Техническая механика

131

График зависимости критических напряжений êð от гибкости

Рис. 8.3

Заштрихованная область, расположенная под графиком, соответK ствует устойчивому равновесию стержня.

На рис. 8.3 можно выделить три характерные зоны:

I. Для стержней малой гибкости (для сталей 40-60 ) исчерпание несущей способности происходит вследствие потери прочности – разрушения самого материала. Этому условию соответствует горизонK тальная прямая.

II. Для стержней большой гибкости ( 0 ) потеря несущей

способности происходит вследствие потери устойчивости при уровне напряжений ниже предела пропорциональности ïð . Этому условию

соответствует гипербола Эйлера.

III. При 0 (для стержней средней гибкости) исчерпание

несущей способности сопровождается потерей устойчивости при наK пряжениях выше предела пропорциональности. В этом случае теоK ретическое исследование устойчивости стержня существенно усложK няется. Для практических расчетов в этом случае используется эмK пирическая зависимость, предложенная Ф.С. Ясинским на основе экспериментальных данных:

дистой стали a 310 ÌÏà, b 1,14 ÌÏà .

При определении значения критической силы необходимо считатьK ся с возможностью различных форм потери устойчивости в главных плоскостях инерции стержня, что зависит от способов его закрепления. Используя зависимость критических напряжений от гибкости « кр– »,

132

приведенную на рис. 8.3, можно утверждать, что потеря устойчивости произойдет из плоскости наибольшей гибкости.

Таким образом, величина критических напряжений определится либо по формуле Эйлера

Для обеспечения определенного запаса по устойчивости стержня должно соблюдаться неравенство

зависит от возможности случайного эксцентриситета прилоK жения силы, наличия начальных несовершенств в геометрии стержня и способа его опирания и т.п.

Введем обозначение:

êð . nRy

Тогда условие устойчивости можно записать в виде

определяет степень снижения расчетного сопротивления материала при продольном изгибе. Поскольку он зависит от критического напряжения, то, очевидно, что он зависит от гибкости стержня и от механических свойств материала.

133

Значения коэффициента для различных материалов установлены нормами проектирования и приводятся в виде таблиц (прил. 3) или готовых формул.

Если заданы расчетная схема и геометрические характеристики поперечного сечения, то проверка прочности на сжатие с учетом проK дольного изгиба не вызывает какихKлибо затруднений. Более сложной задачей оказывается подбор сечения стержня при заданной длине и сжимающей силе. Дело в том, что коэффициент продольного изгиба зависит от гибкости стержня, а гибкость неизвестна, поскольку неизвестно сечение. В этом случае расчет выполняется методом последовательных приближений.

Вначале задаются какимKлибо значением коэффициента продольK ного изгиба (в пределах 0 1, обычно 0,5), из неравенства (8.7) вычисляется площадь поперечного сечения стержня. По найденной площади подбирается поперечное сечение, определяется его радиус инерции и, наконец, гибкость стержня. Для полученной гибK кости по таблице (см. прил. 6) определяется уточненное значение , после чего вычисляется напряжение. Если оно отличается от расчетK ного сопротивления на величину, бóльшую допустимой нормами погрешности, то определяется уточненное значение площади поK перечного сечения. Процесс последовательных приближений продолK жается до тех пор, пока разница между напряжением и расчетным сопротивлением не окажется меньше, как правило, 5K10 %.

Ï ð è ì å ð û ð å ø å í è ÿ ç à ä à ÷

П р и м е р 8 . 1 . Расчетная схема стержня и тип сечения приведены на рис. 8.4. Определить размеры поперечного сечения стержня из условия устойчивости.

Ð å ø å í è å

Поскольку сечение имеет перпендикулярные оси симметрии, все оси, проходящие через центр тяжести, будут являться главными.

Выразим необходимые геометрические характеристики через разK

134

Рис. 8.4

Так как закрепление одинаково из главных плоскостей инерции, то и гибкости будут равны:

Подбор сечения осуществляем методом последовательных приблиK жений.

В первом приближении задаемся коэффициентом продольного изгиба 0,5, тогда площадь сечения должна быть равна