2.9.3 Меры доверия и правдоподобия в тдш

Мера доверия А, обозначаемая Bel(A), измеряет полное число доверий в А. Математически это может быть выражено, как

Функция Bel() называется функцией доверия (от англ. believe- доверять), если она удовлетворяет следующим условиям:

1) Доверие к нулевой гипотезе равно 0, т.е. Bel()=0

2) Доверие ко всему фрейму различения равно 1, т.е. Bel ()=1

3) Сумма доверий А и А должна быть1, т.е. Bel(А) + Bel(А)1

Таким образом, функция доверия будет равна базовым вероятностям в случае множеств, состоящих из одного элемента (элементарного исхода), и будет больше или равна базовым вероятностям для множеств, содержащих более одного элемента, т.е.

Bel(А) = m(A), если А - множество из одного элемента,

Bel(А)m(A), если А - содержит более одного элемента.

Пример 4. Для случая базовых вероятностей, определенных в примере 3 функции доверия будут иметь вид:

Bel ({Авто}) = m ({Авто}) = 0.3,

но Bel ({Авто, ЖД}) = m ({Авто, ЖД}) + m ({Авто}) + m ({ЖД}) m ({Авто, ЖД}),

т.е. Bel({Авто, ЖД}) = 0.4 + 0.3+0.2 = 0.9 > 0.4

Задав функцию доверия можно определить несколько вспомогательных характеристик. Величина 1 - Bel(А) называется правдоподобием множества и обозначается Pl (A) (от англ. plausibility - правдоподобие), т.е.

Pl(A) = 1 - Bel(ùA) = 1 -

Эта величина определяет максимальное значение степени доверия, которое может быть по возможности назначено А. Функции Bel(A) и Pl(A) можно интерпретировать как нижние и верхние вероятности множеств в том смысле, что предполагается существование некоторой истинной вероятности Р(А):

Bel(A) £ P(A) £ Pl(A), для .

Это следует из того факта, что из свойств функции доверия

Bel(A) + Bel( ùА) £ 1,

тогда

Bel(A) £ 1 - Bel(ùА)

и

Bel(A) £ Pl(A).

Пример 5. На основе предыдущих примеров, функция правдоподобия для А={Авто}ÍQбудет иметь вид:

Pl({Авто}) = 1 - Bel(ù{Авто}) = 1 - Bel({ЖД, Авиа, МТ}) =

= 1 - (m({ЖД}) + m({МТ}) = 1 - (0.2 + 0.1) = 0.7

Откуда следует, что некоторая истинная вероятность события, связанного с транспортировкой груза автомобильным транспортом на основе мнений экспертов будет 0.3£P({Авто})£0.7

Следует отметить, что в ТДШ рассматриваются не все подмножества фрейма различения, а только те, которые имеют ненулевые базовые вероятности. Каждое из этих подмножеств называется фокальным элементом функции доверия Bel.

Другими словами, если m(A) > 0, то - фокальный элемент распределенного доверия на множествеQ. Объединение всех фокальных элементов для функции доверия называется его ядром. Для рассматриваемого нами примера фокальными элементами функции доверия являются

{Авто}, {ЖД}, {МТ}, {Авто, ЖД},

а их объединение образует ядро функции доверия

{Авто, ЖД, МТ} = {Авто} È{ЖД}È{МТ}È{Авто, ЖД}.

2.9.4 Отличие тдш от теории вероятностей

В теории вероятностей, равномерное априорное распределение описывает полное незнание. Однако это не делает различие между полным незнанием и знанием, что случайная величина или событие равномерно распределено.

С другой стороны ТДШ выражает незнания явно. Например, если А и В – только гипотезы, то в теории вероятностей незнание об А и В выражается, как Р(А)=Р(В) = ¹/₂. В ТДШ, m({A}) = m({В}) =¹/₂показывает, что доверия к А и В одинаковы, но нет незнания.

Функция доверия, в этом случае, называется байесовской функцией доверия. То есть, если все фокальные элементы – отдельные элементы (элементарные события), то не существует незнания относительно их возникновения. Если некоторый фокальный элемент содержит более чем один элемент, то существует некоторое незнание.

В теории вероятностей, вероятность отрицания гипотезы фиксируется, если известна вероятность А, т.к. A ÈùA =Wи p(A) + p(ùA) = 1. Аналогичный результат в ТДШ дает Bel(A) + Bel(ùA)£1.

Однако использование ТДШ ведет к комбинаторному взрыву, т.к. пространство гипотез существенно увеличивается. Чтобы заполнить это пространство, эксперт должен определить все доверия на всех подмножествах пространства возможных гипотез перед тем, как создавать ЭС.

Конечно, эксперт должен определить базовые вероятности только для интересующих его подмножеств, т.к. все остальные подмножества будут иметь нулевые базовые вероятности. В то же время, пока нет эффективной процедуры логического вывода. Это приводит к тому, что в настоящее время не так много систем строится на использовании ТДШ.