Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

VbIshka / Специальные главы математики

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2016

Размер:

1.16 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

1.Кривая Михайлова симметрична относительно вещественной оси V 0 , так как в случае действительных коэффициентов P i P i . Поэтому достаточно построить ветвь годографа для 0 , а другую ветвь для 0

построить зеркальным отображением относительно действительной оси.

2. Начало ветви 0 лежит на положительной действительной полуоси, т.е.

U 0 0 , V 0 0 .

3.Кривая проходит через начало координат w 0 тогда и только тогда, когда точка z i является нулем многочлена P z .

Имеет место следующая теорема.

Если многочлен P z с действительными коэффициентами не имеет корней на мнимой оси, то число оборотов радиус-вектора кривой Михайлова w P i вокруг точки w 0 при возрастании от до выражается формулой

arg P z пл пп ,

2 2

где пл , пп – число нулей P z в левой и правой полуплоскостях соответственно. Для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы все корни лежали в

левой полуплоскости или пп 0 . А поскольку многочлен степени п имеет п корней, то критерий устойчивости формируется следующим образом:

для устойчивости многочлена с действительными коэффициентами, не имеющего корней на мнимой оси, необходимо и достаточно, чтобы радиус-

вектор кривой Михайлова P i при изменении от 0		до повернулся про-
тив часовой стрелки на угол
	n .

2

Другими словами, радиус-вектор P i , начиная с вещественной полуоси, должен повернуться на число квадрантов, равное порядку уравнения.

n 2

n 1

n 3

n 4

P z z3 z 2 4z 1 является многочленом все корни которого лежат в левой полуплоскости (многочлен Гурвица), так как построенная кривая Михайлова при изменении 0 проходит последовательно три квадранта. Таким образом, рассмотренный ранее многочлен третьего порядка

Варианты

1.Исследуйте устойчивость нулевое решение для линейных дифференциальных уравнений и систем, используя критерии а) Гурвица б) Михайлова

с) анализируя знак вещественных частей собственных значений матрицы (если это возможно).

1)y( 4) 3y 4 y 3y y 0 ,

2)y 6 y 11y 6 y 0 ,

3)3y( 4) 4 y 3y 3y y 0

	x 3x 2z			x x 4 y			x y z
4)			5)			6)
	y x 2 y z			y x y z			y y z
		z x y			z 3y z			z x z

2.Исследовать, при каких значениях параметров нулевое решение асимптотически устойчиво

1)y ay by 2 y 0

2)y( 4) 2 y 4 y ay by 0

3)y( 4) ay 4 y by y 0

4)y( 4) ay 4 y 2 y by 0

РГР 8,9 (0,278 ЗЕ)

Нелинейные системы. Устойчивость по первому приближению. Геометрические методы анализа

Литература

1.Алексеев Д.В., Казунина Г.А., Трушникова Н.В. Дифференциальные уравнения с элементами теории устойчивости: учеб. пособие [электронный ресурс] / КузГТУ. – Кемерово, 2010.

Содержание работы

Освоение методов анализа устойчивости нелинейных систем

Теоретическое введение

Во многих практически важных случаях системы дифференциальных

уравнений, описывающие реальные объекты, являются нелинейными

			dx1		V ( x , x		2	)
					V ( x , x			)
				1		1
			dt					,
			dt					,
		dx 2			V2 ( x1 , x2 )
			dt		V2 ( x1 , x2 )
			dt
тo есть функции V1 x1	, x2 ,	V2 x1 , x2				не являются линейными функциями

своих аргументов. Главным методом изучения поведения решения такой системы в окрестности положений равновесия является метод линеаризации - при-

ближенной замены точной системы	вблизи неподвижной точки на линейную
систему.
Суть метода состоит в следующем. Решив систему уравнений
V1 x1 , x 2 0,
V 2 x1 , x 2 0,
выбирают одну из неподвижных точек	~ ~	.
	X c x1, x2

Затем рассматривают отклонение системы от положения равновесия

	~
u1 x1 x1
u2 x2	~
	x2
и записывают линейное по отклонениям разложение поля направлений
(V1 ,V2 ) по формуле Тейлора:

V (x , x )					V1				u		V1	u	2

1	1	2			x1		1				x2
								X X C				X X C
V (x , x				)		V2			u	V2		u		.

			2											2
2	1					x1			1		x2
									X X C			X X C

Когда в частные производные подставлены конкретные координаты неподвиж-

ной

точки

коэффициенты

X 0 x1

x 2

V1 / x1 ;

V1 / x 2 ;

V 2 / x1 ;

V 2 / x 2

становятся

постоянными, и

исходная система приближенно представляется в виде линейной системы

du1

du 2

a21u1

a22 u2

Матрица A системы при этом имеет вид

~ .

Заметим, что операцию линеаризации можно выполнить непосредственно разла-

гая функции V1 x1 , x2 , V2 x1 , x2 в ряд Тейлора в окрестности неподвижной

точки, сохраняя в разложении только линейные слагаемые.

ПРИМЕР. Найти линеаризацию системы

dx1		ln(3e x 2	2 cos x )

	dt		1
			.
	dx 2	2e x1 3
				8 12 x2

	dt

Способ 1. Решая систему уравнений

dx1		ln(3e x 2	2 cos x		) 0

	dt		1		,

	dx 2	2e x1 3				0
				8 12 x2

	dt

находим, что начало координат x1 x 2 0 является неподвижной точкой.

Поэтому u1 x1;

u2 x2 , а матрица линеаризации (3.36) имеет вид

2 sin x

3e x2

3e x2 2 cos x

3 ex2 2 cos x

2 e

x1 0

2 / 3

(8 12x2 )

x2 0

Первое линейное приближение исходной системы записывается в виде

3x2

dx2

2x1 x2

V2 x1

, x2

Способ 2. Разлагаем

функции V1 x1, x2 ,

по формулам

Маклорена в окрестности x1 x 2

0 .

x 2

2 );

ex2

cosx ~ 1

o(x

~ 1 x

o(x ) ;

3ex2 - 2cos x1 ~ 3 3x2 2 o(x1) o(x2 ) ~ 1 3x2 o(x2 );

V1 ln(1 3x2 ) o( x2 ) ~ 3x2 o( x2 ) ;

V		2(1 x		12 x	2	1/3	~ 2 2 x		1	x		o( x
	2		) 2 1					- 2(1			2		2	)) ~

		1		8			1		2

~2 2 x1 2 x2 o( x2 ) o( x1 ) ~ 2 x1 x2 o( x2 x1 ) .

Врезультате получаем линейное приближение исходной системы, которое совпадает с полученным выше

dx1 3x2

dx2 2x1 x2dt

На вопрос: в какой мере решение линейной системы (3.35), полученной линеаризацией исходной системы вблизи неподвижной точки, соответствует решению нелинейной системы вблизи этой точки отвечает теорема о линеаризации. Эта теорема устанавливает связь фазового портрета нелинейной системы в окрестности неподвижной точки с фазовым портретом ее линеаризации.

Теорема о линеаризации.

Если нелинейная система имеет неподвижную точку в начале координат ( Det A 0 ), то в окрестности этой точки фазовые портреты системы и фазовые портреты ее линеаризации качественно эквивалентны, если только неподвижная точка не является ¦центром§.

Если неподвижная точка линеаризации является ™центром¡, то фазовый портрет исходной нелинейной системы будет ™центром¡ или ™фокусом¡. Для наличия ™центра¡ необходимо, чтобы фазовые траектории исходной системы имели ось симметрии, проходящую через неподвижную точку. Последнее требование равносильно требованию того, чтобы уравнение

V1 (x1, x2 ) dx1

V2 (x1 , x2 ) dx2

не изменилось при замене x1 на -x1 (или x2 на x2 ).

ПРИМЕР. Исследовать устойчивость решения нелинейной системы

dx1		e	( x	x		)	x2
			1		2
			1		2
	dt
	dt
dx 2		x1		x1x2
	dt	x1		x1x2
	dt

вблизи неподвижной точки. Решая систему уравнений

e( x1 x2 ) x2 0

x1 x1x2 0,

находим, что неподвижной точкой системы является точка

x	1
1	.
x2	1

Рассмотрим отклонение системы от положения равновесия, вводя новую переменную

u1 x1 1 .u2 x2 1

Подставляя x1 u1

x2 u2

1 в исходную систему, получаем

du1 e u1 u2 u2 1

.du2 u1 1 (u2 1)(u1 1) u1u2 u2

Далее можно использовать разложение Маклорена для показательной функции с точностью до бесконечно малых первого порядка

e u1 u2 ~ 1 u1 u2.

И, оставляя во втором уравнении только линейное слагаемое, получаем линеаризацию системы

	du1		u			1	0
			u
	dt	1
du				;	A
du				;	A		.
	2	u				0	1
						0	1

dt		2
dt

Заметим, что линеаризацию можно получить и по формуле с использованием частных производных

x1 x2

A e

1 x

x 1

x2 1

Характеристики матрицы

A : SpA 0;

DetA 1 0;

1 1;

1 свидетельствуют о том,

что неподвижная точка x1 1; x2

1 исходной нелинейной системы и ее ли-

неаризации является неустойчивым положением равновесия. Фазовый портрет относится к типу ™седло¡.

ВАРИАНТЫ

1. Исследуйте на устойчивость нелинейные системы дифференциальных уравнений:

а) найдите положения равновесия (неподвижные точки)

б) постройте линеаризованную систему в окрестности каждой неподвижной точки и определите характер неподвижных точек

с) схематично постройте фазовые траектории в окрестности положений равновесия. В том случае, если неподвижная точка является центром, проведите дополнительные исследования.

y xy 2

x x2 y2 2x 1) y 3x2 x 3y

x ln(5 2x 2 y)

3) y exy 1

x (2x y)(x 2) 5)

x arctg(x y 1)

7)y 3 3x2 3y 2 1

x ex 2 y cos 3x

2)y 4 8x 2e y

x ln(2 y2 )

4)y ex e y

			(x y)					2	3 2
6)	x		(x y)						3 2
6)					y	2	x
		y		e	y		x		e
		y		e					e

			2	x
8)	x arcsin(		2	x	2)
	x arcsin(				2)
				y
		y 1 4x 3y
		y 1 4x 3y

9) x x 1 3 1 x x2 x				10) x 3x ln(x x3 )
	x tg(z y) 2x				x e x e 3z

				12) y 4z 3sin(x y)
11)			9 12x 3e y
11)	y		9 12x 3e y
		z 3y			z ln(1 z 3x)
		z 3y

2.Исследовать, при каких значениях параметров нулевое решение системы

является устойчивым

ВАРИАНТЫ

x y sin x

1)y ax by y2

x 2e x	4 ay
2)
y ln(1 9x ay)

x ax 2 y x2

y x y xy

4)	x ln(e ax) e y
		y bx tgy

РГР 10 (0,152 ЗЕ)

Вариационные задачи с закрепленными и подвижными границами

Литература

Гюнтер Н.М. Курс вариационного исчисления [электронный ресурс] / Н. М.

Гюнтер. – СПб.: Лань, 2009. – 320 с.

Содержание работы Освоение классических методов решения вариационных задач

Теоретическое введение

Задачи с закрепленными границами

Простейшей вариационной задачей называют задачу нахождения экстремума функционала

J ( y(x)) F(x, y(x), y ( x)) dx

на множестве непрерывно дифференцируемых функций y (x) , заданных на отрезке a, b и удовлетворяющих условиям y (a) A, y (b) B .

Функция, которая доставляет экстремум функционалу, называется экстремалью. Если функция y (x) дважды непрерывно дифференцируема на a, b и является экстремалью, то она необходимо удовлетворяет уравнению Эйлера:

F		d		F	0 .
y		dx		y

В некоторых случаях решение уравнения Эйлера упрощается по сравнению с общим случаем

1.Функция F (x, y) в выражении для функционала явно не зависит от y : F (x, y) 0 ( это уравнение не является дифференциальным) ;

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке VbIshka

#
16.03.2016362.13 Кб10Задания Математика 1 семестр ЭА.pdf
#
16.03.20162.69 Mб26Математика 2 Семестр.pdf
#
16.03.2016430.9 Кб8Метод.Указания для практических занятий.pdf
#
16.03.20161.13 Mб12Метод.Указания для самостоятельной работы студентов.pdf
#
16.03.2016474.13 Кб14Специальные главы математики 2.pdf
#
16.03.20161.16 Mб62Специальные главы математики.pdf
#
16.03.20169.19 Mб31Специальные главы математики.ppt