Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

VbIshka / Специальные главы математики

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2016

Размер:

1.16 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Некоторые свойства преобразований:

1.	~	~
	x n y n X	(z) Y (z) ,
2.	~
	x n 1 z( X (z) x 0 )

	~
x n 2 z(zX (z) zx 0 x 1 )
x n 3 z(z	2 ~	2	x 0 zx 1 x 2 )
x n 3 z(z	X (z) z		x 0 zx 1 x 2 )

Z - ИЗОБРАЖЕНИЕ ОСНОВНЫХ РЕШЕТЧАТЫХ ФУНКЦИЙ

, n 0

X (z)

n 0,

n 0.

1, n l,

n l

0, n l.

z / (z a)

z / ( z 1)

z / (z 1)2

nan

az / (z a)2

e an

z / (z ea )

ean

z / (z e a )

e anT

z / (z eaT )

sin n

z sin

z2 2z cos 1

cos n

z(z cos )

z2 2z cos 1

sh n

zsh

z2 2zch 1

ch n

z(z ch )

2zch 1

e an sin n

ze a sin

z2 2ze a cos e 2a

e an cos n

z2 ze a cos

z2 2ze a cos e 2a

ne an

ze a

(z e a )2

an cos n

1 a cos z 1

1 2a cos z 1

a 2

z 2

an sin n

a sin z 1

2a cos

ВАРИАНТЫ

x n 2 2x n 1 x n 0

x 0 4,

x 1 5

Ответ:

4z2

4 n.

(z 1)2

x n 3 3x n 2 3x n 1 x n 2n

2) x 0 x 1 0,

x 2 1

Ответ:

2n (n 1) .

( z 2)(z 1)2

2x n 2 5x n 1 2x n cos

x 0 x 1 0

Ответ: 1 (2n 2 cos (n 1) ) .

x n 1 2x n 2 y n 3n

4)y n 1 x n 3y n 2n

x 0 y 0 0

x n	1	(1 3 2n	22n 1 )
	3
Ответ:			.
	1
y n		(22n 2 3n 1 1)
	6

РГР 3, 4 (0,278 ЗЕ)

Преобразование стационарных случайных функций линейными системами.

Определение характеристик случайного процесса по опытным данным

Литература

1.Сборник задач по математике для втузов, ч. 3 ™Теория вероятностей и математическая статистика¡ / под ред. А.В. Ефимова. – М.: Наука, 1990.

2.Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Высшая школа, 1999

3.Хрущева И.В. Основы математической статистики и теории случайных процессов [электронный ресурс]: учеб. пособие. - СПб.: Лань, 2009.

Содержание работы

Освоение способов описания случайных процессов

Теоретическое введение

Понятие случайной функции (процесса) является обобщением понятия случайной величины:

X (t) (t, ) ,

где - элементарное событие (случайный аргумент); t не случайный аргумент (время). Реализацией случайного процесса называется конкретный вид,

который принимает функция со случайным исходом. Ряд проведенных опытов дают совокупность реализаций x1(t) x2 (t) ... xn (t) , которые отличаются друг от друга в силу случайных причин. Совокупность реализаций случайной величины, соответствующая определенному моменту времени, превращается в обычную случайную величину, которую называют сечением случайной величины: x1 (t0 ) x2 (t0 ) ... xn (t0 ) .

Главными характеристиками случайной величины являются математическое ожидание, дисперсия, автоковариационная функция, автокорреляционная функция. Случайная величина называется стационарной, если выполняются условия M X const; DX const; а ковариационная функция K X ( ) зависит только от временного интервала между сечениями. Спектральная плотность S( ) вводится как Фурье-преобразование соответствующей ковариационной функции (теоремы Винера-Хинчина).

ВАРИАНТЫ

1.По заданной ковариационной функции стационарного случайного процесса K X ( ) найти

			1
а) спектральную плотность SX	( ) : SX	( )		K X ( )e i d

б) время корреляции (эффективную длительность автокорреляционной функции)

22			K X ( )d ,


	X		0
	X		0
с) эффективную ширину спектра :
			1		2
			1	SX	( )d	2 X
				SX	( )d	max SX ( )
		max SX ( )				max SX ( )

д) среднюю мощность случайного процесса (дисперсию)

DX X2	K X (0) 1		SX ( )d

		2

1)	K X	( ) X2 exp(			) ,	2)	K X ( ) X2 exp(		2	)


				T				T 2
			X2				2
3)	K X	( )				4)	KX ( ) X	cos 0
			( 2 a2 )

2. По заданной спектральной плотности стационарного случайного процесса

SX	( )	Ab		,	A const, b const найдите:
SX	( )	( 2	b2 )	,	A const, b const найдите:
		( 2	b2 )
							1
а) автоковариационную функцию K X						( )	1	SX ( )ei d
а) автоковариационную функцию K X						( )		SX ( )ei d
						2

б) дисперсию (среднюю мощность случайного процесса)

DX X2	K X (0) 1		SX ( )d

		2

с) эффективную ширину спектра:

3.На вход линейной динамической системы подается случайный сигнал, заданный спектральной плотностью или автоковариационной функцией. Найдите характеристики сигнала на выходе системы: KY ( ) , SY ( ) , среднюю мощность случайного процесса. Сравните дисперсии (средние мощности) на

входе и выходе системы:	x	2 DX	X2	и	y	2 D	2	, сравните эф-
						Y	Y

фективную ширину спектра и эффективное время корреляции на входе и выходе системы. При решении задачи используйте связь между спектральной

плотностью на входе и выходе системы:

SY ( ) H (i ) 2 SX ( ) H (i )H ( i ) SX ( )

KY ( ) 1 SY ( )ei d

ВАРИАНТЫ (выбрать одно уравнение и один вид входного сигнала по указанию преподавателя)

Дифференциальные уравнения линейных систем:

1)2 y (t) y(t) 3x(t)

2)y (t) y(t) x(t)

3)y (t) 5 y(t) x (t) 2x(t)

4)y(t) x(t) x (t)

5)y (t) y(t) x (t)

Возможные входные сигналы:

а) белый шум,

б) низкочастотный белый шум

SX ( )

SX ( ) 0,

0 и

0 ,

с) сигнал с автоковариационной функцией

K X ( ) X2

exp(

), M X 0 ,

д) сигнал с автоковариационной функцией KX ( ) X2 cos 0

РГР 5 (0,153 ЗЕ) Фазовый портрет на плоскости.

Понятие качественной эквивалентности линейных дифференциальных уравнений

Литература

1.Алексеев Д.В., Казунина Г.А., Трушникова Н.В. Дифференциальные уравнения с элементами теории устойчивости: учеб. пособие [электронный ресурс] / КузГТУ. – Кемерово, 2010.

2.Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости [электронный ресурс]. – СПб.: Лань, 2008.

Содержание работы

Построение фазовых портретов автономных дифференциальных уравнений первого и второго порядка. Усвоение понятия качественной эквивалентности дифференциальных уравнений.

Теоретическое введение

Системы дифференциальных уравнений c постоянными коэффициентами удобно анализировать и записывать в матричной форме, вводя обозначения:

x1 (t)

X матрица - столбец неизвестных,

x2 (t)

			dx1 (t)
	dX
			dt
X
	dt
		dx2 (t) матрица - столбец производных,

			dt

		a	a
A		11	12
A			a22
	a21		a22

матрица - коэффициентов системы.

Система дифференциальных уравнений переписывается следующим обра-

зом:

dx
	1		a		a	x (t)
	dt
				11	12	1
dx2		a			a	x (t)
				21	22	2
	dt

dX AX . dt

ПРИМЕР. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка

				d 2x
					2		x 0
							x 0
				dt2						2
				dt2
эквивалентно системе линейных уравнений
						dx1			x
									x
						dt				2
						dt
						dx2			x
									x
						dt				1
						dt
с матрицей коэффициентов			0			1				. Фазовыми траекториями этой системы
с матрицей коэффициентов		A								. Фазовыми траекториями этой системы

			1			0
является семейство гипербол			x 2		x					2 C . Матрица системы имеет соб-
			1					2
ственные значения	1 1	и	и 2			1 и может быть приведена к более про-
стой матрице	1		0			в				базисе из собственных векторов
стой матрице	J					в				базисе из собственных векторов

	0	1

	1				1		1	1
e		,	e			При этом матрица перехода	1	1	. В новой
1			2		.	При этом матрица перехода	T		. В новой
	1			1
	1			1			1	1

системе координат исходная система уравнений принимает более простой вид

dX JX dt

dx1	x

dt	1

dx2 x2 . dt

Исключив параметр t, получаем, что уравнение фазовых траекторий имеет вид: x1x2 = C. Это также гиперболы. Но оси симметрии этих гипербол повернуты

на угол φ = π / 4 относительно осей гипербол x12 x22 C .

Заметим, что характер фазового портрета в окрестности точки (0; 0) (характер особой точки) сохраняется и является ™седлом¡.

Две системы дифференциальных уравнений первого порядка называются качественно эквивалентными, если существует непрерывное взаимно однозначное преобразование, которое переводит фазовый портрет одной системы в фазовый портрет другой, так что сохраняется ориентация траектории (тип фазового портрета).

x	x	1
	1

x 2 x 2	e	1	x1 x2	C
	C

Сохранение фазового портрета ¦седло§ при переходе к новой системе координат

ПРИМЕР. Линейному дифференциальному уравнению второго порядка

d	2x		dx
	2	3	2	2x2 0
dt 2
			dt

соответствует система уравнений

dx1 3x1 2x2 dt

dx2 x1 dt

с матрицей коэффициентов	3		2
с матрицей коэффициентов	A			.
		1	0
		1	0

Исключив параметр t из системы уравнений, для нахождения фазовых траекторий получаем однородное дифференциальное уравнение

	dx1	3 2	x2	.
	dx2
			x1
Обозначив x1 / x 2 ,		dx1 / dx2 d / dx2 x2 , получаем

							lncx			ln( 1)/( 2)2 .
								2
При c 1 имеем семейство парабол
							x 2		4x x				4x			2 x		x 0		(3.6)
								1			1	2			2		1		2
с осью симметрии, расположенной под углом 1/ 2 arctg(4 / 3) к оси ОХ1.
	Замечание. Тип кривой определяется из общего уравнения кривой второго
порядка		Ax	2 2Bx x				Cx	2	Dx Ex						F 0.				Параболическому типу
		1			1		2	2			1			2
соответствует АС В2							0 ; эллиптическому типу											AC B 2		0; гиперболиче-
скому типу AC B2 0.
	Для приведения системы к более простому виду находим собственные
значения		матрицы					А:	1 2 ;					2 1				и		собственные векторы:
	2		1
e	,	e		.
1		2
	1		1										j к базису E 2 e1 , e 2 имеет вид
	Матрица перехода от базиса E1 i ,												j к базису E 2 e1 , e 2 имеет вид
							2		1					1			1	1
					T								T	1
										;			T
							1		1							1		2
	В базисе Е2 исходная матрица принимает простой вид
										J		2		0		:
										J						:
														1
												0		1
					1			1 1 3						2			2 1		2	0
			J T
			J T			AT		1			2			0						,
								1			2	1		0			1 1		0	1

а исходная система преобразуется в систему

dx1 2x1 dt

dx2 x2. dt

После исключения t и интегрирования получаем уравнения фазовых траекторий, которые также являются параболами

<<< < Предыдущая 12 / 72 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке VbIshka

#
16.03.2016362.13 Кб10Задания Математика 1 семестр ЭА.pdf
#
16.03.20162.69 Mб26Математика 2 Семестр.pdf
#
16.03.2016430.9 Кб8Метод.Указания для практических занятий.pdf
#
16.03.20161.13 Mб12Метод.Указания для самостоятельной работы студентов.pdf
#
16.03.2016474.13 Кб14Специальные главы математики 2.pdf
#
16.03.20161.16 Mб62Специальные главы математики.pdf
#
16.03.20169.19 Mб31Специальные главы математики.ppt