VbIshka / Специальные главы математики

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Функция f z не имеет на контуре C

ни нулей, ни полюсов. Тогда справедливо

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2016

Размер:

1.16 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

1.Алексеев Д.В., Казунина Г.А. , Трушникова Н.В. Дифференциальные уравнения с элементами теории устойчивости: учеб. пособ.[электронный ресурс].- КузГТУ.- Кемерово.- 2010

2.Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости [электронный ресурс]: СПб.- Лань, 2008

3.Казунина Г.А. и др. Элементы теории функций комплексной переменной: учеб. пособ. – КузГТУ.- 2008

Содержание работы

Освоение способов анализа устойчивости линейных систем

Теоретическое введение

Во многих задачах, например, при создании конструкций, автоматических устройств важно знать не только конкретное решение задачи (дифференциального уравнения) при заданных начальных условиях, но и характер поведения решения при изменении начальных условий. Если сколь угодно малые изменения начальных условий X 0 способны сильно изменить решение системы

dX AX , dt

то решение системы не имеет никакого значения и даже приближенно не описывает изучаемое явление. Такое решение называется неустойчивым.

Устойчивым называют такое решение (или положение равновесия системы), когда малое изменение начальных условий X 0 влечет малые изменения решения системы. При этом вопрос об устойчивости решения системы

X t сводится к вопросу об устойчивости нулевого решения при нулевых начальных условиях.

В тех случаях, когда положение равновесия системы (неподвижная точка) не совпадает с началом координат (пусть это будет точка X0(t)), параллельный

			32
перенос координат	x t x	0	t z	смещает неподвижную точку в нача-
перенос координат	i	i		смещает неподвижную точку в нача-
ло координат новой системы.
Нулевое решение системы			X 0 при нулевых начальных условиях

X t0 X 0 0 называется устойчивым по Ляпунову, если для любого 0

можно указать такое ( ) 0 , что из неравенства

X (t0)

при всех t t 0 следует

X (t) ,

где обозначение X (t) xi2 - норма матрицы.

Другими словами, решение системы устойчиво, если матрица-решение

X t , t0 ограничена при t . Если, кроме того,

lim X (t) 0,

t ЃЁЃ‡

то решение системы называют асимптотически устойчивым.

Теорема об устойчивости решений.

Решения линейной однородной системы дифференциальных уравнений являются:

1) асимптотически устойчивыми, если действительные части собственных значений матрицы A строго отрицательны

Re i 0 ;

2)устойчивыми, если действительные части собственных значений матрицы A неположительны: Re 0 ;

3)неустойчивыми, когда среди собственных значений матрицы A имеется хотя бы одно с Re 0 .

Утверждения этой теоремы обобщают полученные в предыдущих главах результаты исследования характера устойчивости нулевых решений (положений равновесия) для систем второго порядка .

Вид собственных значений матрицы A второго порядка определяет характер фазового портрета в окрестности положения равновесия. При этом все устойчивые положения равновесия соответствуют условиям Det А > 0, Sp А ≤ 0 (при условии Sp А < 0 положение равновесия асимптотически устойчиво) и собственные значения матрицы A удовлетворяют условию:

Re 0 .

ПРИМЕР. Система

dx1 3x1 2x2 dt

dx2 2x1 x2 dt

имеет неподвижную точку (положение равновесия) в начале координат x1 0;

x 2 0 .

По матрице системы	3		2
	A
		2	1

cразу видно, что нулевое решение будет асимптотически устойчивым, так как

SpA	2	0;	DetA	1 0 . Найдя собственные значения матрицы
1 2		0	1 0 ,	убеждаемся в справедливости теоремы и уточняем ха-

рактер фазового портрета - ™устойчивый вырожденный узел¡. ПРИМЕР. Система

								34
									dx1			x
												x
										dt				3
										dx2			x
													x
										dt				1
								dx3			8x2
											8x2
									dt
		0	0			1
	A		0			0
	A	1	0			0	также имеет положение равновесия в начале ко-
с матрицей			8			0	также имеет положение равновесия в начале ко-
		0	8			0
ординат	x1 x2	x3	0 . Собственные значения матрицы A , найденные из
уравнения
							0	1					3 8 0,
							0	1
						1				0
						0	8
1 2;	2,3	1			i
1 2;	2,3	1		3	i	cвидетельствуют о неустойчивом характере решения

(0, 0, 0), так как имеются собственные значения, для которых реальные части

положительны Re 2 Re 3 1 0.

Втеории матриц существуют теоремы, которые позволяют сделать вывод

ознаке Re , не находя собственных значений непосредственно. Например, имеет место

Критерий Рауса-Гурвица

Действительные части всех корней характеристического уравнения отрицательны тогда и только тогда, когда положительны все главные диагональные миноры матрицы Гурвица.

Если характеристическое уравнение матрицы имеет вид

n a1 n 1 a2 n 2 ... an 1 an 0,

то матрица Гурвица - это матрица вида

a		1		0		0		......	0	0	0 ......	0
	1	a2		a1		1		......	0	0	0 ......	0
a3
a	5	a	4	a	3	a	2	a 1	0	0	0 ......	0	.
								1	....... ......
.... ...... ...... .....

.... ...... ...... ...... ....... .... ......												an
Критерий Рауса-Гурвица требует, чтобы выполнялись условия

a1	0;		a1	1	0;
a1	0;		a3	a2	0;
			a3	a2
		a1		1	0
		a1		1	0
		a3		a2	a1	0.
		a5		a4	a3

Для уравнения порядка n 3 характеристическое уравнение имеет вид

	3 a1 2 a2 a3 0 .
Матрица Гурвица имеет вид
		a		1	0
			1	a2	a1
		a3		a2	a1	,
				a4	a3
		a5		a4	a3
а условием устойчивости является требование
		a1	1		a1	1	0


a1	0;			0;	a3	a2	a1	0.
a1	0;	a3	a2	0;	a3	a2	a1	0.
		a3	a2		0	0	a3
					0	0	a3

ПРИМЕР. Проверить, при каких значениях параметров a и b нулевое решение уравнения

d 3 y a d 2 y b dy 2y 0 dt3 dt2 dt

aсимптотически устойчиво.

Характеристическое уравнение исходного дифференциального уравнения

иравносильной ему системы имеет вид

3 a 2 b 2 0 .

Здесь коэффициенты a1 a;		a 2		b;			a3	2 . Матрица Гурвица
		a		1	0
				b
		2		b	a .
				0
		0		0	2
Условие устойчивости имеет вид
	a	1				a	1	0


a 0;			0;			2 b a			0 ;
a 0;	2	b	0;			2 b a			0 ;
	2	b				0	0	2
						0	0	2
ab 2 0;				2 ab 2 0;
	b		2	;	ab 2.
	b		a	;	ab 2.
			a

Таким образом, нулевое решение будет асимптотически устойчиво при ус-

ловии a 0;

b 0;

ab 2 .

Логарифмический вычет и принцип аргумента

При рассмотрении вопроса об устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений главным является вопрос о числе корней характеристического многочлена линейной системы в некоторой области. Так для асимптотической устойчивости решений линейной системы

	dx
		AX
	dt

необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения матрицы системы

n a1 n 1 a2 n 2 ... an 1 an 0

лежали в левой полуплоскости, т.е. выполнялось условие

Re i 0 .

Один из способов решения этой задачи основан на результатах теории функций комплексного переменного, а именно на понятии логарифмического вычета и принципа аргумента.

Рассмотрим теорему.

Пусть функция комплексного переменного f z аналитична в области G за исключением конечного числа полюсов. Область D G и ограничена контуром C .

где N – число нулей, а P – число полюсов функции f z в области D с учетом их кратности.

Для доказательства покажем, что число z a , которое является нулем кратности


n для функции f z , для отношения	f z	является простым полюсом. Действи-
	f z
тельно, в силу условия

4. f z z a n z ; a 0 .

Тогда получаем

f z

n z a

z z a z

n 1

f z

z a n z

z a

Поскольку второе слагаемое в этой формуле является функцией, аналитической в точке z a , то разложение в ряд Лорана в окрестности этой точки имеет вид

	n
f z		Cn z a n .
f z	z a
		n 0

Из разложения следует, что главная часть ряда Лорана содержит только одно слагаемое и поэтому точка z a является простым полюсом, а вычет в этой точке совпадает с коэффициентом C 1 и равен кратности:

			f z			n .
		res
		res
		f		z	z a		f z полюсом поряд-
Далее покажем, что если число z b является для функции							f z полюсом поряд-

ка k , то для функции	f z	оно является простым полюсом.
ка k , то для функции	f z	оно является простым полюсом.
Действительно, по принятому условию
		f z	g z			; g b 0 .
		f z	z b k			; g b 0 .
			z b k

Тогда справедливо соотношение

f z

k z b

g z g z z b

g z

k 1

f z

g z z b k

z b

g z

Cn z b n

z b

n 0

всилу аналитичности функции z в точке z b . Из вида полученного разло-

жения в ряд Лорана следует, что главная его часть содержит только один член

ряда и поэтому точка z b

является для функции

f z

простым полюсом. Вычет

f z

функции в этой точке совпадает с коэффициентом С 1

и равен порядку полюса,

взятому со знаком минус:

f z

k .

res

z b

Далее по теореме о вычетах находим контурный интеграл

f z

2 i res

N P ,

2 i C

f z

2 i

k 1

f z

где N n1 n2 ... nr – число нулей с учетом кратности,

P k1 k2 ... km – число полюсов с учетом их порядка.

Следствием этой теоремы является соотношение, называемое принципом аргумента:

С arg f z N P ,

где C f z – приращение аргумента функции

f z при обходе кривой C

в поло-

жительном направлении.

f z аналитична на кривой C и не имеет нулей на

Действительно, по условию

этой кривой: f z 0 . Следовательно, в некоторой окрестности кривой C

можно

выделить

аналитическую

ветвь

функции

ln f z .

учетом

того

что

f z

, получаем для интеграла по контуру

f z

d ln f z

C ln f z .

2 i C

f z

2 i

Здесь C ln f z

– приращение функции ln f z при обходе замкнутого контура С

в положительном направлении. Поскольку ln f z ln

f z

i arg f z , где ln

f z

–

однозначная функция. Приращения логарифма модуля С ln

f z

0 , и все

при-

ращения функции f z совпадает с приращением аргумента:

C ln f z i C arg f z .

учетом

же

полученного выше

соотношения,

выражающего

интеграл

dz через число нулей и полюсов получаем:

2 i

w f z

			39
1	C	f z	dz	C arg f z	N P .
2 i		f z
				2

Если функция f z не имеет полюсов в области, охваченной контуром C , т.е.

Другими словами, приращение аргумента, разделенное на 2 , при обходе контура C совпадает в этом случае с числом нулей функции f z в этой области, ограниченной контуром.

Выясним геометрический смысл выражения

С arg f z . 2

Рассмотрим наряду с комплексной плоскостью z плоскость комплексного пере-

менного w f z . Каждый нуль функции f z	z a переходит в начало коорди-
нат w 0 на комплексной плоскости w . Пусть		z a окружена малым простым
замкнутым контуром . Тогда в плоскости		w этому контуру соответствует

замкнутый контур	(возможно с точками самопересечения), охватывающий
начало координат w 0 .
z		w	v
		f z w u iv
y
	a	0	u

При однократном обходе точки z a против часовой стрелки по контуру вектор совершает вокруг начала координат на плоскости w число полных оборотов, равное кратности нуля n .

Таким образом, если функция f z не имеет полюсов в некоторой области, то число нулей функции f z в этой области совпадает с числом полных оборотов вектора вокруг начала координат w 0 .

Критерий устойчивости Михайлова

Многочлен степени n

P z z n a1 z n 1 a2 z n 2 ... an 1 z an

является аналитической функцией на всей комплексной плоскости за исключением бесконечно удаленной точки. Для асимптотической устойчивости решений систем линейных дифференциальных уравнений требуется, чтобы все корни характеристического многочлена лежали в левой полуплоскости. Следовательно, существует связь между критерием устойчивости и принципом аргумента, связывающим число нулей многочлена в некоторой области с приращением аргумента логарифмической функции (числом оборотов) при обходе вдоль границы

области. При этом граница левой полуплоскости определяется	равенством
Re z 0 и проходит через единственную особую точку функции P z	z . При
движении вдоль мнимой оси z i на плоскости z от i до i на плоскости
w P z получим некоторую кривую – образ мнимой оси, называемую кривой

(или годографом) Михайлова. Эту кривую всегда можно построить по точкам,

выделив у функции P z					реальную и мнимую части после подстановки z i :
P z P i u iv .
ПРИМЕР. Построим кривую Михайлова для многочлена
P z z 3 z 2 4z 1 .
Заменяя z i , получаем
P i i 3 i 2 4i 1 i 3 2 4 i 1
1 2 4 3 i;
Таким образом,
	2	;
U 1		;
			2	.	0 .
			2		0 .
V 4
Далее, придавая переменной значение от 0						до , строим по точкам.

0;3

3;0

1;0

При построении использовали свойства кривой Михайлова, характерные для многочленов с действительными положительными коэффициентами:

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке VbIshka

#
16.03.2016362.13 Кб10Задания Математика 1 семестр ЭА.pdf
#
16.03.20162.69 Mб26Математика 2 Семестр.pdf
#
16.03.2016430.9 Кб8Метод.Указания для практических занятий.pdf
#
16.03.20161.13 Mб12Метод.Указания для самостоятельной работы студентов.pdf
#
16.03.2016474.13 Кб14Специальные главы математики 2.pdf
#
16.03.20161.16 Mб62Специальные главы математики.pdf
#
16.03.20169.19 Mб31Специальные главы математики.ppt