Техническая механика

Для определения касательных напряжений в произвольной точке поперечного сечения используют формулу

I

где Т — величина крутящего момента в данном сечении. Для круK тящих моментов принято следующее правило знаков: крутящий момент считается положительным, если при взгляде на сечение со стороны внешней нормали он направлен по ходу часовой стрелки;

— расстояние от центра тяжести сечения до рассматриваемой точки;

I — полярный момент инерции (для круга I d4 ).

32

На рис. 3.2 показана эпюра распределения касательных напряжений по сечению, из которой видно, что наибольшие напряжения возникают

вконтурных точках сечения. Для определения касательных напряжений

в таких точках формулу (3.1) удобнее преобразовать к виду:

Прочность стержня круглого поперечного сечения при кручении

где max — максимальные касательные напряжения, возникающие в стержне;

Tmax — максимальный крутящий момент, возникающий в стержне;

W — полярный момент сопротивления поперечного сечения стержня;

RS — расчетное сопротивление материала сдвигу;c — коэффициент условия работы.

41

Чтобы использовать условие (3.4) для оценки прочности и подбора размеров поперечного сечения стержня, необходимо знать величину максимального крутящего момента Tmax . Для определения Tmax нужно

построить эпюру крутящего момента, то есть график, показывающий, как изменяется крутящий момент по длине стержня. Для построения эпюры применяется метод сечений.

Оценка прочности конструкций осуществляется с использованием расчетных значений внешних нагрузок, поэтому эпюра крутящего момента строится от действия расчетных внешних моментов. Расчетные нагрузки определяются умножением нормативных нагрузок на коэффициент надежности по нагрузке f :

Расчет бруса круглого поперечного сечения на кручение по второй группе предельных состояний заключается в определении наибольшего относительного угла закручивания сечения (рис. 3.3).

Т z

Т dz

Рис. 3.3

Взаимный угол закручивания сечений определяется по формуле

42

Относительный (погонный) угол закручивания определяется по формуле

Для определения максимального относительного угла закруK чивания в формулу (3.7) необходимо подставить наибольшее значение крутящего момента Tmax .

Условие жёсткости вала при кручении имеет вид:

закручивания.

Ï ð è ì å ð û ð å ø å í è ÿ ç à ä à ÷

П р и м е р 3 . 1 . Известны внешние нормативные крутящие моK

“1,1 ì , коэффициенты f 1,1, “ 0,8 .

1.Вычисление расчётных нагрузок.

MB MBí f 1 1,1 1,1 êÍ ì ;

Mq Mqí f 3,6 1,1 3,96 êÍ ì ;

MD MDí f 1,5 1,1 1,65 êÍ ì .

43

2. Построение эпюры моментов от нормативной нагрузки начинаем со свободного конца балки. Последовательно проводим сечения на каждом участке стержня: IKI, IIKII и IIIKIII и рассматриваем равновесие отсечённых правых частей.

44

На участке D C , в сечении IKI:

их направления противоположны принятым.

На эпюре моментов положительные моменты откладываем вверх, а отрицательные вниз (см. рис. 3.4). Эпюра расчетных крутящих моментов получается умножением нормативных значений на коэффициент перегрузки f 1,1:

T1 T1í 1,1 1,5 1,1 1,65 êÍ ì ; Š2 T2í 1,1 2,1 1,1 2,31 êÍ ì ; Š3 T3í 1,1 1,1 1,1 1,21 êÍ ì .

Из эпюры следует, что наибольший по величине расчетный круK тящий момент действует на участке b q и равен:

Šmax T2 2,31 êÍ ì .

3. Определяем диаметр стержня от расчетной нагрузки. На основании условия (3.4) получаем:

d 60 ìì .

4. Проверка прочности сечения. Проверяем условие прочности (3.4) в опасном сечении, т.е. на участке ВС:

3,14 603 10 9

54,5 ÌÏà 80 ÌÏà . Условие прочности выполняется.

45

5. Построение эпюры углов закручивания начинаем с неподвижного конца стержня, где ` 0 . В точке b, согласно формуле (3.8), имеем

По найденным значениям углов закручивания, учитывая линейное изменение их в пределах каждого участка, строим их эпюру (см. рис. 3.4).

6. Определяем относительные углы закручивания на каждом участке от нормативной нагрузки:

Наибольший относительный угол закручивания равен:

max BC 1,181 ãðàä/ì.

46

Вопросы для самоконтроля

1.Какие внутренние усилия и напряжения возникают в поперечном сечении при кручении стержня?

2.Что называется крутящим моментом?

3.Что называется касательным напряжением?

4.Какие напряжения возникают в поперечном сечении стержня при кручении круглого стержня?

5.Как распределены напряжения по площади поперечного сечения?

6.По какой формуле определяются напряжения при кручении круглого стержня?

7.Как определить диаметр круглого стержня при кручении?

8.Как определяется угол закручивания при кручении круглого стержня?

9.Сформулируйте условие прочности при кручении круглого стержня.

10.Сформулируйте условие жесткости при кручении круглого стержня.

47

Задача № 4 РАСЧЕТ БАЛОК НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЛОСКОМ ИЗГИБЕ

Задание

Для заданных схем двух балок (стальной — рис. 4.1, деревянной — рис. 4.2) требуется построить эпюры Qy и Mx и из условия прочности по

нормальным напряжениям подобрать:

сечение стальной балки в виде прокатного двутавра при расK четном сопротивлении стали растяжению (сжатию) Ry 210 ÌÏà ,

48

Рис. 4.1

49