Техническая механика

3. Определение расчетного значения силы F . Решение начнем с определения положения нейтральной линии H H .

Из рис. 7.5 вычисляем координаты точки B приложения силы F в системе главных центральных осей x, y с учетом знаков:

xF a2 0,25 ì; yF b2 b yc 0,62 0,6 0,15 0,75 ì. По формулам (7.6) находим отрезки, отсекаемые на осях x,y нейтK

Проводим в сечении нейтральную линию H H (рис. 7.6). ПроK водя касательные к сечению, параллельные нейтральной линии, наK ходим наиболее удаленные, а значит, и наиболее напряженные точки B и D . В точке B будут возникать наибольшие сжимающие, а в точке D

– наибольшие растягивающие напряжения. Из геометрических построений на рис. 7.6 найдем координаты точек B и D с учетом знаков:

Так как материал стержня неодинаково сопротивляется сжатию и растяжению, необходимо составить два условия прочности. Из этих

121

Рис. 7.6

1,668 106H 1668 êÍ.

Окончательно принимаем меньшую из двух сил Fmax 320 êÍ .

122

123

Проводим нейтральную линию таким образом, чтобы она касалась сечения, но не пересекала его. Пусть нейтральная линия заняла положение IKI. При этом

ax ;

ay b2 yc 0,62 0,15 0,45 ì.

Используя формулы (7.6), найдем координаты точки 1 приложения силы, соответствующей положению нейтральной линии IKI:

Теперь поворачиваем нейтральную линию вокруг неподвижной точки D в положение IIKII (см. рис. 7.7). Точка приложения силы буK дет перемещаться из точки 1 в точку 2 по прямой линии 1K2. Нейтральная линия IIKII отсекает на осях x и y отрезки

Далее поворачиваем нейтральную линию вокруг неподвижной точK ки q в положение IIIKIII. Точка приложения силы переместится из точки 2 в точку 3 по прямой линии 2K3.

Из геометрических построений на рис. 7.7 определяем отрезки, отсекаемые нейтральной линией IIIKIII на осях x и y .

124

По формуле (7.7) определяем координаты точки 3:

Поворачиваем нейтральную линию вокруг неподвижной точки ` в положение IVKIV, при этом точка приложения силы переместится из точки 3 в точку 4 по прямой линии 3K4. Нейтральная линия IVKIV отсечет на осях координат x и y отрезки

нием точек 2 и 3.

Соединяем все полученные точки прямыми линиями. Полученная заштрихованная область вокруг центра тяжести (см. рис. 7.7) является ядром сечения.

Вопросы для самоконтроля

1.Какой вид деформации бруса называется внецентренным сжаK тием (растяжением)?

2.Какие внутренние усилия возникают в произвольном сечении бруса при внецентренном растяжении (сжатии)?

3.Как определяется нормальное напряжение в произвольной точке сечения?

4.Сформулируйте принцип независимости действия сил.

5.Что такое радиус инерции?

6.Запишите условия прочности при внецентренном растяжении (сжатии).

7.Запишите уравнение нейтральной линии в отрезках.

8.Как ведет себя нейтральная линия в зависимости от положения точки приложения силы?

9.Что называется ядром сечения?

10.Может ли ядро сечения иметь «входящие» углы?

125

Задача №8 РАСЧЕТ ЦЕНТРАЛЬНО-СЖАТОГО СТЕРЖНЯ

НА УСТОЙЧИВОСТЬ

Задание

Подобрать размеры поперечного сечения стержня, одинаково закрепленного в главных плоскостях инерции, и определить коэффиK циент запаса по устойчивости. Расчетное сопротивление материала (Ст. 3) Ry 210 ÌÏà , модуль упругости при растяжении

e 200 ÃÏà . Расчетная схема, тип сечения и величина сжимающей нагрузки берутся из табл. 8.1.

Т а б л и ц а 8 . 1

126

127

Теоретическая часть

Сжатые стержни под действием малых возмущений (случайные эксцентриситеты приложения нагрузок, начальная нелинейность оси бруса, незначительные поперечные нагрузки и т.п.) могут потерять устойчивость. Под устойчивым равновесием в данном случае будем принимать способность точек оси бруса при действии малых возмуK щений незначительно отклоняться от своего невозмущенного состоK яния (прямолинейного).

Таким образом, при небольшой продольной силе, меньшей некоK торого критического значения F Fêð , устойчивой будет лишь пряK

молинейная форма равновесия, т.е. стержень после удаления возмуK щений вернется в исходное состояние.

Если же F Fêð , малые возмущения вызовут значительные переK

мещения. После снятия возмущений стержень останется в изогнутом состоянии под воздействием продольной силы, т.е. произойдет смена формы равновесия стержня. Наряду с прямолинейной (неустойчивой), появится смежная – изгибная форма равновесия (устойчивая).

Наименьшее значение силы, при которой происходит потеря устойчивости называется критическим (Fêð ).

128

В 1744 г. Леонардом Эйлером была определена критическая сила для центральноKсжатого шарнирноKопертого по концам стержня (рис. 8.1).

Рассматривая возмущенное состояние, получаем выражение для

Эта сила называется критической.

Изогнутая ось стержня будет описываться уравнением

C sin l z .

Таким образом, стержень изгибается по полуволне синусоиды с амплитудой C , которая остается неопределенной.

129

Следует обратить внимание на то, что критическая сила не зависит от характеристик прочности материала, т.е. применение более прочных конструктивных материалов не ведет к увеличению устойчивости конструкции.

Формула Эйлера получена в предположении шарнирного опирания стержня по концам. На практике встречаются иные способы закрепK ления. Критическая сила в этом случае может быть определена по обобщенной формуле

где – коэффициент приведения длины; l0 – приведенная длина.

Приведенную длину l0 можно интерпретировать как некоторую усK

ловную длину шарнирноKопертого по концам стержня, для которого критическая сила равна критической силе для заданного стержня.

Таким образом, коэффициент приведения длины может быть поK лучен из геометрических аналогий.

Некоторые схемы закрепления и соответствующие им коэффициK енты приведения длины приведены на рис. 8.2.

Формула Эйлера была получена в предположении, что дефорK мирование материала подчиняется закону Гука. Однако очевидно, что по мере уменьшения длины стержня значение критической силы увеK личивается и может оказаться, что сжимающие напряжения будут превышать предел пропорциональности и закон Гука окажется неприемлемым.

Для определения границы применимости формулы Эйлера выK числим нормальное напряжение, соответствующее критической силе по Эйлеру:

называется гибкостью стержня. Тогда êð 22E .

130