Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

VbIshka / Задания Математика 1 семестр ЭА

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2016

Размер:

362.13 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

šКузбасский государственный технический университетŸ

Г.А. Казунина

МАТЕМАТИКА: ЗАДАНИЯ ДЛЯ АУДИТОРНОЙ И САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ СПЕЦИАЛЬНОСТИ 140604 (ЭА)

1семестр

Рекомендовано в качестве учебного пособия для самостоятельной работы учебно-методической комиссией специальности

140604 šЭлектропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексовŸ

Кемерово 2009

Рецензенты:


Алексеев Д.В., профессор	кафедры	Математики
Завьялов В.М., председатель	УМК специальности		140604

š Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексовŸ

Казунина Галина Алексеевна. Математика: задания для аудиторной и самостоятельной работы студентов специальности 140604 (ЭА) I семестр: учеб.пособие [электронный ресурс]: для организации самостоятельной работы студентов специальности 140604 š Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексовŸ/ Г.А. Казунина.- Электрон.дан.- Кемерово: КузГТУ, 2009.- 1 электрон. опт. диск (CD-ROM); 3в.; цв.; 12 см. – Систем. требования: Pentium IV; 0348 Мб; Windows 97; (CD-ROM дисковод); мышь. Загл. с экрана.

Пособие содержит задания для аудиторной и самостоятельной работы студентов очной формы обучения специальности 140604 (ЭА) в I семестре. Каждый раздел сопровождается контрольными вопросами, списком рекомендуемой литературы и справочными материалами. Задания соответствуют государственному образовательному стандарту и рабочей программе специальности.

ГУ КузГТУ

Казунина Г.А.

Задание1.

Срок сдачи заданий – 5 неделя

1.Функции. Техника дифференцирования.

1.По формулам функций, схематически построить их графики. В точках разрыва вычислить односторонние пределы и указать их характер.

y 5 4x x2		y \| x 2 4x 3 \|
y log1 / 2	\| t 2 \|	y log 3 (9 t 2 )
y 1/ \| x2	4x 3 \|	y exp( 1/ x 2 )

					1


				th	(x 2)	2
y arctg(1/ t	2	) ,	y		(x 2)		,
y arctg(1/ t		) ,	y				,

x 5

y2 2|x| x sin(3t)

z 1 / ln(t)

y 2 x2 . x 3

2. Раскрыть простейшие неопределенности:

lim

2x2 4

lim

5x4 x 1

lim

5x 1

x 3 5x2

x 3x3 5x2

lim

8x3

, lim

4x2

lim

4x2

x x

z log2 (t 3)

y1/ cos(t / 2)

yarctg(1/ t)

lim

(n 2)! (n 1)!

lim

2 x

, lim

x2 4x 5

2 x

x2 1

n (n 2)! (n 1)1

x 2x

x 1

lim

6 x

x 2 2x x2

x2 3x 2

x 5

4 x

lim

, lim

arcsin 2x

, lim

arctg4x

x 0

1 x 1

x 0

x 0 exp(2x) 1

lim ln(1 3x) , x 0 1 x 1

2x 1 x lim ,

x 2x 3

lim 1 cos 3x , x 0 x sin 2x

lim 1 2x3 1x3

x 0

x 1 x lim ,

x 2x 3

lim cos 6x ctg x

x 0

lim ln(e x) ctgx	, lim sin x tg 2 x ,	lim x ln(2 x) ln x
x 0	x	x
	x

3.Вычислить производные, используя линейность операции дифференцирования и правила дифференцирования произведения и частного:

y 7x13 13x7

t 3 t 4 t

y z3 3 z 2 z 7 3 z

y x

y ln(t 5 )

y log x (e) log2 (x)

y 5t cos(t)

y tg(x) ctg(x)

y 2 sh( z) cth(z)

y th(t) 2 cth(t)

y sin2 (x) cos2 (x)

y arcsin(x) arccos(x)

y z 2 arctg(z)

y (t 1) tg(t)

y 4 sin(x) cos(x)

y exp(t) sin2 (t)

y x 2 exp(x) ln(x)

sin(t) cos(t)

5z 6

arcsin(x)

z 7

2 3

arccos(x)

y arctg(x) x arcctg(x) y (x2

7x 8) exp( x)

y arcsin( x) arccos(x)

Вычислить производные, используя правило дифференцирования сложной функции (выписывать цепочку промежуточных переменных):

y (ax b) D

y 3(1 z3 )(z3 1) y exp( t) ln(2t 1) y 2x log4 (x)

y ln(ln(ln(x)))

tg2 (x)

tg(x2 )

y ln(z 1 z2 )

y 3

1 x3

y x7 / ln( x)

y 3(3t 8) y (1 x)100

x(t) A cos( t )		y cos(1 z)ctg(z 1)
y exp( z 2 / 2)		y ctg(x2 ) tg2 (2x)
y arctg(exp( t))		y ln(sin(z))
	1 x		sin 2 (t)		cos2	(t)
y ln		y

	1 x	1 ctg(t)		1 tg(t)

2x2

x2 1

y	t	t	t	t		y t{sin(ln(t)) cos(ln(t ))}
	y cos(2 arccos(x))					y ln(\| sin( x) \|)

			y x		a2 x2	a2 arcsin( x / a)

Самостоятельная работа

1.Свойства функций: четность, периодичность, монотонность, нули функции.

2.Выучить свойства и графики основных элементарных функций: степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции, гиперболические функции, обратные гиперболические функции

3.Дайте определение обратной функции. Для указанных функций найти выражение для обратной функции. Построить в одних координатных осях

графики прямой и обратной функций:

y ctg 2x,

arctgx ,

y thx ,

y shx ,

y chx ,

y cthx

4.Первый замечательный предел

5.Второй замечательный предел

Контрольные вопросы

1.Приведите примеры основных элементарных функций, которые являются четными

2.Приведите примеры основных элементарных функций, которые являются нечетными

3.Приведите примеры основных элементарных функций, которые являются бесконечно малыми в окрестности нуля.

4.Приведите примеры основных элементарных функций, которые являются ограниченными на бесконечности

5.Приведите примеры основных элементарных функций, которые являются бесконечно большими в окрестности нуля

Опишите основные свойства функции по формуле: y

(x 2)(x 3)

, y

x4 1

, y ln(x2 4) , y sin2 x ,

y exp( x2 )

4 1

8.Что такое неопределенности? Перечислите основные неопределенности.

9. Какие способы раскрытия неопределенности при условии x a Вы знаете?

Приведите примеры.

10. Приведите пример раскрытия неопределенности при условии x

11.Дайте определение функции, непрерывной в точке

12.Дайте определение точки разрыва первого рода. Приведите примеры

13.Приведите примеры точки устранимого разрыва

14.Дайте определение точки разрыва второго рода. Приведите примеры.

15.Дайте определение дифференцируемой функции и производной в точке

16.В чем состоит геометрический смысл производной?

17.Под каким углом график функции y (exp x) 1 пересекает ось абсцисс?

18.В чем состоит физический смысл производной?

19.Найдите приближенное выражение для приращения объема V при изменении давления на p при условии постоянства температуры T , если V , p,T связаны законом

pV RT ,

R const

20. Вычислить приближенно значение функции при помощи дифференциала

y arccos(ln x), x 0,98

21.Как связаны производные прямой и обратной функции?

22.Сформулируйте правило дифференцирования сложной функции

Литература

1.Алексеев Д.В. , Казунина Г.А., Алексеевская Г.В. Элементарные аналитические методы и свойства основных элементарных функций . Кемерово. Куз ГТУ .1998

2.Математика. Методические рекомендации для контроля качества знаний студентов. Составители: Д.В. Алексеев, Г.А. Казунина, А.В. Бирюков Кемерово . Куз ГТУ .2005

3. Шипачев В.С. Высшая математика - любое издание

Справочные материалы

Таблица простейших производных и интегралов

1.	(x	a		ax	a 1	,														x	a	dx		x						a 1				/ (a 1), a 1.
1.	(x		)	ax		,														x		dx		x										/ (a 1), a 1.
2.																				(1 / x)dx ln(\| x\|) .
2.	ln (x) 1/ x ,																			(1 / x)dx ln(\| x\|) .
3.																				exp(ax)dx (1 / a) exp(ax) .
3.	(exp(ax)) a exp(ax) ,																			exp(ax)dx (1 / a) exp(ax) .
4.																				cos(ax)dx (1/ a)sin( ax) .
4.	sin (ax) a cos(ax) ,																			cos(ax)dx (1/ a)sin( ax) .
5.																				sin(ax)dx (1 / a) cos(ax) .
5.	cos (ax) a sin( ax) ,																			sin(ax)dx (1 / a) cos(ax) .
6.								2	(x) ,											(1/ cos							2	(x))dx tg(x) .
6.	tg (x) 1/ cos								(x) ,											(1/ cos								(x))dx tg(x) .
7.											2	(x) ,								(1/ sin						2		(x))dx ctg(x) .
7.	ctg (x) 1/ sin											(x) ,								(1/ sin								(x))dx ctg(x) .
																				(1 /
8.											1 x					2		,						1 x								2		)dx arcsin(x) ,
8.	arcsin (x) 1/										1 x							,						1 x										)dx arcsin(x) ,

												1 x							2	.
	arccos (x) 1/											1 x								.
9.													2		) ,					(1/(1 x									2		))dx arctg(x) ,
9.	arctg (x) 1/(1 x														) ,					(1/(1 x											))dx arctg(x) ,
																	2	) .
	arcctg (x) 1/(1 x																	) .
10.																				ch(ax)dx (1/ a) sh(ax) .
10.	sh (ax) a ch(ax) ,																			ch(ax)dx (1/ a) sh(ax) .
11.																				sh(ax)dx (1/ a) ch(ax) .
11.	ch (ax) a sh(ax) ,																			sh(ax)dx (1/ a) ch(ax) .
12.						2	(x) ,													(1/ ch					2		(x))dx th(x) .
12.	th (x) 1/ch						(x) ,													(1/ ch							(x))dx th(x) .
13.										2	(x) ,									(1/sh			2			(x))dx cth(x) .
13.	cth (x) 1/sh										(x) ,									(1/sh						(x))dx cth(x) .

14.									1 x						2		,			(1/ 1 x											2		)dx ln( x		1 x			2	) .
14.	Arsh (x) 1/								1 x								,			(1/ 1 x													)dx ln( x		1 x				) .

15.											x	2		1 ,						(1/			x			2		1)dx ln( x							x	2	1)
15.	Arch (x) 1/										x			1 ,						(1/			x					1)dx ln( x							x		1)

Задание 2.

Срок сдачи заданий – 9 неделя

1. Первообразная функция. Неопределенный интеграл. Элементарные приемы интегрирования

1. Найти интегралы, используя линейность операции интегрирования:

(2 x)2

ctg 2 (x)dx

(1 2x2 )

(1 x

)

cos(2x)

(3 2x 2 3x )

tg2 (x)dx

sin2 (x) cos2 (x)

exp( x)

sin 2 (x / 2)dx

cos2 (x / 2)dx

2.Найти интегралы, пользуясь подведением производной под дифференциал f ( (x)) (x)dx f (t)dt :

sin (3x 2)dx

	tg3 (x)					dx
cos2 (x)						dx
cos2 (x)
					1			dx

		1 x2
		1 x2				arcsin(x)
		x2					dx
	(1 x		3	)		4	dx
	(1 x			)

(x3 3x2 1 / 4)

(x4 4x3 x 3)5 dx

sin( x)

(1 cos(x))3 dx

sin(2x) cos(3x) dx

1		dx

	5x 2

arctg3 (x)		dx
1 x2

3 x2 dx

(2x 3)

(x2 3x 2)7 dx

6x 7

3x2 7x 1 dx

2x 1

(x2 x 2)2 dx

cos4 (x)

sin 2 (x) dx

ax b dx,

x ln4 (x) dx

ex cos(ex )dx

1 9x dx

x2 x3 2dx

x x 1

cos3 dx

3.Найти интегралы, разбивая правильные дроби на сумму простейших дробей или выделяя целую часть и остаток для неправильных дробей:

	1	dx		1	dx		1	dx
	x(x 1)			(x 1)(2x 3)			x2 1


x4
x2 1
	dx
1		dx
(x a)(x b)

x2	1				(x 1)2
			dx					dx
x2					x2
	1					1
x3					x5
		dx					dx

x 1				x 1

4. Найти интегралы при помощи замены с выделением полного квадрата

(можно использовать формулы ax2 bx c a(x b / 2a)2

(c b2 / 4a) ,

t x b / 2a ):

4x2

x2 2x 2

4x 3 x2

4x 5

8 6x 9x

2x 5

4x 5

5.Найти интегралы, преобразуя подынтегральные функции указанными заменами переменных:

dx,

x z2

dx, x z6

1 x

x 3

dx, z 3 ex

dx, z3 x

5 3 ex

1 3 x

, t 3 x

, t x 2

3x 3 x2

x4 1

6. Найти интегралы, используя формулу интегрирования произведения


( интегрирование по частям) u(x)v	(x)dx u(x)v(x) u (x)v(x)dx. :

x exp(5x)dx

x2 exp(x)dx

arcsin(4x)dx

e2 x cos(3x)dx x arctg(x)

1 x2 dx

x cos(2x)dx

xctg 2 xdx

arctg(3x)dx

ln(1 x2 )dx

	x arcsin(x)
				dx


	1 x2

x2 ln(x)dx

arcsin2 xdx

ln 2 xdx

arcsin( x) dx

1 x

ex sin(x)dx

7.Найти интегралы, комбинируя рассмотренные выше элементарные приемы:

x arccos(x2 )dx	exp(x2		(
		ln(x))dx		sin(x) cos(x))2 dx

(8x 11)

(x2

x 1)

5 2x x

sin4 (x)

cos6 (x)

1 4

x 1

2 x

1 x

(1 x)1 ln2 (1 x) dx

cos( x ) dx x

2.Определенный и несобственный интегралы

1.Вычислить определенные интегралы, используя формулу Ньютона-Лейбница

1/ 2

arcsin xdx ,

1 x

x ln x

3 x

x2 1

1. Вычислить, используя свойства определенного интеграла

.3 (2x7 x5 2x3 x 1)dx

/ 2

, (cos2 x x4 sin x)dx ,

cos xthxdx

cos2 x

/ 3

/ 2

2. Вычислить несобственные интегралы или исследовать их на сходимость

x2dx							dx					x dx				e	dx		1 exp(1/ x)dx
		,							,						,			,
																					x3
											3 4 x7
1 1 x6			e2			x ln3 x				1	3 4 x7					1 x ln x			0
	dx					arcsin(1/ x)dx
				,

							1 x				x
e2 x ln(ln x)						1	1 x				x
							3.Числовые и функциональные ряды
														1		n	1					1	n			1	n
														1			1					1				1
1. Найдите сумму ряда:										2								,		4			5					,
1. Найдите сумму ряда:										2				2			4n	,		4		5	5			4		,
										n 1				2			4n		n 0			5				4

	1								2n 1
	1				,				2n 1				Ответы: -1/3,						1,		11/18,		11/12.
					,			n(n2 1)					Ответы: -1/3,						1,		11/18,		11/12.
n 1	n(n 3)						n 3	n(n2 1)
																					2n				n3 4n
2. Исследуйте на сходимость числовые ряды:																							,						,
2. Исследуйте на сходимость числовые ряды:																							,			n3	5		,
																		n 1(n 3)5n						n 1		n3	5

(2n 1)!

arctg

n 1(4n 3)3n

n 1

2 2

exp( n

) ,

narctg

3 ,

n 1

		1				( 1)n 1n3			( 1)n 1
				,			,
			2			3n
										n 2
n	3 n ln n(ln(ln n))				n 1			n 1		n 2

3. Для функциональных рядов найдите область сходимости, радиус сходимости, исследуйте поведение ряда на границах области сходимости:

n(x 4)

, 4

n 1

n 1n(x 2)n

n 0

n 1 n!

3. Найдите суммы рядов и укажите область сходимости:

xn ,

( 1)n xn ,

nxn ,

n2 xn ,

e nx ,

n 0

n 1

n 0 n!

Самостоятельная работа

1. Некоторые геометрические и физические приложения определенного интеграла:

а) вычисление площади криволинейной трапеции б) вычисление площади криволинейного сектора ( полярная система координат) в) вычисление объема тела вращения г) вычисление длины дуги кривой

д) вычисление работы переменной силы е) вычисление давления ж) вычисление момента инерции

Задачи:

1. Найдите площадь фигуры, ограниченной кривыми:

1) y 4 x2 , x2 2x y 0 ,

x2 2x y 0

2)y arctgx, y arcctgx, x 3

3)y x 4; y 4 x; x 8

4)3 сos4

2. Найдите объем тела , образованного вращением фигуры, ограниченной линиями, вокруг заданной оси:

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке VbIshka

#
16.03.2016362.13 Кб10Задания Математика 1 семестр ЭА.pdf
#
16.03.20162.69 Mб26Математика 2 Семестр.pdf
#
16.03.2016430.9 Кб8Метод.Указания для практических занятий.pdf
#
16.03.20161.13 Mб12Метод.Указания для самостоятельной работы студентов.pdf
#
16.03.2016474.13 Кб14Специальные главы математики 2.pdf
#
16.03.20161.16 Mб62Специальные главы математики.pdf