VbIshka / Специальные главы математики 2
.pdf1
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кузбасский государственный технический университет имени Т. Ф. Горбачева»
Г. А. Казунина
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ направление подготовки 140400.62
профиль 140410 «Электропривод и автоматика»
Методические указания к практическим занятиям
Рекомендовано учебно-методической комиссией направления 140400.62 «Электроэнергетика и электротехника»
Кемерово 2013
2
Рецензенты: Жирнова Т. С. – доцент кафедры математики
Каширских В. Г. – председатель учебно-методической комиссии направления подготовки 140400.62 «Электроэнергетика и электротехника»
Казунина Галина Алексеевна. Специальные главы математики.
[Электронный ресурс]: методические указания к практическим занятиям для студентов направления подготовки 140400.62 «Электроэнергетика и электротехника», профиль 140410 «Электропривод и автоматика» очной формы обучения / Г. А. Казунина - Электрон.дан.- Кемерово: КузГТУ, 2013. - Систем. требования: ПК, поддерживающий Microsoft Windows–97 и выше, - Загл. с экрана.
Содержит примерные задания для практических занятий. Включает необходимые справочные материалы, ответы к задачам, контрольные вопросы, список литературы Предназначено для организации работы студентов под руководством преподавателя на практических занятиях с целью овладения студентами математических методов решения задач.
КузГТУ
Казунина Г.А.
3
ВВЕДЕНИЕ
Представленные методические указания направлены на организацию работы студентов на практических занятиях при изучении дисциплины «Специальные главы математики» с целью закрепления теоретического материала, формирования навыков и умений решения математических и инженерных задач, построения математических моделей процессов.
В качестве теоретического материала следует опираться на литературу, список которой приводится в конце методических указаний.
Рабочей программой дисциплины предусмотрен 34 часа (0,944 ЗЕ) практических занятий в 3 семестре (2 курс).
Практическое занятие 1. Запись решений линейных дифференциальных уравнений и систем в теории управления. Передаточная функция. Импульсная и переходная характеристики. Запись решений линейных дифференциальных уравнений при помощи свертки.
Литература [1, 11]
Задачи.
Для динамических систем, заданных дифференциальными уравнениями, найти следующие характеристики:
1. Передаточную функцию H ( p) Y ( p) - отношение изображения по
X ( p)
Лапласу выходного сигнала к изображению входного сигнала при нулевых начальных условиях
2. Импульсную переходную характеристику систем
( реакцию системы на импульсное входное воздействие) w(t) H ( p) 3. Переходную характеристику системы (реакцию системы на ступенчатое
t
воздействие) h(t) w( )d
0
4.Найти реакцию системы на входное воздействие двумя способами а)
операторным методом, б) методом свертки
А) x(t) eat (t)
|
0, |
t 0 |
|
|
|
0 t |
T |
В) |
x(t) E, |
||
|
0, |
t T |
|
|
|
|
|
4
5. Найти частотную передаточную функцию
S( ) H (i ) A( )ei ( ) U ( ) iV ( ), а также
А) амплитудно – частотную характеристику
A( ) H (i ) 
U 2 V 2 
H (i )H ( i )
В) фазово-частотную характеристику
|
V ( ) |
||
|
( ) аrctg |
|
. |
|
|
||
|
U ( ) |
||
|
С) Постройте графики функций |
||
( , |
A( )), ( , ( )), |
(U ( ), V ( )) . Примечание: последний |
|
график можно построить как функцию параметра ω, используя компьютер.
1) Ty y kx(t) , 2) y 4 y 5y kx(t) , 3) y kx(t)
Практическое занятие 2. Z-преобразования. Прямое и обратное преобразования. Решение разностных уравнений и систем.
Литература [1,11]
Теоретические сведения.
Некоторые свойства преобразований:
1. |
~ |
~ |
x n y n X (z) |
Y (z) , |
|
2. |
~ |
|
x n 1 z( X (z) x 0 ) |
||
|
~ |
|
|
x n 2 z(zX (z) zx 0 x 1 ) |
|||
x n 3 z(z |
2 ~ |
2 |
x 0 zx 1 x 2 ) |
X (z) z |
|||
5
Z - ИЗОБРАЖЕНИЕ ОСНОВНЫХ РЕШЕТЧАТЫХ ФУНКЦИЙ
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x n , |
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X (z) |
|
|||||||
1, |
n 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1, n l, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
n l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z l |
|||||||||
|
0, n l. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
a |
n |
|
|
|
|
|
|
|
z / (z a) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
z / (z 1) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
z / (z 1)2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nan |
|
|
|
|
|
|
|
az / (z a)2 |
|||||||||||||
e an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z / (z ea ) |
|||||||||||
ean |
|
|
|
|
|
|
|
z / (z e a ) |
|||||||||||||
e anT |
|
|
|
|
|
|
|
z / (z eaT ) |
|||||||||||||
sin n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z sin |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
|
2z cos 1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
cos n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z(z cos ) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z2 2z cos 1 |
||||||||||||||
sh n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zsh |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
z |
2 |
|
2zch 1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
ch n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z(z ch ) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
z |
2 |
2zch 1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
e an sin n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ze a sin |
|
|||||||||
|
z2 |
|
2ze a cos e 2a |
||||||||||||||||||
e an cos n |
|
|
|
|
|
|
z2 ze a cos |
|
|||||||||||||
|
z2 |
|
2ze a cos e 2a |
||||||||||||||||||
6
ne an |
|
|
|
ze a |
|
|
|
|
|
|
|
(z e a )2 |
|
|
|
||
|
|
|
1 a cos z 1 |
|
|
|
||
an cos n |
|
|
|
|
|
|
||
1 2a cos z 1 a 2 |
z 2 |
|
||||||
|
|
|
|
a sin z 1 |
|
|
|
|
an sin n |
|
|
|
|
|
|
||
|
1 2a cos z 1 a 2 |
z 2 |
|
|||||
Задачи. Решите разностные уравнения и системы:
1) |
x n 2 2x n 1 x n 0 |
|
|
|
|
|
|
x 0 4, |
x 1 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
4z2 3z |
4 n. |
||
|
|
|
(z 1)2 |
||||
|
|
|
|
|
|||
|
x n 1 2x n 2 y n 3n |
x n |
1 |
|
(1 3 2n 22n 1 ) |
||
|
y n 1 x n 3y n 2n |
3 |
|||||
2) |
Ответ: y n |
|
3n 1 1) . |
||||
x 0 y 0 0 |
1 |
(22n 2 |
|||||
|
6 |
||||||
|
|
|
|
|
|
||
Практическое занятие 3. Случайные процессы. Примеры случайных процессов. Корреляционная функция. Спектральная плотность.
Литература [2,10,11]
Задачи.
1.По заданной ковариационной функции стационарного случайного процесса K X ( ) найти
|
|
1 |
|
||
а) спектральную плотность SX ( ) : SX |
( ) |
|
|
K X ( )e i d |
|
|
|||||
|
|
|
|||
б) время корреляции (эффективную длительность автокорреляционной функции)
7
|
2 |
|
|
K X ( ) |
|
d , |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с) эффективную ширину спектра : |
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
SX |
( )d |
2 X |
|
||||
|
|
|
|
|
|
max SX |
( ) |
||||
|
|
max SX ( ) |
|
||||||||
д) среднюю мощность случайного процесса (дисперсию)
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
DX X2 |
K X |
(0) |
|
SX ( )d |
|
|||
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
1) K X |
( ) |
|
|
|
|
|
2) |
KX ( ) X |
cos 0 |
( 2 |
a2 ) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
2. По заданной спектральной плотности стационарного случайного процесса
SX |
( ) |
Ab |
, A const, b const |
найдите: |
||
|
|
|||||
( 2 |
b2 ) |
|||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
||
а) автоковариационную функцию K X ( ) |
|
|
SX ( )ei d |
|||
2 |
||||||
|
|
|
|
|||
б) дисперсию (среднюю мощность случайного процесса) |
||||||
|
1 |
|
|
|
||
DX X2 K X (0) |
|
|
SX ( )d |
|||
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|||
с) эффективную ширину спектра:
Практическое занятие 4. Преобразование стационарных случайных процессов линейными системами
Литература [2,10,11]
Задачи.
На вход линейной динамической системы подается случайный сигнал, заданный спектральной плотностью или автоковариационной функцией.
Найдите характеристики сигнала на выходе системы: KY ( ) , SY ( ) ,
среднюю мощность случайного процесса. Сравните дисперсии (средние
мощности) на входе и выходе системы: x 2 DX |
X2 |
и |
y2 D |
2 |
, |
|
|
|
Y |
Y |
|
8
сравните эффективную ширину спектра и эффективное время корреляции на входе и выходе системы. При решении задачи используйте связь между
спектральной плотностью на входе и выходе системы:
S |
( ) |
|
H (i ) |
|
2 |
S |
X |
( ) |
|
H (i )H ( i ) |
|
S |
X |
( ) |
|||
|
|
|
|
||||||||||||||
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
KY |
( ) |
|
|
|
|
SY ( )ei d |
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Дифференциальные уравнения линейных систем:
1)2 y (t) y(t) 3x(t)
2)y (t) y(t) x(t)
Возможные входные сигналы: а) белый шум, б) низкочастотный белый шум
|
|
2 |
|
|
|
|
S ( ) |
X , |
|
и S ( ) 0, |
|||
|
||||||
X |
0 |
|
0 |
X |
||
с) сигнал с автоковариационной функцией
K X ( ) X2 |
exp( |
|
|
|
), |
M X 0, |
|
|
д) сигнал с автоковариационной функцией
0 ,
KX ( ) X2 cos 0
Практическое занятие 5. Автономные линейные дифференциальные уравнения и системы. Фазовая плоскость. Фазовые портреты. Качественная эквивалентность.
Литература [3,8,11]
Задачи.
1.Построить фазовые портреты для автономных дифференциальных уравнений первого порядка. Разбить уравнения на классы качественно эквивалентных и для каждого класса схематично построить интегральные кривые:
1) |
|
2) |
|
|
|
3 |
|
|
x (t) 4x |
x (t) (x 3) |
|
3) x (t) (x 2) |
|
|
|||
|
|
|
3 |
5) x (t) x |
2 |
6) x (t) (x 2) |
2 |
|
4) x (t) (x 1) |
|
|
|
|||||
9
|
4 |
8) x (t) x |
2 |
1 |
9) x (t) (x 2)(x 3) |
7) x (t) (x 4) |
|
|
2.Для приведенными дифференциальных уравнений найдите точные уравнения фазовых траекторий и схематично постройте их
1) y 2 y 0 |
2) y 4 y 3y 0 |
3) y 2 y y 0 |
4) y 4 y 5y 0 |
Практическое занятие 6. Анализ качественно различных систем линейных дифференциальных уравнений второго порядка.
Литература [3,8,11]
Задачи.
Для приведенных дифференциальных уравнений выполнить действия:
а) преобразовать линейные дифференциальные уравнения второго порядка в равносильную систему линейных уравнений и записать в матричной форме, б) найти собственные значения матрицы системы и определить по ним жорданову форму матрицы и тип фазового портрета, в) сделать вывод об устойчивости нулевого решения.
1) y 2 y 0 |
2) y 4 y 3y 0 |
3) y 2 y y 0 |
4) y 4 y 5y 0 |
Практическое занятие 7. Решение однородных линейных систем линейных дифференциальных уравнений при помощи матричной экспоненты.
Литература [3,8,11]
Задачи.
Решите однородные системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка различными методами
а) с использованием матричной экспоненты X eAt X 0
б) операторным методом. Начальные условия заданы в момент
t 0, X |
|
x(0) |
|
x |
|
0 |
X (0) |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
y(0) |
|
y0 |
|
x 2x y
1)y x 2 y
10
x 3x y
2)y x y
x 2x 3y
3)y 3x 2 y
Практическое занятие 8. Решение неоднородных линейных систем линейных дифференциальных уравнений при помощи матричной экспоненты.
Литература [3,8,11]
Задача.
Решите неоднородную систему, используя метод матричной экспоненты:
|
t |
|
|
|
X (t) eAt X 0 eAt e A F ( )d . |
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
x 5x y |
|
1, |
y(0) 6 |
|
|
, x(0) |
||
y x 3y 36e2t |
|
|
|
|
Практическое занятие 9. Контрольная работа «Матричные методы решения систем линейных дифференциальных уравнений».
Литература [3,5,13,14]
Содержание работы: 1. Решение однородной системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка при помощи матричной экспоненты, 2. Решение неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка при помощи матричной экспоненты.
Практическое занятие 10. Устойчивость решений линейных дифференциальных уравнений и систем. Критерий Гурвица. Критерий Михайлова.
Литература [3,6,8,11]
Задачи.
1.Исследуйте устойчивость нулевое решение для линейных дифференциальных уравнений и систем, используя критерии а) Гурвица б) Михайлова