VbIshka / Специальные главы математики

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

при любых начальных условиях

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2016

Размер:

1.16 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

x22 cx1 .

Для построения фазовых траекторий в случае ™седла¡ и ™вырожденного узла¡ нужно, прежде всего, найти фазовые траектории, которые лежат на прямых, проходящих через начало координат. Эти направляющие прямые - сепаратрисы всегда направлены вдоль собственных векторов матрицы А. Для особой точки типа ™узел¡ траектории касаются той прямой, которая направлена вдоль собственного вектора, соответствующего меньшему по абсолютной величине значению .

Уравнения направляющих прямых можно найти, положив x2 = kx1 ,

dx1 3 2 x2 dx2 x1

1 3 2k; 2k 2 3k 1 0; k

k 1;	k 1		; x x ;		x	1 x .
1	2	2	2	1	2	2	1
		2				2
x2	e2 ( 1 )						x2
			e1 ( 2 )
x1			ˆ				x1
			T

Сохранение характера фазового портрета типа ¦неустойчивый узел§ при переходе к новой системе координат

ВАРИАНТЫ

1. Построить фазовые портреты для автономных дифференциальных уравнений первого порядка. Разбить уравнения на классы качественно эквивалентных

и для каждого класса схематично построить интегральные кривые:

									3
1) x (t) 2x,					2) x (t) x			3) x (t) (x 2)
4) x				3		2				2
4) x	(t) (x 1)				5) x (t) x			6) x (t) (x 2)
		4)	4			2	1
7) x (t) (x		4)			8) x (t) x		1	9) x (t) (x 2)(x 3)

10) x (t) x(x 1)					11) x (t) x(2 x)
12) x						13)
12) x	(t) x(x 2)(x 1)					13)		x (t) (x 1)(x 2)(x 3)

2. Над приведенными дифференциальными уравнениями выполнить действия

а) Преобразовать линейные дифференциальные уравнения второго порядка в равносильную систему линейных уравнений и записать в матричной форме,

б) Найдите собственные значения матрицы системы и определите по ним жорданову форму матрицы и тип фазового портрета,

в) Найдите точные уравнения фазовых траекторий и схематично постройте их,

с) Сделайте вывод об устойчивости нулевого решения.

1) y 4 y 0	2) y 3y 2 y 0
3) y 2 y y 0	4) y 4 y 5y 0

но выполнить, используя матрицу экспонентой:

РГР 6 (0,154 ЗЕ)

Решение систем линейных дифференциальных уравнений методом матричной экспоненты

Литература

1.Алексеев Д.В., Казунина Г.А., Трушникова Н.В. Дифференциальные уравнения с элементами теории устойчивости: учеб. пособие [электронный ресурс] / КузГТУ. – Кемерово, 2010.

2.Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости [электронный ресурс]. – СПб.: Лань, 2008.

Содержание работы

Освоение метода матричной экспоненты для решения линейных дифференциальных уравнений и систем

Теоретическое введение

Запись решения линейной однородной системы в матричной форме удоб- e A t , которая называется матричной

e At E

(At)2

...

(At)k

...

Поскольку справедливо соотношение de A t / dt

Ae At , прямой подста-

новкой e A t

в систему

убеждаемся,

что X e At - решение.

x (t)

x (t

)

Обозначив X

- матрицу искомых функций,

x (t)

x (t

)

матрицу столбец начальных условий, получаем решение системы в компактном виде

X eA(t t0 ) X0

или

X eAt X	0	при t0 0
	0

Матрицу e A t будем находить согласно преобразованию подобия

e At TeJ tT 1,

где матрицу e J t будем определять по собственным значениям матрицы А и виду матрицы J из таблицы.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Вид матрицы e Jt легко получается непосредственной подстановкой в формулу

3. eJt E

(Jt)2

...

(Jt)k

...

k !

ЗАМЕЧАНИЕ 2.

Кроме того, матрица e A t

может быть найдена по формулам

а) для случая различных собственных значений (действительных или ком-

плексных)

A 1E

4. e

A 2E

;

1 2

б) для случая одинаковых собственных значений 1 2 0

e At e 0 t E t A E ,

где E

Таблица. Определение вида матрицы e J t

Характер собственных	J	e Jt
значений

			0	e 1t				0
		1
1	2	0			0	e		2 t
		0	2		0	e
			1		0t			0t
		0		e		t e
1 2	0	0					t
		0			0	e		0
			0		0	e

Характер собственных	J	e Jt
значений

	i	e t	cos t	e t sin t
1,2				t
	0	t	sin t	t
	0	e	sin t	e	cos t

Исходя из вышеизложенного, алгоритм нахождения решения можно разделить на несколько шагов. Рассмотрим это на примере.

ПРИМЕР. Найти решение системы
		dx1	3x		2x
			3x		2x
		dt		1		2
		dt
		dx2	4x		3x
			4x		3x
		dt		1		2
		dt
		x		(0)			0
X		1				x1		.
X	0					x	0	.
		x2		(0)		x	0
							2

Шаг 1. Запишем матрицу системы A		3	2
Шаг 1. Запишем матрицу системы A				.
			3
		4	3
Найдем след и определитель матрицы системы:
Sp A 3 3 0 , DetA	3	2	9 8 1 0.
	3	2
	4	3
	4	3

Отрицательное значение определителя Det A < 0 свидетельствует о том, что неподвижная точка x1 x2 0 является неустойчивым положением равновесия, а фазовый портрет является ™седлом¡.

Шаг 2. Запишем характеристическое уравнение матрицы А и найдем собственные значения матрицы А

3	2
5.	0

1 1; 2 1 - действительные и различные.

Шаг 3. По виду собственных значений 1, 2 согласно таблице выбираем

матрицу

1		0
J		.
	0
	0	1

Шаг 4. Найдем матрицу перехода Т, решая матричное уравнение

J T 1AT TJ AT.

		a	b
Обозначаем	T
Обозначаем	T		d	. Тогда получаем
		c	d
		a	b	1 0	3	2 a	b


		c	d	0 1	4	3 c	d

a	b	3a 2c

			4a 3c
c	d		4a 3c

Приравнивая элементы матрицы, стоящие ем систему уравнений:

3b 2d

4b 3d .

на одинаковых местах, получа-

3a 2c a ;	3b 2d b;
4a 3c c;	4b 3d d,

которая имеет множество решений, удовлетворяющих соотношениям

a c

2b d .

Выбирая простейшее из этих решений, получаем матрицу перехода

			T	1	1
			T			.
					2
				1	2
Шаг 5. Находим обратную матрицу T 1 :
	T 1	1	t	t			2		1
DetT 1;		1	22	12
DetT 1;			22	12
		DetT	t21	t11				1	1	.
		DetT	t21	t11				1	1

Шаг 6. Проверяем правильность нахождения Т и T 1 подстановкой в выражение

T	2		1 3		2 1		1	1		0	J
	1AT											.
		1	1	4	3		2		0
						1				1

Шаг 7. По виду матрицы J выберем матрицу e Jt по таблице.

eJt

и находим матрицу e A t :

t .

Шаг 8. Запишем решение системы

X 0

(2et e t ) x

( et e t )

2e t ) x

( et 2e t )

(2et

Эта запись удобна тем, что позволяет сразу находить решение системы

Варианты

1. Решите однородные системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка различными методами

а) с использованием матричной экспоненты X e At X 0

б) операторным методом. Начальные условия заданы в момент

1)	x 2x y	2)	x x y	3)	x 3x y
1)		2)		3)
	y x 2 y		y 2x 2 y		y x y
4)	x x 2 y	5)	x 2x 3y
4)		5)
	y x y		y 3x 2 y

2. Решите неоднородные системы, используя метод матричной экспоненты:

X (t) eAt X 0 e At e A F ( )d

ПРИМЕР. Найдем решение системы дифференциальных уравнений


		dx1		2x 9x				2	e5t
				2x 9x					e5t
		dt				1
		dt									.
			dx2								.
			dx2			x	8x			2
						x	8x
				dt		1
				dt												5t
					1						A	2	9			5t
при начальных условиях	X				1	и матрицах					A		;	F(t) e
при начальных условиях	X	0				и матрицах
		0										1	8		0
					0							1	8		0

прежде всего находим собственные значения матрицы					A :	1	2		0	5;
	3		4		T		1 4
матрицу перехода	T					1
		1	1	и обратную матрицу				1	3	.

Тогда матричная экспонента имеет вид

e At TeJtT 1	1 3t		9t
e At TeJtT 1	e5t			.
		t
		t	1 3t

Общее решение однородной системы:

1 3t

X 00 e

1 3t

Для нахождения X ч.н . найдем обратную матрицу e At заменой t на –t в выражении для матричной экспоненты e A t :

	At		5t 1 3t		9t
e		e
e		e		t	.
				t	1 3t

Затем преобразуем подынтегральное выражение

				1 3	9	e	5	1 3
	A		5			e
e	A	F ( ) e	5
e		F ( ) e			1 3
					1 3	0
						0

и находим интеграл

t		t					3 2

			1 3
	e A F( )d		1 3		2
	e A F( )d			d	2
						2
						2
0		0
0		0			2
					2

В результате частное решение имеет вид

			3t2
t	t

				2
				2
0		t		2	.
		t

		2
		2

1 3t

eAt

e A F( )d e5t

2 e5t

2 .

ч.н.

1 3t

Полное решение исходной системы записывается в виде

3t 2

1 3t

X (t)

2 e5t

e5t

t 2

или

x t

e5t

1 2t

t e5t t

			30
ВАРИАНТЫ:
	x y		x x y
1)		2)
y x et e t		y 3y 2x 2(t 1)et

	x 5x y	y(0) 6
3)	, x(0) 1,	y(0) 6
y x 3y 36e2t

3. Проанализируйте линейные дифференциальные уравнения высших по-

рядков.

а) перепишите дифференциальные уравнения высших порядков в равносильную систему уравнений первого порядка.

б) запишите систему в матричной форме.

в) найдите собственные значения и жорданову форму матрицы системы.

г) установите, из каких элементарных блоков более низких порядков формируется жорданова форма.

ВАРИАНТЫ:

1) y 8 y 0

2) y( 4 ) y 0

3) y 3y 2 y 0

РГР 7 (0,139 ЗЕ)

Анализ устойчивости линейных систем. Критерии Гурвица, Ми-

хайлова

Литература

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке VbIshka

#
16.03.2016362.13 Кб10Задания Математика 1 семестр ЭА.pdf
#
16.03.20162.69 Mб26Математика 2 Семестр.pdf
#
16.03.2016430.9 Кб8Метод.Указания для практических занятий.pdf
#
16.03.20161.13 Mб12Метод.Указания для самостоятельной работы студентов.pdf
#
16.03.2016474.13 Кб14Специальные главы математики 2.pdf
#
16.03.20161.16 Mб62Специальные главы математики.pdf
#
16.03.20169.19 Mб31Специальные главы математики.ppt