5 и m({B₁,B₁}) = 0.5, на основе которых можно определить функции доверия и правдоподобия для каждого из вариантов инвестирования:

Инвестирование в производство	Инвестирование в ценные бумаги
Bel({B1}) = m({B1}) = 0.5 Pl({B1})=1-Bel(ù{B1})=1-Bel({B2})=1	Bel({B2}) = m({B2}) = 0 Pl({B2})=1-Bel(ù{B2})=1-Bel({B1})=0.5

Из полученных результатов легко видеть, что функции доверия и правдоподобия есть нижние и верхние вероятности, которые в общем случае могут быть получены на основе методов классической теории вероятностей и полностью с ней согласуются.

Вместе с тем следует отметить, что стремление получить с использованием классической теории вероятностей «точную» оценку вероятности является естественным в инженерной практике, но далеко не всегда оправданным. Такая оценка может только ввести в заблуждение относительно принятия решения, а не указывать на реальное состояние дел.

Если вернуться к рассматриваемому примеру, то можно увидеть, что «точная» оценка может быть далека от истинной. Так «точной» оценкой P₁вместо 0.75 может быть на самом деле любая точка в интервале [0.5; 1].

На ширину интервала существенное влияние оказывает доля экспертов, в высказываниях которых содержится некоторая степень неопределённости или незнания. Если в рассматриваемом примере ³/₄экспертов можно отнести к первой группе, а¹/₄– ко второй, то «точные» оценки по формуле полной вероятности будут иметь вид:

P₁= 0.75×1 + 0.25×0.5 = 0.875

P₁= 0.75×0 + 0.25×0.5 = 0.125,

а их верхние и нижние оценки, полученные как с использованием классической теории вероятностей, так и ТДШ позволяют определить их интервальные значения P₁=[0.75; 1] и P₂= [0; 0.25].