VbIshka / Специальные главы математики

52

Рассмотренная ранее задача, когда граничные условия были зафиксированы :

является частным случаем задачи с подвижными границами.

Поэтому искомая кривая должна быть экстремалью, то есть должна удовлетворять уравнению Эйлера :

Однако, в задаче с подвижными границами одно из условий или оба эти условия отсутствуют. Поэтому для определения произвольных постоянных, возникающих при решении задачи, необходимы некоторые условия. Условия для нахождения произвольных постоянных в

задаче с подвижными границами называют условиями трансверсальности.

Найдем эти условия, взяв за основу необходимое условие существования экстремума функционала :

:

53

9x)

Рис. 2.

Второй интеграл в этой сумме оценим по теореме о среднем

Приближенно можно считать

(2)

В первом интеграле этой суммы заменим приращение по переменным

дифференциалом (или представим по формуле Тейлора для функции двух переменных с точностью до линейных слагаемых):

54

С учетом того, что точка закреплена а искомая кривая удовлетворяет уравнению Эйлера :

получаем для вариации фукнционала выражение

С учетом того, что

Таким образом, необходимые условия существования экстремума

функционала записываются в виде:

(4)

При условии перемещения правой граничной точки по кривой полу-

чаем для вариации функции

55

Поэтому условия (4) имеют вид:

(5)

Полученное условие и называют условием трансверсальности.

Если левая граничная точка также перемещается по кривой , то добавляется аналогичное условие

(5a)

Частные случаи условий трансверсальности

1.Если одна из граничных точек, например, правая перемещается по горизонтальной прямой то и условие трансверсальности записываем как

(6)

2.Если задана абсцисса одного из концов, а граничное условие отсутствует, то это означает, что граничная точка может перемещаться по вертикальной прямой, например, . Тогда вместо условия трансверсальности записывают условие

56

Шаг 2. С учетом того, что искомая кривая и линии, по которым перемещаются граничные точки, должны пересекаться, получаем условие:

В данной задаче: ,

Шаг 3. Записываем условия трансверсальности

57

С учетом условия (8):

Шаг 4. Для определения решаем систему уравнений

Вычитая из первого уравнения системы второе, получаем

.

Подставляя в третье уравнение системы, получаем соотношение между

Подстановка этого соотношения в первое уравнение системы дает:

Тогда Из четвертого уравнения системы получаем

Уравнение искомой кривой:

Расстояние между параболой и прямой:

РГР 11 (0,152 ЗЕ)

Задача на принцип максимума Л.С. Понтрягина

Литература

Гюнтер Н.М. Курс вариационного исчисления [электронный ресурс] / Н. М. Гюнтер. – СПб.: Лань, 2009. – 320 с.

Содержание работы

Получить представление о решении задач управления с использованием принципа максимума Л.С. Понтрягина

Теоретическое введение

Принцип наименьшего действия в механике.

Наиболее общей формой закона движения в механике является принцип наименьшего действия. Согласно этому принципу механическая система полностью задается координатами и скоростями (импульсами ) элементов системы при помощи функции Лагранжа L L(x, x ,t) Eкин Eпот , которая является разностью между кинетической и потенциальной энергиями системы. Движение между двумя точками x(t1) x1 и x(t2 ) x2 всегда происходит таким образом, чтобы

значение. Другими словами траектория движения x(t) должна быть экстремалью и удовлетворять уравнению Эйлера, которое в механике называют уравне-

Используя выражение для кинетической энергии, представляем функцию Ла-

гранжа в виде L m(x )2 2