Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

VbIshka / Метод.Указания для практических занятий

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2016

Размер:

430.9 Кб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования žКузбасский государственный технический университет имени Т. Ф. Горбачева¤

Г. А. Казунина

МАТЕМАТИКА

Методические указания к практическим занятиям

Рекомендовано учебно-методическими комиссиями направлений подготовки 140100.62 žТеплоэнергетика и теплотехника¤, 140400.62 žЭлектроэнергетика и электротехника¤ в качестве электронного издания для использования в учебном процессе

Кемерово 2013

Рецензенты: Жирнова Т. С. – доцент кафедры математики

Богомолов А. Р. – председатель учебно-методической комиссии направления подготовки 140100.62 žТеплоэнергетика и теплотехника¤

Каширских В. Г. – председатель учебно-методической комиссии направления подготовки 140400.62 žЭлектроэнергетика и электротехника¤

Казунина Галина Алексеевна. Математика. [Электронный ресурс]: методические указания к практическим занятиям для студентов направлений подготовки 140100.62 žТеплоэнергетика и теплотехника¤, 140400.62 žЭлектроэнергетика и электротехника¤ очной формы обучения / Г. А. Казунина. - Электрон. дан. - Кемерово: КузГТУ, 2013. - Систем. требования: ПК, поддерживающий Microsoft Windows97 и выше, - Загл. с экрана.

Содержит примерные задания для практических занятий. Включает необходимые справочные материалы, ответы к задачам, контрольные вопросы, список литературы Предназначено для организации работы студентов под руководством преподавателя на практических занятиях с целью овладения студентами математических методов решения задач.

КузГТУКазунина Г.А.

ВВЕДЕНИЕ

Представленные методические указания направлены на организацию работы студентов на практических занятиях при изучении дисциплины žМатематика¤ с целью закрепления теоретического материала, формирования навыков и умений решения математических и инженерных задач, построения математических моделей процессов.

В качестве теоретического материала следует опираться на литературу, список которой приводится в конце методических указаний

Рабочей программой дисциплины предусмотрен 51 час (1,417 ЗЕ) практических занятий в 1 и 2 семестре 1 курса.

1 СЕМЕСТР

Занятия 1-2. Пределы. Раскрытие неопределенностей. Непрерывность. Точки разрыва.

1.Раскрыть простейшие неопределенности:

а) Неопределенность

lim

2x2 4

lim

5x4 x 1

lim

5x 1

x 3 5x2

x 3x3 5x2

27x

3 1

16x2 3x 1

16x2

3x 1

lim

(n 5)! (n 4)!

lim

3 x

n (n 5)! (n 4)!

x 3x

б) Неопределенность

5x 6

lim

x2 4

4x x2

x2 5x 4

x 2

x 4

lim

x 8

1 x

в) Неопределенность 0 . Раскрыть с использованием эквивалентных

бесконечно малых

lim

arctg2x

x 0 3 1 x 1

x 0

lim

arcsin 4x

lim

ln(1 x2 )

lim

1 cos 3x

x 0 exp(5x) 1

x 0

1 2x2

x 0 x sin 2x

г) Неопределенность 1 (Второй замечательный предел).

5x 1 x lim , x 2x 3

lim sin 2x tg 2 x ,

	3x 1 x		lim 1 2x	3	1	3		1/ x2
lim		,			x		,	lim cos8x	,
	3x 8
x			x 0					x 0

lim x ln(5 x) ln x

2. По формулам функций, схематически построить их графики. В точках разрыва вычислить односторонние пределы и указать их характер.

y	5 4x x2	y \| x 2 4x 3 \|	y 2 2\|x\|	z log2 (t 3)
y log1 / 2 \| t 2 \|		y log3 (9 t 2 )	x sin(3t)	y 1 / cos(t / 2)

y arcctg(1/ t2 )

	1
	th
	th
y	( x 6)	2
y

x 4

y arcc tg(1/ t)

e x 2

x 5

Занятия 3-4. Производная сложной функции.

1. Вычислить производные, используя линейность операции дифференцирования и правила дифференцирования произведения и частного:

y7x13 13x7

yx 3 x

y5t cos(t)

yth(t) 2 cth(t)

y(t 1) tg(t)

yz2 8z 12

3z2 4z 7

yt 3t 4 t

yln(t 5 )

ytg(x) ctg(x)

y sin2 (x) cos2 (x)

y 4 sin(x) cos(x)

2 4 t

y z 3 3 z 2 z 7 3 z

ylog x (e) log2 (x)

y2 sh(z) cth(z)

yarcsin(x) arccos(x)

y x 2 exp(x) ln(x)

sin(t) cos(t)

y sin(t) cos(t)

y (x2 7x 8) exp( x)

y arcsin(x) arccos(x)

2. Вычислить производные, используя правило дифференцирования сложной функции (выписывать цепочку промежуточных переменных):

y(12x 4)21

x(t) 2 sin(4t 3)

yarctg( x2 ) arctg 2 (2x)

yarctg(exp( t))

yctg tg2 ( x)

ctg( x2 )

y 3

1 x3

y xcos x

y 5 (2t 1)

y sin(1 z)ctg(z 1)

yexp( 5z2 / 2)

yln(sin(z))

	3		1 12


y		z


				z

ysin(2 arcsin( x))

yln(ln( x))

y3 (1 z4 )( z4 1)

yexp( 3t) ln(5t 2)

y 2x log4 (x)

	1 5x
y ln

	1 2x

y ln(sin 2x 4)

y ln(| cos(x) |)

Справочные материалы

Таблица простейших производных и интегралов

1.(xa ) axa 1 ,

2.ln (x) 1/ x ,

3.(exp(ax)) a exp(ax) ,

4.(a x ) a x ln a

5.sin (ax) a cos(ax) ,

6.cos (ax) a sin(ax) ,

7.tg (x) 1/ cos2 (x) ,

8.ctg (x) 1/ sin 2 (x) ,

9.arcsin (x) 1/ 1 x2 ,

10.arccos (x) 1/ 1 x2 .

11.arctg (x) 1/(1 x2 ) ,

12.arcctg (x) 1/(1 x2 ) .

13.sh (ax) a ch(ax) ,

14.ch (ax) a sh(ax) ,

xadx xa 1 / (a 1), a 1.

(1 / x)dx ln(| x|) .

exp(ax)dx (1 / a) exp(ax)

a x dx (1/ ln a) a x

cos(ax)dx (1/ a)sin(ax) .

sin(ax)dx (1 / a) cos(ax) .

(1/ cos2 (x))dx tg(x) .

(1/ sin 2 (x))dx ctg(x) .

(1 / 1 x2 )dx arcsin(x) ,

			dx		x
					arcsin

			a 2 x2
					a

(1/(1 x2 ))dx arctg(x) ,

	dx	1	x
			arctg
a2 x2		a
			a

ch(ax)dx (1/ a) sh(ax) .

sh(ax)dx (1/ a) ch(ax) .

(x) ,

(1/ ch

(x))dx th(x) .

15. th (x) 1/ch

(x)

(1/sh

(x))dx cth(x) .

16. cth (x) 1/sh

(1/

) .

1 x

)dx ln( x

1 x

17. Arsh (x) 1/

(1/

1)dx ln( x

18. Arch (x) 1/

x a

19. loga x

x ln a

x 2

a 2

x a

20.(1 / a2 x2 )dx ln( x a2 x2 )

21.(1/ x2 a2 )dx ln( x x2 a 2 )

Расширенная таблица интегралов

1. dx x C

	n		xn 1
2.	x	dx			C
			n 1
	x	1				x
3.	a	dx		a			C
			ln a

4.ex dx ex C

5.dxx ln x C

6.cos xdx sin x C

7.sin dx cos x C

8.cosdx2 x tgx C

9.sindx2 x ctgx C

10.

arctg

x2 a2

11.

arcsin

12.

ln(x

) C

13.

ln(x

) C

x a

14.

x a

15.

sin x

16.

cos x

17.

tgxdx ln

cos x

18.

ctgxdx ln

sin x

19.

ln xdx x ln x x C

cos

xdx

sin 2x

20.

21.

sin

xdx

sin 2x

22.

cos axdx

sin ax C

23.

24.

sin axdx

cos ax C

ax b

25.

ax b

26.

xdx

ln( x

) C

xdx

27.

(ax b)

(ax b)n 1

28.

a(n 1)

29.

(ax b)n

a(n 1)(ax b)n 1

n n (ax b)n 1

30.

(ax b)dx

a(n 1)

31.

n n

(ax b)n 1

a(n 1)

(ax b)

32. arcsin xdx x arcsin x

1 x2

33. arctgxdx xarctgx 1 ln( x2 1) C

Занятия 5-7. Неопределенный интеграл. Основные методы интегрирования.

1. Найти интегралы, используя линейность операции интегрирования:

ctg 2 (x)dx

(1 2x

)

(1 x

)

cos(2x)

(3 2 x 2 3x )

tg2

(x)dx

sin2 (x) cos2 (x)

exp(x)

2. Найти интегралы, пользуясь подведением производной под знак диф-

ференциала
	f (t( x)) t ( x)dx f (t)dt :

sin (3x 2)dx

	tg3 (x)				dx
cos2 (x)					dx
cos2 (x)
				1				dx

	1 x2
	1 x2				arcsin(x)
		(2x 3)					dx
	(x	2	3x 2)			7	dx
	(x		3x 2)

sin( x)

(1 cos(x))3 dx

sin(2x) cos(3x) dx

5x 2 dx

arctg3 (x)

1 x2 dx

3 x2 dx

6x 7

3x2 7x 1 dx

2x 1

(x2 x 2)2 dx

cos4 (x)

sin 2 (x) dx

ax b dx,

x ln4 (x) dx x2

(1 x 3 )4 dx

x2 x3 2dx

x x 1

cos3 dx

3.Найти интегралы, разбивая правильные дроби на сумму простейших дробей или выделяя целую часть и остаток для неправильных дробей:

x(x 1)

x2 1 dx

1		dx		1		dx
			x2
( x 4)( x 3)				1
x3			2x		4	dx
	dx

x 1			x 1

4.Найти интегралы при помощи замены с выделением полного квадрата (можно использовать формулы ax2 bx c a(x b / 2a)2 (c b2 / 4a) ,

t x b / 2a ):

x2 2x 2 dx

4x 1

8 6x 9x2

1	dx		3x 1		dx
	dx		4x2		dx
4x 3 x2			4x2	4x 5
1		dx

4x2 4x 5

5.Найти интегралы, преобразуя подынтегральные функции указанными заменами переменных:

dx, x z2

dx, x z6

dx, z3 x

1 x

x 3

1 3 x

6. Найти интегралы, используя формулу интегрирования произведения

(интегрирование по частям)

(x)dx u(x)v(x)

u(x)v

u (x)v(x)dx. :

(2x 1) exp(5x)dx

x sin(5x)dx

x2 cos x dx

xtg 2 xdx

arccos2 xdx

arcsin(3x)dx

arctg(5x)dx

ln 2 xdx

e4 x sin(2x)dx

ln(1 x2 )dx

arcsin( x

)

1 x

7.Найти интегралы, комбинируя рассмотренные выше элементарные приемы:

		(8x 11)
			dx

		5 2x x2

sin4 (x)

cos6 (x) dx

x2 x 1

( x2 1)3

(1 x) 1 ln2 (1 x)

cos(

)

1 4 x3

x 1

2 x

3 e

1 x

Проинтегрировать рациональные дроби:

x2 x 2

dx ,

(x 2)2

( x 5)(x 6)( x 4)

( x 4)

( x2 4)

( x 2)( x2

x3 1

Проинтегрировать тригонометрические функции:

sin4 ( x) cos3 (x) dx

sin4 ( x) dx

tg3 ( x) dx

( x) dx

sin

cos

( x)

(x) cos

(x)

sin3 (x)

cos(x) sin3 (x)

cos4 (x)

1 sin(x)

10.Проинтегрировать гиперболические функции:

1			dx		1		dx			1			dx	sh	2	xdx
3 ch	2			ch	3	(x)		sh	2	(x) ch	2
		( x)										(x)

11. Найти интегралы, избавляясь от квадратных корней при помощи тригонометрических или гиперболических подстановок:

x2 6x 8 dx

x 4x x2 dx

x 2 4x dx

x3dx

(x 2)

x 2 4x 3

x2 1

12. Найти интегралы, избавляясь от радикалов при помощи степенных подстановок:

1 3

1 4

x 4

13.Найти интегралы, комбинируя различные приемы:

1	x	dx	1	dx	cos(ln x)dx
1
	x		x(1 x)

Занятие 8. Определенный интеграл.

1. Вычислить определенные интегралы, используя формулу НьютонаЛейбница

1/ 2

arcsin xdx ,

1 x

x ln x

3 x

x2 1

2.Вычислить, используя свойства определенного интеграла

.3 (2x7 x5 2x3 x 1)dx
				,
	cos	2
/ 3			x

/ 2	1
(cos2 x x4 sin x)dx ,	cos xthxdx
/ 2	1

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке VbIshka

#
16.03.2016362.13 Кб10Задания Математика 1 семестр ЭА.pdf
#
16.03.20162.69 Mб26Математика 2 Семестр.pdf
#
16.03.2016430.9 Кб8Метод.Указания для практических занятий.pdf
#
16.03.20161.13 Mб12Метод.Указания для самостоятельной работы студентов.pdf
#
16.03.2016474.13 Кб14Специальные главы математики 2.pdf
#
16.03.20161.16 Mб62Специальные главы математики.pdf
#
16.03.20169.19 Mб31Специальные главы математики.ppt